查补易混易错09 带电粒子在组合场、复合场中的运动-022年高考物理三轮冲刺过关（解析版）

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查补易混易错09带电粒子在组合场、复合场中的运动

本考点是高考命题的重点，多以计算题的形式出现，考查带电粒子的多过程运动，考查考生的理解能力、推理论证能力和模型建构能力，结合实际生活命题，考查考生利用物理知识分析实际问题情境的能力，对考生提出了高水平的思维要求。2021年湖南卷第13题、北京卷第18题、辽宁卷第15题、江苏卷第15题等各地都对该部分知识进行了考查。

【真题示例·2021·湖南卷·13】带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流（每个粒子的质量为、电荷量为）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在平面内的粒子，求解以下问题。

（1）如图（a），宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入圆心为、半径为的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点，求该磁场磁感应强度的大小；

（2）如图（a），虚线框为边长等于的正方形，其几何中心位于。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到点的带电粒子流经过该区域后宽度变为，并沿轴正方向射出。求该磁场磁感应强度的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；

（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为，并沿轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。

【答案】（1）；（2），垂直与纸面向里，；（3），，，

【解析】（1）粒子垂直进入圆形磁场，在坐标原点汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力

解得

（2）粒子从点进入下方虚线区域，若要从聚焦的点飞入然后平行轴飞出，为磁发散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域

磁场半径为，根据可知磁感应强度为

根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为

（3）粒子在磁场中运动，3和4为粒子运动的轨迹圆，1和2为粒子运动的磁场的圆周

根据可知I和III中的磁感应强度为

，

图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取I区域如图

图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周与三角形之差，所以阴影部分的面积为

类似地可知IV区域的阴影部分面积为

根据对称性可知II中的匀强磁场面积为

【易错分析】①考生不能理解“粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点”所指的意思，未能正确画出粒子的运动轨迹；②对粒子运动轨迹和磁场的形状判断不明确。

【易错01】组合场中的两种典型偏转

垂直电场线进入匀强电场(不计重力)

垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)

受力

情况

电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力

洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力

轨迹

抛物线

圆或圆的一部分

运动

轨迹

求解

方法

利用类平抛运动的规律求解：

vx＝v0，x＝v0t

vy＝

eq\f(qE,m)

t，y＝

eq\f(qE,2m)

t2

偏转角φ：tanφ＝

eq\f(vy,vx)

＝

eq\f(qEt,mv0)

半径：r＝

eq\f(mv,qB)

周期：T＝

eq\f(2πm,qB)

偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系，利用圆周运动规律讨论求解

运动

时间

t＝

eq\f(x,v0)

t＝

eq\f(φ,2π)

T＝

eq\f(φm,qB)

动能

变化

不变

2.常见组合模型

(1)从电场进入磁场

电场中：加速直线运动

⇓

磁场中：匀速圆周运动

电场中：类平抛运动

⇓

磁场中：匀速圆周运动

(2)从磁场进入电场

磁场中：匀速圆周运动

⇓

电场中：匀变速直线运动(v与E同向或反向)

磁场中：匀速圆周运动

⇓

电场中：类平抛运动(v与E垂直)

【易错02】带电粒子在叠加场中的运动

1．带电粒子在包含匀强磁场的叠加场中无约束情况下运动的几种常见形式

受力特点

运动性质

方法规律

其他场力的合力与洛伦兹力等大反向

匀速直线运动

平衡条件

除洛伦兹力外，其他力的合力为零

匀速圆周运动

牛顿第二定律、圆周运动的规律

除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向

较复杂的曲线运动

动能定理、能量守恒定律

2.带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动

带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，分析时应注意：

(1)分析带电粒子所受各力，尤其是洛伦兹力的变化情况，分阶段明确物体的运动情况。

(2)根据物体各阶段的运动特点，选择合适的规律求解。

①匀速直线运动阶段：应用平衡条件求解。

②匀加速直线运动阶段：应用牛顿第二定律结合运动学公式求解。

③变加速直线运动阶段：应用动能定理、能量守恒定律求解。

【易错03】带电粒子在交变电场、磁场中的运动

(1)解决带电粒子在交变电场、磁场中的运动问题时，关键要明确粒子在不同时间段内、不同区域内的受力特性，对粒子的运动情景、运动性质做出判断．

(2)这类问题一般都具有周期性，在分析粒子运动时，要注意粒子的运动周期、电场周期、磁场周期的关系．

(3)带电粒子在交变电磁场中运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动能定理、能量守恒定律等力学规律，所以此类问题的研究方法与质点动力学相同．

