非线性控制系统解析总结计划

第七章非线性控制系统剖析7.1非线性系统概括非线性系统运动的规律，其形式多样。线性系统不过一种近似描述非线性系统特色—不知足迭加原理不单与自己构造参数相关，并且与初条件，输入相关1)稳固性均衡点灯可能有多个自由运动形式，与初条件，输入大小相关。自振，在必定条件下，受初始扰动表现出的频次，振幅稳固的周期运动。自振是非线性系统独有的运动形式。正弦响应的复杂性跳跃谐振及多值响应倍频振荡与分频振荡组合振荡(混沌)频次捕获非线性系统研究方法小扰动线性化办理相平面法-----用于二阶非线性系统运动剖析描述函数法-----用于非线性系统的稳固性研究及自振剖析。仿真研究---利用模拟机，数字机进行仿真切验研究。常有非线性要素对系统运动特征的影响：死区：(如：水表，电表，肌肉电特征等等)死区对系统运动特征的影响：ess(追踪阶跃信号有稳态误差），能滤去小幅值噪声，提升抗扰乱能力等效K，%［本来不稳固的系统，振荡性此时可能稳固（初始扰动不大时）］可见：非线性系统稳固性与自由响应和初始扰动的大小相关。2.饱和(如运算放大器，学习效率等等)饱和对系统运动特征的影响：(本来系统稳固，此时系统必定稳固）进入饱和后等效K↓振荡性（本来不稳，非线性系统最多是等幅振荡）限制追踪速度，追踪误差，迅速性空隙：(如齿轮，磁性体的磁带特征等)空隙对系统影响：空隙宽度有死区的特色----使ess2)相当于一个延缓τ时间的延缓环节,%振荡性减小空隙的要素的方法：提升齿轮精度；采纳双片齿轮；用校订装置赔偿。摩擦(如手指擦纸)摩擦惹起慢爬现象的机理改良慢变化过程安稳性的方法

1)、优秀润滑2)、采纳扰乱赔偿3)、增添阻尼，减少脉冲，提升均衡性摩擦对系统运动的影响：影响系统慢速运动的安稳性继电特征：对系统运动的影响：1)、理想继电特征等效一、二阶系统能够稳固K：一般地，好多状况下非线性系统会自振ess(带死区)2)、带死区继电特征等效K：%快态影响（死区+饷）的综合成效振荡性、一般继电特征：除3、2入耳状况外，多出一个延缓成效（对稳固性不利）7.2相平面法基础(合用于二阶系统)相平面相轨迹二阶非线性系统运动方程：x(t)f[x(t),x(t)]――定常非线性运动方程以为纵标，x为横标，组成一个平面（二维空间）dxdxxf[x,x]称之为相平面（状态平面）即：dxdt系统运动时，，以t为参变量在相平面上dxf[x,x]x(t)x(t)dxx描述出的轨迹称为相轨迹（能够描述系统运动）相平面法是用图解法求解一般二阶非线性控制系统的精准方法。它不仅能给出系统的稳固性信息和时间特征信息，还可以给出系统运动轨迹的清楚图象。二维空间(平面)上表示点的运动的观点，能够扩展到N维空间中去。状态：系统运动的状况状态变量：表征系统状态的变量状态平面（相平面）：由状态变量张成的平面状态轨迹（相轨迹）：系统运动时状态变量在状态平面上描述出的运动轨迹相平面：由c,c组成的，用以描述系统运动特征的平面。相轨迹：c,c随时间变化在相平面上描述出来的轨迹。例：欠阻尼二阶系统响应的相平面描述----相轨迹例：系统方程为xn2x0(=0)求相轨迹方程。解：x

dx

dt

xdx

n2xxdxn2xdx1x22x2c2n2x2x2c令222Ann得：x2x21――椭圆方程2A22An系统特色方程：220sn特色根：1,2jn（中心点）均衡点（奇点）：xe0自控演示实验x-y记录仪所画的相轨迹：二阶系统极点散布，奇点种类及相轨迹形式（见挂图）自由运动方程范围极点地点奇点名称0中心点01稳固焦点1稳固节点10不稳固节点1不稳固节点x2nxnx0

