广东省广州市2023届高三1月模拟考试数学(理)试卷

2023年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若全集U=R，集合，，则＝（A）（B）（C）（D）（2）已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（A）（B）（C）（D）（3）下列说法中正确的是（A）“”是“函数是奇函数”的充要条件（B）若，则（C）若为假命题，则，均为假命题（D）命题“若，则”的否命题是“若，则”（4）已知在上是奇函数,且满足,当时,，则（A）（B）（C）（D）（5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A）（B）（C）（D）（6）各项均为正数的等差数列中，，则前12项和的最小值为（A） （B）（C） （D）（7）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（A）（B）（C）（D）（8）已知，且，函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为（A）（B）（C）（D）（9）若实数满足约束条件则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（10）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为（A）（B）（C）2（D）（11）将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（A）150种（B）180种（C）240种（D）540种（12）已知的三个顶点，，的坐标分别为，O为坐标原点，动点满足，则的最小值是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知向量，满足，在方向上的投影是，则．（14）已知，则．（15）展开式中的常数项为，则．（16）已知为R上的连续可导函数，且，则函数

的零点个数为___________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）设为数列的前项和，已知，对任意，都有．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ）若数列的前项和为,求证：.（18）(本小题满分12分)如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，过线段的中点作的平行线，分别交，于点，．（Ⅰ）证明：平面；ABCDPMABCDPMNA1B1C1D1（19）（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；年入流量发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．（21）（本小题满分12分）已知函数（为自然对数的底数，为常数）在点处的切线斜率为.（Ⅰ）求的值及函数的极值；（Ⅱ）证明：当时，；（=3\*ROMANIII）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，于点，以为直径的圆与交于点．FCDABEFCDABEON（Ⅱ）若，点在线段上移动，,与相交于点，求的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数）与曲线：(为参数，)．（Ⅰ）若曲线