1.（2021·河北卷）如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上O点处的粒子源垂直极板向上发射速度为、带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q，一足够长的挡板与正极板成倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子，C、P是负极板上的两点，C点位于O点的正上方，P点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子，长度为，忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力。。

（1）若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上，求可调电源电压的大小；

（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板上，求电压的最小值；

（3）若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调，则负极板上存在H、S两点（，H、S两点末在图中标出）、对于粒子靶在区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n（）种能量的粒子，求和的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。

【答案】（1）；（2）；（3）；

【解析】（1）从O点射出的粒子在板间被加速，则:

粒子在磁场中做圆周运动，则半径:

由:

解得:

（2）当电压有最小值时，当粒子穿过下面的正极板后，圆轨道与挡板OM相切，此时粒子恰好不能打到挡板上，则

从O点射出的粒子在板间被加速，则:

粒子在负极板上方的磁场中做圆周运动:

粒子从负极板传到正极板时速度仍减小到v0，则:

由几何关系可知:

联立解得

（3）结合（2）分析可知，当粒子经上方磁场再进入下方磁场时，轨迹与挡板相切时，粒子运动轨迹半径分别为r2、r3，则：

①当粒子在下方区域磁场的运动轨迹正好与OM相切，再进入上方磁场区域做圆周运动，轨迹与负极板的交点记为H2，当增大两极板的电压，粒子在上方磁场中恰好运动到H2点时，粒子靶恰好能够接收2种能量的粒子，此时H2点为距C点最近的位置，是接收2种能量的粒子的起点，运动轨迹如图所示

由几何关系可得：

②同理可知当粒子靶接收3种能量的粒子的运动轨迹如图所示

第③个粒子经过下方磁场时轨迹与MN相切，记该粒子经过H2后再次进入上方磁场区域运动时轨迹与负极板的交点为H3(S2)，则该点为接收两种粒子的终点，同时也是接收3种粒子的起点。由几何关系可得：

可知，粒子靶接收n种、n+1种粒子的起点（即粒子靶接收n种粒子的起点与终点）始终相距：

当粒子靶接收n种能量的粒子时，可得

【易错分析】①考生未能理解“调整电压的大小，使粒子不能打在挡板上”的确切含义，不能建构粒子的运动模型，不能画出粒子的运动轨迹；②考生不能构建不同能量的粒子进入组合场后运动情况，不能抽象出粒子的运动轨迹；③考生不能由几何关系得到粒子的运动半径与CH之间的关系式一般表达式。

2.（2021·全国甲卷）如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。

（1）求粒子发射位置到P点的距离；

（2）求磁感应强度大小的取值范围；

（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。

【答案】（1）；（2）；（3）粒子运动轨迹见解析，

【解析】（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知

①

②

粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，有:③

粒子发射位置到P点的距离:④

由①②③④式得

⑤

（2）带电粒子在磁场中运动的速度:⑥

带电粒子在磁场中运动两个临界轨迹（分别从Q、N点射出）如图所示

由几何关系可知，最小半径:⑦

最大半径:⑧

带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式可知

⑨

由⑥⑦⑧⑨解得，磁感应强度大小取值范围

（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场时，带电粒子运动轨迹如图所示。

由几何关系可知:⑩

带电粒子的运动半径为:⑪

粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离:⑫

由⑩⑪⑫式解得:⑬

【易错分析】①考生未能理解和区分粒子在两种场中的受力，未能区别平抛运动和匀速圆周运动这两种运动形式；②考生未能构建两个运动模型，即粒子在电场中的运动，属于平抛运动模型；粒子在磁场中做匀速圆周运动模型；③考生在答题时利用数学工具进行推理论证能力表现不足：P点是类平抛运动的末点也是匀速圆周运动的起点，是解题的关键所在；④考生未能根据几何知识推证出两种临界状态的对应轨迹半径，然后求得磁感应强度的变化范围。

3.（2020·全国Ⅱ卷）CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图（a）是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图（b）所示。图（b）中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线（如图中带箭头的虚线所示）；将电子束打到靶上的点记为P点。则（）

A.M处的电势高于N处的电势

B.增大M、N之间的加速电压可使P点左移

C.偏转磁场的方向垂直于纸面向外

D.增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移

【答案】D

【解析】A．由于电子带负电，要在MN间加速则MN间电场方向由N指向M，根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知M的电势低于N的电势，故A错误；