鞍点注：1).奇点=均衡点=各阶导数为0之点;2).实极点数值=特别相轨迹的斜率;3).x0时x右移x＜0时x左移x＝0时一般垂直经过例1.系统方程为：x2nx0作相轨迹解：原方程＝xdx2nxx[dx2n]0dxdx0--横轴（均衡点会合）即：dx2n--斜率为-2n的直线族dt利用线性系统（二阶）奇点性质大要地作出一类二阶非线性系统的相轨迹。例2.系统运动方程：xxx0，作出其相轨迹。解：原方程：xxx0x0(1)xxx0x0(2)(1)：(s2s1)X(s)0s1,20.5j3――稳固焦点2解(2)：(s2s1)X(s)0s10.62;s21.62――鞍点作图，可见初始条件≠0时自由运动结果总发散（向负方向）例3.系统运动方程：xxsignx0，作相轨迹。解：原方程：xx10x0(3)均衡点：x1xx10x0(4)均衡点：x1对(3):令x'x1x'x'0s1,2'j令x''x1''''''都是中心点（相轨迹为圆）对(4):xx0js1,2作图：见下页：x(x1)0xdx(x1)dxx2(x1)2A2xdx(x1)d(x1)x2(x1)2A2可见：系统自由运动老是稳固的：奇点为一线段［-1，1］，依初始条件x0不一样，x0最后能够稳固在［-1，1］之间任一点上。例4.系统运动方程为xsinx0求出所有均衡点，并剖析其特征。解：令xx0sinx0∴均衡点xe0,,2,,k.当xe2k时：sinxx(2k1)时:-sinxx∵在均衡点邻近变化时，x是小量，与sinx等价。xx0s1,2（中心点）j∴原方程为（鞍点）xx0s1,21均衡点公布及其邻近的相轨迹：4.相轨迹作图法（分析法，等斜线法，图弧法）(1)等倾斜线法：系统方程为：xxdxf(x,x)dxdxf(x,x)令相轨迹的斜率dxx得出等斜线方程：f(x,x)相平面上此方程对应曲线点上的x相轨迹斜率为等值给定不一样的值，画出不一样的等斜线，在上边画出斜率等于相应的短线，能够组成相轨迹切线的方向场。由此可画出非线性运动的相轨迹。等倾斜线法例1，系统如右，用等倾斜线法作系统相轨迹。解：对线性部分：kC(s)s(Ts1)U(s)(Ts2s)C(s)kU(s)TcckMxhchIu0hxhhchIIMxhchIII...Ⅰ：TcckMdcdcdc(1)dc(1)TccTTkMdcdcckM(等倾斜线方程，水平线）T=k=M=11T11Ⅲ：TcckM，同上议论可得：ckMT1k11T1M11101∞-3-2322Ⅰ：121101-1-2122Ⅲ：1-2-1101121221K1M1Ⅱ：Tcc0(T1)c011T画出等斜线并作出相轨迹见3号图：系统自由运动剖析：自由运动收敛，最后达到稳固。最后均衡地点[h,h]例2，在例1中，将非线性特征改为纯滞环继电特征。TcckuMxhxh,x0uxhMxh,x0chIkMh,c0TccchcIIkMh,c0c画等斜线（同例1,ⅠⅢ区）作相轨迹见6号图系统自由运动剖析：自由运动的最后状态是自振（对应有一个极限环）名类极限环（见挂图）7.3描述函数法描述函数一般观点如右图示：对非线性环节输入正弦信号一般地输入y(t)是一个周期信号y(t)例：关于理想的继电特征输出y(t)能够把周期信号睁开成富立哀级数：y(t)A0(AncosntBnsinnt)n1A0ynsin(ntn)n11此中：A02

