广东省各市2023年中考数学分类解析6-函数的图像与性质

广东2023年中考数学试题分类解析汇编专题6：函数的图象与性质选择题1.（2023广东广州3分）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是【】A．x＜﹣1或x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1【答案】D。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围：由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2。故选D。2.（2023广东梅州3分）在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线的交点的个数为【】A．0个B．1个C．2个D．不能确定【答案】C。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质作答：∵直线y=x+1的图象经过一、二、三象限，双曲线的图象经过一、三象限，∴直线y=x+1与双曲线有两个交点。故选C。二、填空题1.（2023广东佛山3分）若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1▲y2；【答案】＞。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】∵反比例函数中，k=2＞0，∴此函数图象的两个分支在一、三象限。∵0＜x1＜x2，∴A、B两点在第一象限。∵在第一象限内y的值随x的增大而减小，∴y1＞y2。2.（2023广东深圳3分）二次函数的最小值是▲．【答案】5。【考点】二次函数的性质。【分析】∵，∴当时，函数有最小值5。3.（2023广东深圳3分）如图，双曲线与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为▲．【答案】4。【考点】反比例函数综合题【分析】∵⊙O在第一象限关于y=x对称，也关于y=x对称，P点坐标是（1，3），∴Q点的坐标是（3，1），∴S阴影=1×3+1×3－2×1×1=4。三、解答题1.（2023广东省7分）如图，直线y=2x﹣6与反比例函数的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．（1）求k的值及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵点A（4，2）在反比例函数的图象上，∴把（4，2）代入反比例函数，得k=8。把y=0代入y=2x﹣6中，可得x=3。∴B点坐标是（3，0）。（2）存在。假设存在，设C点坐标是（a，0），则∵AB=AC，∴，即（4﹣a）2+4=5。解得a=5或a=3（此点与B重合，舍去）。∴点C的坐标是（5，0）。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。【分析】（1）先把（4，2）代入反比例函数解析式，易求k，再把y=0代入一次函数解析式可求B点坐标。（2）假设存在，设C点坐标是（a，0），然后利用勾股定理可得，解方程，即得a=3或a=5，其中a=3和B点重合，舍去，故C点坐标可求。2.（2023广东省9分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．【答案】解：（1）在中，令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。∴AB=9，OC=9。（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：。∴s=m2（0＜m＜9）。（3）∵S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2，∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。∴△CDE的最大面积为，此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。又，过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：。∴。∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积S⊙E=π•EF2=。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。3.（2023广东佛山8分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2＋bx＋c的解析式；=1\*GB3①y随x变化的部分数值规律如下表：x－10123y03430=2\*GB3②有序数对（－1，0），（1，4），（3，0）满足y=ax2＋bx＋c；=3\*GB3③已知函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图）．(2)直接写出二次函数y=ax2＋bx＋c的三个性质．【答案】解：（1）由①的表格可知，抛物线顶点坐标为（1，4），设抛物线解析式为y=a（x－1）2+4，将点（0，3）代入，得a（0－1）2+4=3，解得a=－1。∴抛物线解析式为y=－（x－1）2+4，即y=－x2＋2x＋3。（2）抛物线y=－x2＋2x＋3的性质：①对称轴为x=1；②当x=1时，函数有最大值为4；③当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的图象，二次函数的性质。【分析】（1）选择①，观察表格可知抛物线顶点坐标为（1，4），设抛物线顶点式，将点（0，3）代入确定a的值；选择=2\*GB3②，将（－1，0），（1，4），（3，0）分别代入y=ax2＋bx＋c得方程组，解之即可；选择=3\*GB3③，同①。（2）根据抛物线的对称轴，开口方向，增减性等说出性质。5.（2023广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2。∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。（2）由得，对称轴为x=﹣1。在中，令x=0，得y=3。∴OC=3，AB=6，。在Rt△AOC中，。设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=。如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=，∴。设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得，解得。∴直线AC解析式为。直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，∴直线L1的解析式为。则D1的纵坐标为。∴D1（﹣4，）。同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）。（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。又FE=5，则在Rt△MEF中，-ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×，FN=MN•cos∠MFE=3×。则ON=。∴M点坐标为（，）。直线l过M（，），E（4，0），设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。∴直线l的解析式为y=x+3。同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解。这样的切线有两条。6.（2023广东梅州8分）一辆警车在高速公路的A处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y（升）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象如图所示的直线l上的一部分．（1）求直线l的函数关系式；（2）如果警车要回到A处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可以行驶到离A处的最远距离是多少？【答案】解：（1）设直线l的解析式是y=kx+b，由图示，直线经过（1，45），（3，42）两点，得，解得。∴直线l的解析式是：y=﹣6x+60。（2）由题意得：y=﹣6x+60≥10，解得x≤。∴警车最远的距离可以到：千米。【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据直线l的解析式是y=kx+b，将（3，42），（1，54）代入求出即可。（2）利用y=﹣6x+60≥10，求出x的取值范围，从而得出警车行驶的最远距离。7.（2023广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，∴。（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。∵d=|x1﹣x2|，∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4。∴当p=2时，d2的最小值是4。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。8.（2023广东汕头9分）如图，直线y=2x﹣6与反比例函数的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．（1）求k的值及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵点A（4，2）在反比例函数的图象上，∴把（4，2）代入反比例函数，得k=8。把y=0代入y=2x﹣6中，可得x=3。∴B点坐标是（3，0）。（2）存在。假设存在，设C点坐标是（a，0），则∵AB=AC，∴，即（4﹣a）2+4=5。解得a=5或a=3（此点与B重合，舍去）。∴点C的坐标是（5，0）。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。【分析】（1）先把（4，2）代入反比例函数解析式，易求k，再把y=0代入一次函数解析式可求B点坐标。（2）假设存在，设C点坐标是（a，0），然后利用勾股定理可得，解方程，即得a=3或a=5，其中a=3和B点重合，舍去，故C点坐标可求。9.（2023广东深圳8分）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：（1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？（2）在“2023年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？【答案】解：（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40－2x）台，根据题意得：，解得：8≤x≤10。∵x是整数，从8到10共有3个正整数，∴有3种进货方案：方案一：购进电视机8台，洗衣机是8台，空调是24台；方案二：购进电视机9台，洗衣机是9台，空调是22台；方案三：购进电视机10台，洗衣机是10台，空调是20台；

