第14-16课【像差与像质评价】

第六章

像差与像质评价§6-1概述

像差：因实际光学系统与理想光学系统的差异而产生的实际象与理想像（完善象）之间的偏差。

像差产生的原因：实际系统成像均具有一定的孔径和视场，且材料的特性或折射（或反射）表面的几何形状引起实际像与理想像的偏差。像差的大小反映了光学系统质量的优劣§6-1概述

实际的光学系统，只有在近轴区域内以很小孔径角的光束所生成的像才是完善的。实际系统光路计算远远超过近轴区域所限制的范围，物象位置大小与近轴系统（近似理想光学系统）计算结果不同。这种差异就是像差。对于球面系统：若该展开式中的高次项不忽略，就会出现不完善成像的情况——像差。

用高斯公式、牛顿公式或近轴光线计算得到的像的位置和大小是理想像的位置和大小；而实际光线计算结果所得到的像的位置和大小相对于理想像的偏差，可作为像差的尺度。§6-1概述几何像差实际像点与理想像点的几何位置与大小的偏差。用于设计计算。实际波面与理想波面之间的光程差。可以直接用于成像质量检验与评价。波像差各种色光（折射率不同）有不同的传播路径使各种光线有不同的成像位置和倍率以下将从产生原因、计算公式及符号规则、与孔径和视场的关系、对成象质量的影响、校正等方面依次介绍各种基本像差。§6-2球差A-Umax-UhmaxhA０’L’－δL’△y’l’A’δL’＝L’－l’球面像差的简称，轴上点唯一的单色像差轴上点发出的同心光束经光学系统各个球面折射后，不再为同心光束。与光轴成不同孔径角U，或离光轴不同高度h的光线交光轴于不同的位置上，相对于由近铀光线决定的理想像点有不同偏离。

由于球差的存在，使得在高斯像面上得到的不是点像，而是一个圆形弥散斑，其半径即是垂轴球差

可见，球差越大，高斯像面上的弥散斑也越大，这将使像变得模糊不清。为使光学系统成像清晰必须校正球差，尤其对于大孔径系统，对校正球差的要求更为严格。球差的展开式球差是入射高度h或孔径角u的偶函数，具有对称性式中，第一项称为初级球差，第二项为二级球差，第三项为三级球差。二级以上球差称为高级球差。A1（B1）、A2（B2）、A3（B3）分别为初级球差系数、二级球差系数、三级球差系数。孔径较小时，主要存在初级球差；孔径较大时，高级球差增大（如强光镜头，大准直系统）光学系统的球差是由系统各个折射面产生的球差传递到系统的像方空间后相加而得，故系统的球差可以表示成系统各个面对球差的贡献之和，即所谓的球差分布式。当对实际物体成像时，对于由k个面组成的光学系统，球差的分布式为

∑S-称为光学系统球差系数，S-为每个面上的球差分布系数

球差对成像质量的影响球差使像点成为弥散斑，影响成像质量。孔径越大，球差越大，弥散斑越大，像越模糊齐明点（2）sinI-sinI’=0，即I=I’=0。或者说L=L’=r，即物点和像点均位于球面的曲率中心。常利用齐明点的特性来制作齐明透镜，以增大物镜的孔径角，用于显微物镜或照明系统中。（1）L=0，L‘=0，即物点和像点均位于球面顶点。（3）sinI‘-sinU=0，即I’=U由球差分布式可知，对于单个折射球面，有几个特殊的物点位置，不管球面的曲率半径如何，均不产生球差。

以上三对不产生像差的共轭点称作不晕点或齐明点齐明透镜物点位于透镜第一个折射面的曲率中心，对于该表面，L1=L1’=r1第二个折射面满足公式（6-23）和（6-24）。透镜厚度为d，且透镜位于空气中，则有下列关系由这样两个齐明面组成的透镜叫做齐明透镜

球差的校正

1、正、负透镜组合

球差是折射球面的固有像差，单个表面无法校正球差单正透镜产生负球差；单负透镜产生正球差。2、选择高折射率的材料。保证光焦度不变时，提高透镜的折射率能增大球面曲率半径，减小球差。3、配曲法。球差随透镜形状按二次抛物面的规律变化。存在一个球差最小的透镜最优形状。对于单个透镜，可以通过改变两折射球面的曲率改变透镜形状。校正球差只能使某带的球差为零。在实际设计光学系统时，常通过使初级球差与高级球差想补偿，将边缘带的球差校正到零，即