2y(t)d(t)0AnBn

11

2y(t)cosntd(t)02y(t)sinntd(t)0ynAn2Bn2narctgAnBn关于y(t)中的基波重量(n=1)有:y1(t)A1costB1sinty1sin(t1)此中：12y(t)costd(t)A10B112td(t)0y(t)siny1A12B12Aarctg1B1例：对理想继电特征输入（方波信号）中，基波重量能够以下求出:由理想继电特征的对称性，能够确立A00。由y(t)的奇函数特征能够确立Ai012td(t)B1y(t)sin042y(t)sintd(t)04M[cost]024M1arctgA1arctg00B1B1y1(t)A1costB1sint04Msint假如把各次谐波都加上有：――方波信号是各次谐波重量的迭加y(t)

A0

yn

sinn

tn10y1(t)

y2(t)4M

[sin

t

1sin3t3

1sin5t5

1sinntn

]而在各次谐波重量中，基波重量最能表征y(t)的特色。描述函数定义：对一非线性特征，若输入r(t)Xsint时其输出y(t)中的基波重量为y1(t)Y1sin(t1)则定义非线性特征的描述函数：N(x)Y11B1jA1XXXA12B121A1X:正弦输入的幅值Y1:输入中基波重量即：N(x)tgB1X1:y1(t)对r(t)的相角差描述函数――从线性系统频次特征的角度来描述非线性特征的一种函数。描述函数是非线性环节的“频次特征”，是非线性特征的谐波线性化，线性系统频次特征是非线性系统描述函数的特例。描述函数N(x)与频次特征G(j)观点上不一样，但有近似的地方是其谐波线性化，是“频次特征”观点的推行。4M4M例：理想继电特征：N(x)00XX常有非线性特征的描述函数描述函数确实定（以一般继电特征为例）1）确立y(t)上的特色点1,2,3,4由输入x(t)xsint曲线可见：对1：Xsin1h1sin1hX对2：Xsin2Xsin(2)mh2sin1mh2sin1mhXX对3：Xsin3Xsin(3)h3sin1h3sin1hXX对4：Xsin4Xsin(24)mh24sin1mh42sin1mhXX1:sin1hcos11(h)2XX2:sin2mhcos21(mh)2由：XXh(h)23:sin3cos31XX4:sin4mhcos41(mh)2XX2）求y(t)中基波重量的系数A1,B1124MA1[Mcostd(t)Mcostd(t)]{[sint]13M[(mhh)(mhh)]2Mh(m1)(xxxxxxB11[2td(t)4Msintd(t)]Msin13M{[cost]2[cost]4}13