（2）三种电器在活动期间全部售出的金额y=5500x+2160x+2700（40－2x），即y=2260x+10800。∵y=2260x+10800是单调递增函数，∴当x最大时，y的值最大。∵x的最大值是10，∴y的最大值是：2260×10+10800=33400（元）。∵现金每购1000元送50元家电消费券一张，∴33400元，可以送33张家电消费券。【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。【分析】（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40－2x）台，根据空调的数量不超过电视机的数量的3倍，且x以及40-2x都是非负整数，即可确定x的范围，从而确定进货方案。（2）三种电器在活动期间全部售出的金额，可以表示成x的函数，根据函数的性质，即可确定y的最大值，从而确定购物卷的张数。10.（2023广东深圳9分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)，∴设函数解析式为：y=a（x＋4）（x－1）。又∵由抛物线经过C（－2，6），∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得：a=－1。∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=－（x＋4）（x－1），即y=－x2－3x＋4。（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，由题意得：，解得：。∴直线BC的解析式为y=－2x+2．∴点E的坐标为（0，2）。∴。∴AE=CE。（3）相似。理由如下：设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则，解得：。∴直线AD的解析式为y=x+4。联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：。∴点F的坐标为（）。则。又∵AB=5，，∴。∴。又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定。【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式。（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论。（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，根据勾股定理分别求出BF，BC得出；由题意得∠ABF=∠CBA，即可作出判断。11.（2023广东湛江10分）某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2023年全市荔技种植面积为24万亩．调查分析结果显示．从2023年开始，该市荔技种植面积y（万亩）随着时间x（年）逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）；（2）该市2023年荔技种植面积为多少万亩？【答案】解：（1）设函数的解析式为：y=kx+b，由图形可知函数图象经过点（2023，24）和（2023，26），则，解得：。∴y与x之间的关系式为y=x﹣1985。（2）令x=2023，得y=2023﹣1985=27。∴该市2023年荔技种植面积为27万亩。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）用待定系数法，将函数图象经过的点的坐标代入函数的解析式即可求得函数的解析式。（2）将2023代入上题求得的函数解析式，求得自变量的值即可。12.（2023广东肇庆8分）已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限．（1）求的取值范围；（2）若一次函数的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4．①求当时反比例函数的值；②当时，求此时一次函数的取值范围．【答案】解：（1）∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限，∴k－1＞0，解得：k＞1。

（2）①∵一次函数与反比例函数交点纵坐标为4，∴，联立之，得：，解得k=3。∴反比例解析式为。当x=－6时，。②由k=3，得到一次函数解析式为y=2x+3，即。∵，∴，解得：3＜y＜4。∴一次函数y的取值范围是3＜y＜4。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组和不等式。【分析】（1）由反比例函数图象过第一、三象限，得到反比例系数k-1大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围。（2）①由一次函数与反比例函数交点纵坐标为4，将y=4代入一次函数及反比例函数解析式，联立求解即可得到k的值，确定出反比例函数解析式，然后将x=-6代入求出的反比例函数解析式中即可求出对应的函数值y的值。②将求出的k值代入一次函数解析式中，确定出解析式，应y表示出x，根据x的范围列出关于y的不等式，求出不等式的解集即可得到y的取值范围。13.（2023广东肇庆10分）已知二次函数图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，．（1）求证：；（2）求m、n的值；（3）当p﹥0且二次函数图象与直线仅