B．增大加速电压则根据

可知会增大到达偏转磁场的速度；又根据在偏转磁场中洛伦兹力提供向心力有

可得

可知会增大在偏转磁场中的偏转半径，由于磁场宽度相同，故根据几何关系可知会减小偏转的角度，故P点会右移，故B错误；

C．电子在偏转电场中做圆周运动，向下偏转，根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向里，故C错误；

D．由B选项的分析可知，当其它条件不变时，增大偏转磁场磁感应强度会减小半径，从而增大偏转角度，使P点左移，故D正确。

故选D。

【易错分析】①考生容易出现审题错误，误把第二个磁场当作偏转电场；②数学能力缺失，不能把偏转的圆心角和半径的变化联系在一起。

4.（2021·江苏卷）如图1所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为B，加速电压的大小为U、质量为m、电荷量为q的粒子从O附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过P点绕O做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为，当M、N间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N间的距离。求：

（1）粒子加速到P点所需要的时间t；

（2）极板N的最大厚度；

（3）磁场区域的最大半径。

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）设粒子在P的速度大小为，则根据

可知半径表达式为

对粒子在静电场中的加速过程，根据动能定理有

粒子在磁场中运动的周期为

粒子运动的总时间为

解得

（2）由粒子的运动半径，结合动能表达式变形得

则粒子加速到P前最后两个半周的运动半径为

，

由几何关系有

结合解得

（3）设粒子在偏转器中的运动半径为，则在偏转器中，要使粒子半径变大，电场力应和洛伦兹力反向，共同提供向心力，即

设粒子离开偏转器的点为，圆周运动的圆心为。由题意知，在上，且粒子飞离磁场的点与、在一条直线上，如图所示。

粒子在偏转器中运动的圆心在点，从偏转器飞出，即从点离开，又进入回旋加速器中的磁场，此时粒子的运动半径又变为，然后轨迹发生偏离，从偏转器的点飞出磁场，那么磁场的最大半径即为

将等腰三角形放大如图所示。

虚线为从点向所引垂线，虚线平分角，则

解得最大半径为

5．（2021·辽宁卷）如图所示，在x>0区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在x<0区域内存在沿x轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子甲从点S（-a，0）由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点P（a，a）、质量为的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半电量转移给粒子乙。（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场、磁场变化引起的效应）

（1）求电场强度的大小E；

（2）若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在x≤0区域内加上与x>0区域内相同的磁场，求从两粒子碰撞到下次相遇的时间△t；

（3）若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内加上与原x>0区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段时间内粒子甲运动的距离L。

