2022年湖南省衡阳市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022年湖南省衡阳市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.

3.A.收敛B.发散C.收敛且和为零D.可能收敛也可能发散4.

A.

B.

C.

D.

5.

6.设f(x)为连续函数，则等于()A.A.

B.

C.

D.

7.设∫0xf(t)dt=xsinx，则f(x)=()A.sinx+xcosxB.sinx-xcosxC.xcosx-sinxD.-(sinx+xcosx)

8.

9.

10.函数y=ex+e-x的单调增加区间是

A.(-∞,+∞)B.(-∞,0]C.(-1,1)D.[0,+∞)

11.下列关于动载荷的叙述不正确的一项是()。

A.动载荷和静载荷的本质区别是前者构件内各点的加速度必须考虑，而后者可忽略不计

B.匀速直线运动时的动荷因数为

C.自由落体冲击时的动荷因数为

D.增大静变形是减小冲击载荷的主要途径

12.A.f(2x)

B.2f(x)

C.f(-2x)

D.-2f(x)

13.A.有一个拐点B.有三个拐点C.有两个拐点D.无拐点14.若xo为f(x)的极值点，则()A.A.f(xo)必定存在，且f(xo)=0

B.f(xo)必定存在，但f(xo)不一定等于零

C.f(xo)可能不存在

D.f(xo)必定不存在

15.A.A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.收敛性与k有关

16.f(x)在[a，b]上可导是f(x)在[a，b]上可积的()。

A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.无关条件

17.

18.

A.2B.1C.1/2D.0

19.

20.用待定系数法求微分方程y"-y=xex的一个特解时，特解的形式是(式中α、b是常数)。A.(αx2+bx)ex

B.(αx2+b)ex

C.αx2ex

D.(αx+b)ex

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.若函数f(x)=x-arctanx，则f'(x)=________.

25.直线的方向向量为________。26.

27.

28.设z=x3y2，则=________。

29.

30.

31.

32.

33.

34.微分方程y'=ex的通解是________。

35.

36.微分方程y"+y=0的通解为______．37.过M0(1，-1，2)且垂直于平面2x-y+3z-1=0的直线方程为______．

38.39.设y=y(x)由方程x2+xy2+2y=1确定，则dy=______．

40.

三、计算题(20题)41.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．42.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

43.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

45.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．46.求微分方程的通解．

47.

48.49.证明：50.51.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

52.

53.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．54.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则55.

56.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．57.

58.59.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．60.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．四、解答题(10题)61.62.(本题满分10分)将f(x)＝ln(1＋x2)展开为x的幂级数．63.64.

65.

66.将函数f(x)=lnx展开成(x-1)的幂级数，并指出收敛区间。

67.68.

69.

70.判定y=x-sinx在[0，2π]上的单调性。

五、高等数学(0题)71.极限

=__________.

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.D解析：

2.B

3.D

4.B本题考查的知识点为交换二次积分次序。由所给二次积分可知积分区域D可以表示为1≤y≤2，y≤x≤2，交换积分次序后，D可以表示为1≤x≤2，1≤y≤x，故应选B。

5.A

6.D本题考查的知识点为定积分的性质；牛-莱公式．

可知应选D．

7.A

8.B

9.A

10.D考查了函数的单调区间的知识点.

y=ex+e-x,则y'=ex-e-x,当x＞0时,y'＞0,所以y在区间[0,+∞)上单调递增。

11.C

12.A由可变上限积分求导公式可知因此选A．

13.D本题考查了曲线的拐点的知识点

14.C

15.C

16.B∵可导一定连续，连续一定可积；反之不一定。∴可导是可积的充分条件

17.D解析：

18.D本题考查的知识点为重要极限公式与无穷小量的性质．

19.B

20.Ay"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1

y"-y=xex中自由项f(x)=xex，α=1是特征单根，应设y*=x(ax+b)ex=(αx2+bx)ex。

所以选A。

21.

22.-2/π本题考查了对由参数方程确定的函数求导的知识点.

23.

24.x2/(1+x2)本题考查了导数的求导公式的知识点。25.直线l的方向向量为

26.

27.x=-3x=-3解析：28.由z=x3y2，得=2x3y，故dz=3x2y2dx+2x3ydy，。

29.

30.y=f(0)

31.y+3x2+x

32.6x26x2

解析：

33.(-22)

34.v=ex+C

35.-sinx36.y=C1cosx+C2sinx本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解．

特征方程为r2+1=0，特征根为r=±i，因此所给微分方程的通解为y=C1cosx+C2sinx．

37.本题考查的知识点为直线方程的求解．

由于所求直线与平面垂直，因此直线的方向向量s可取为已知平面的法向量n=(2，-1，3)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为

38.＞1

39.

；

40.2m

41.

42.

43.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

44.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

52.

53.函数的定义域为

注意

54.由等价无穷小量的定义可知55.由一阶线性微分方程通解公式有

56.

57.

则

58.

59.由二重积分物理意义知

60.

列表：

说明

61.

62.本题考查的知识点为将函数展开为幂级数．

【解题指导】

本题中考生出现的常见错误