21

[sint]43}h)M{[1sin221sin21][1sin24(1sin23)]}M{1(mh)21(h)21(mh)21(h)2}xxxx2M{1(mh)21(h)2}(xh)xxjA1A12Mh(m1)N(x)Y11B1XXXXB12M{1(mh)21(h)2}XX2M{1(mh)21(h)2}j2Mh2(m1)XXXX特例：h0：理想继电特征4MN(X)Xm1：无滞环有死区N(X)4M1(h)2xXm1：纯滞环N(X)4M1(h)2j4MhXXX2可见，描述函数N(X)一般是非线性特征前，输入正弦信号x(t)幅值X的函数，并且在一般状况下，N(x)是一个复数。用描述函数剖析非线性系统为什么引出N(X)的观点：实质物理系统，严格地讲，都是程度不一样地带有非线性要素，非线性系统的很多运动规律是线性系统率域看不到的，如非线性自振。若一个实质系统（如火炮系统）发生自振，当对准具对准一个目标，炮口因为自振而不断摇动，是打不中目标的，此外对系统自己磨损也很厉害，因此有必需把非线性系统的稳固性及自振问题特意取出来研究。描述函数法是特意研究一类非线性系统稳固性及其自振问题的方法。描述函数剖析法的基本思想假定一个非线性系统知足以下三个条件：1)、能够化为如右图的形式；2)、N(X)特征的输入y(当xXsint时)，基波重量幅值最大；、G(j)是最小相角系统，且拥有较好的低通滤波特征。(NM)注：很多实质系统均能够知足此条件，因此此法拥有较广的适用范围。则：N(x)的输出y(t)经G(j)的滤波办理c(t)信号近似为一正弦信号这样，能够近似把y(t)用其基波信号来取代，用线性系统频次剖析法的思想来研究系统稳固性问题。（2）系统稳固性剖析：由右图可见：系统自振的条件为（必需条件）：N(X)G(j)1――自己输出反号后知足自己输入的需要即：1G(j)N(X)借用奈奎斯特稳固判据，视负倒描述函数1为广义的(1,j0)点，则有：N(x)判断非线性系统稳固性的方法：不包围1稳固G(j)包围则系统不稳固N(X)订交于可能自振（知足自振必需条件）例：对理想的继电系统：负倒描述函数11xN(X)4M4Mx1X描述出一条曲N(x)同画在一个坐标图上当X0变化时，N(X)G(j)4M线（不是定点）当线性部分传达函数为：1G1(s)G1(j)包围不稳固（发散）N(x)G3(s),G4(s)G3(j)或G4(j1系统稳固（运动收敛）)不包围N(x)G2(s)G3(j)与1在A点订交系统可能自振N(x)（3）负倒描述函数曲线1的绘制及广义(1,j0)点的变化规律：以纯滞环N(x)继电系统为例：N(X)4M1(h)2j4MhXXX2N0(X)hN(X)4h1(h)2j4(h)2MXXX把M――等效非线性部分的增益折算到线性部分增益之中。则标称化的h负倒描述函数：1X1X1(h)2jhXXN0(X)4h1(h)2jh4h1(h)2(h)2XXXX4X[1(h)2jh][(X)21j]hXX4h可见，1的虚部是一个常数()，以X为自变量计算绘图：N0(X)4hXh(Xh)1222.32.5345610-0.785-1.36-1.63-1.78-2.22-3.04-3.85-4.65Re[]N0可见，广义的(1,j0)点1N0(X)

是随X（当h确准时）的变化而变化的，不是像线性系统时的固定点(1,j0)。当非线性系统工作状态（对应一个确立X值）不一样时，该广义(1,j0)点在1曲线上挪动。N0(X)见挂图――常有非线性特征的1曲N0(X)线。（4）自振剖析：<1>必需条件:G(j)1――G(j)曲线与1曲线有交点。N(X)N(X)如右系统：1）、关于A――(1)穿进MG(j)曲线的点N(X)hA1(X1)在G0(j)之外稳固，X1不稳固极限环A，运动趋于发散，X2A2(X2)内2）、关于B――(1)穿出MG(j)曲线的点N1(X)hB1(X3)在G(j)之内发散：X3稳固极限环B，运动趋于B2(X4)0外稳固：X4可见，当初始扰动使x0不一样时，系统运动规律不一样：X0:0运动收敛到均衡点（稳固）XA有发散趋向XB对应自振有收敛趋向<2>自振的判断方法：（总结出来的结论）稳固的界线非稳固自振点（不稳固极限环）－确立1X穿入发散穿出G0(j)稳固自振点（稳固极限环）－确立一个自振状态N0(X)相切于半稳固自振点（半稳固的极限环）例：P32-5中交点A是一个稳固的自振点，该系统无论初始扰动大小，最后总要自振（不会发散，也不会收敛到零）<3>自振参数确实定及参数变化时系统运动的规律自振幅值――由交点

B上

N0

1(X)

的X值x6确立（系统各点的幅值能够折算过去）自振频次――由交点B上G(j)的值0定，参数变化时，系统运动规律剖析：参数变体时，系统运动的规律剖析：①k0Mk变化时，（h不变，Mk变化时）h自振循环点(X0X2)时自振加剧x33k0:0总稳固k1X0X2时，系统收敛，稳固界线X2k3②h变化时（h变化，但保持M不变）XX6hhh对应B点：常值X6B点自振幅值(c不变）：hh变化时，对应1曲线不一样③mN0(X)应分开来议论不一样时，G(j曲线不一样T1,T2)<4>定量计算例：9