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）粒子甲匀速圆周运动过P点，则在磁场中运动轨迹半径

R=a

则

则

粒子从S到O，有动能定理可得

可得

（2）甲乙粒子在P点发生弹性碰撞，设碰后速度为、，取向上为正，则有

计算可得

两粒子碰后在磁场中运动

解得

两粒子在磁场中一直做轨迹相同的匀速圆周运动，周期分别为

则两粒子碰后再次相遇

解得再次相遇时间

（3）乙出第一象限时甲在磁场中偏转角度为

撤去电场磁场后，两粒子做匀速直线运动，乙粒子运动一段时间后，再整个区域加上相同的磁场，粒子在磁场中仍做半径为a的匀速圆周运动，要求轨迹恰好不相切，则如图所示

设撤销电场、磁场到加磁场乙运动了，由余弦定理可得

则从撤销电场、磁场到加磁场乙运动的位移

【答案】（1）；方向竖直向上；（2）；（3）

【解析】

（1）小球在第四象限做匀速圆周运动，有

qE2=mg①

得

②

小球释放后进入第一象限，故小球带正电，可得电场方向竖直向上

（2）小球在第一象限做匀加速直线运动，对小球，有

③

④

⑤

由③④⑤得

小球再次回到第一象限做类平抛运动，如图所示，有

竖直方向

⑥

水平方向

⑦

⑧

由⑥⑦⑧得

（3）假设x轴下方匀强磁场磁感应强度大小为B0，从P点释放的小球进入磁场，有

⑨

⑩

假设Q点离坐标原点的距离为yQ，对从Q点释放的小球，进入第一象限的速度v1，同理可得

⑪

从Q点释放的小球进入x轴下方，做匀速圆周运动，有

⑫

从Q点释放的小球在第二象限做直线运动，电场力和重力的合力与洛伦兹力大小相等，v1与x轴夹角θ=45°，有

⑬

电场力和重力的合力与洛伦兹力方向相反，则MQ与NQ必然垂直，由几何关系，得

⑭

由⑨⑩⑪⑫⑬⑭并代入R，得

6.（2021·福建省南平市二检）如图，竖直平面内建立直角坐标系xOy，x轴水平，在第二象限内有一段光滑绝缘圆弧轨道，轨道末端与x轴相切于O点。第一象限内存在垂直纸面向里匀强磁场和竖直向上的匀强电场，其中有一个半径为L的圆形区域，圆心D与O点的连线与水平方向的夹角为，OD长为。现有一电荷量为+q，质量为m的带电小球（可视为质点），从绝缘轨道上距x轴高度为H（H未知）处静止释放，并沿水平方向从O点进入第一象限，恰能做匀速圆周运动，其轨迹恰与图中圆形区域外切，匀强磁场磁感应强度大小为B，重力加速度为g，求：

（1）电场强度E的大小；

（2）高度H为多少；

（3）若仅将OD所在直线上方的磁场反向，磁感应强度大小不变，并将小球放在绝缘轨道上距离x轴高度大于H的任意位置，由静止释放。则能到达A（4L，4L）处的小球从O点运动到A所经过的时间。

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）带电微粒在复合场中做匀速圆周运动，有

mg=Eq

解得

（2）假设带电微粒从距x轴H高处释放，到达O点处速率为v，由动能定理∶

在第一象限的电磁场中，根据洛伦兹力提供向心力，其中r表示微粒做圆周运动的半径得

由几何关系和余弦定理得

解得

（3）假设进入第一象限的微粒恰好能到达（4L，4L）处，其半径为r，由几何关系得

或

又，得

n=1、2、3

则n=1时

，

n=2时

，

n=3时

，

7.（2021·山东省烟台市三模）如图所示xOy坐标系，在y>0空间存在场强为E，方向沿y轴正向的匀强电场，在y<0的空间存在磁感应强度为B，垂直于xOy平面向里的匀强磁场。P点位于y轴上，距离原点O的距离为OP=h，一质量为m，带电荷量为的带电粒子，从P点以垂直于y轴的初速度射出，粒子重力和空气阻力忽略不计。

（1）若带电粒子飞出后经过x轴上的D点，然后进入磁场区域，运动一周后又回到P点，试求O、D之间的距离d的大小；

（2）在（1）的条件下，求出相应v0的大小；

（3）若带电粒子经过在电场和磁场中的运动，最终能击中与O相距为d的D点，试讨论初速度v0所有可能满足的条件。（用m、q、B、E、d、h表示）

【答案】（1）；（2）；（3）（n=0，1，2，…）或（n=1，2，3，…）

【解析】

（1）如图1所示，带电粒子在电场中做类平抛运动，设粒子以速度vD经过D点，vD与x轴正向的夹角为α。进入磁场后，沿半径为R的圆弧运动到另一点D′，又从D′进入电场做类斜抛运动最后回到P点，由此可知D′与D关于O对称，即

①

由几何关系可得

d=Rsinα②

对粒子在磁场中的运动根据牛顿第二定律和洛伦兹力公式有

③

vD在y轴方向的分速度大小为

④

设粒子在电场中运动时的加速度大小为a，根据牛顿第二定律有

qE=ma⑤

根据运动学公式

⑥

联立①~⑥式解得

⑦

（2）粒子在电场中沿x方向做匀速直线运动，有

d=v0t⑧

沿y方向做初速为零的匀加速直线运动，有

⑨

联立⑤⑧⑨式解得

⑩

（3）Ⅰ.假设粒子从P点飞出后，历经磁场n次，最终从x轴上方击中D点，当n=0时，恰好对应粒子未经过磁场直接击中D点的情形，如图2所示。

图2

粒子经过磁场回转一次，在x轴方向倒退距离为

⑪

其中

⑫

设粒子自P点飞出后在电场中做类平抛运动水平位移大小为，粒子从D2出磁场后经电场再次到达x轴，前进2dn。如此历经n次循环，应有

（n=0，1，2，…）⑬

根据类平抛运动规律可得

⑭

⑮

联立⑫⑬⑭⑮解得

（n=0，1，2，…）⑯

Ⅱ.假设粒子从P点飞出后，再经磁场回转，又斜向上进入电场，如此循环，历经磁场n次，最终从x轴下方击中D点，