对于仅含有初级和二级球差的光学系统，当边缘带的球差为零时，在0.707带有最大的球差，其值是边缘带高级球差的-1/4，如图由最大孔径角的边缘光线求得的球差，称为边光球差；由0.707带孔径光线求得的球差则称为0.707带光线球差，简称带球差。

消球差系统

§6-3慧差和正弦差

对于轴外物点，主光线不是系统的对称轴，对称轴是通过物点和球心的辅助轴。由于球差的影响，对称于主光线的同心光束，经光学系统后，它们不再相交于一点，在垂轴方向也不与主光线相交，即相对主光线失去对称性。可用慧差来表示这种失对称性；而正弦差仅用来表示小视场时宽光束成像的不对称性。二者无本质区别，需要计算的光线有所不同。像方光线不再以主光线为对称轴——轴外球差成像光束与高斯面相截而成一彗星状的弥散斑。影响像面清晰度。距离主光线象点越远，形成的圆斑直径越大ABECODFAy’By’这些圆斑相互叠加的结果就形成了带有彗星形状的光斑光斑的头部（尖端）较亮，至尾部亮度逐渐减弱，称为彗星像差，简称彗差§6-3-1慧差子午面：物点（主光线）和光轴确定的平面弧矢面：包含主光线且垂直于子午面的平面子午平面内的光束称子午光束弧矢平面内的光束称弧矢光束轴上物点以光轴为对称轴。而当物点B位于光轴之外，其发出的光束不再存在对称轴线，而只存在一个对称面——子午面。

主光线：过孔阑中心，能量最集中。

轴上物点发出的光线束在子午和弧矢面内的分布情况是一样的，轴外点发出的光束分布情况则不同。必须按照子午和弧矢两个截面分别讨论。子午彗差：子午宽光束光线对交点不在主光线上，偏离主光线的垂直距离用KT’来表示，以主光线为计算原点；折射前主光线是子午光束的轴线，折射后不再是光束的轴线，光束失去对称性。

以轴外点子午光束上、下光线在高斯像面上交点高度的平均值和主光线在高斯像面上交点高度之差表示

到理想像面的距离称为宽光束子午场曲；到细光束像点之间的沿轴距离为轴外子午球差

弧矢彗差：弧矢宽光束光线对交点偏离主光线的垂直距离用Ks’来表示，以主光线为计算原点；到理想像面的距离——宽光束弧矢场曲；到细光束像点之间的沿轴距离——轴外弧矢球差慧差的展开式式中第一项为初级彗差，第二项为孔径二级彗差，第三项为视场二级彗差。对于大孔径小视场的光学系统，彗差主要由一、二项决定；对于大视场，相对孔径较小的光学系统，彗差主要由一、三项决定。

彗差是和视场、孔径都有关的一种垂轴像差。

如果把两个弯月透镜凹面相对，并在中间设置光阑，如图所示。当采用这种对称式的光学系统，且物像垂轴放大倍率b=-1时，彗差得到自动校正。因为在此条件下对称于孔径光阑前部和后部的光学系统所产生的垂轴像差大小相等，符号相反。光阑位置不同，彗差符号大小也不同。若光阑通过单折射面的球心，则不产生彗差。对称式光学系统对于某些小视场大孔径的系统（如显微镜），常用“正弦差”来描述小视场的彗差特性。正弦差等于彗差与像高的比值，用符号SC’表示§6-3-2正弦差仅用来表示小视场时宽光束成像的不对称性1、正弦条件垂直于光轴平面内两个相邻点，一个是轴上点，一个是靠近光轴的轴外点，其理想成像条件即为正弦条件。

当光学系统满足正弦条件时，若轴上点理想成像，则近轴物点也理想成像，即光学系统既无球差也无正弦差，这就是所谓的不晕成像。

当物体在无限远时，正弦条件可以表示为

2等晕条件实际光学系统对轴上点只能使某一带的球差为零，即轴上点不能完善成像，物点的像是一个弥散斑。只要弥散斑很小，则认为像质是好的，同理，对于近轴物点，用宽光束成像时也不能成完善像，故只能要求其成像光束结构与轴上点成像光束结构相同，也就是说，轴上点和近轴点有相同的成像缺陷，称为等晕成像。

要满足等晕成像的要求，光学系统必须满足等晕条件：若物体在无限远等晕条件为

对于近轴点成像，其视场较小，不考虑其它视场像差。由图知，轴上点与轴外点具有相同的球差值，且轴外光束不失对称性，即无彗差。此为满足等晕条件的系统。

3正弦差若系统不满足等晕条件，

不成立其两端偏差用OSC’表示，即是正弦差。物体在有限远时，其正弦差为

3正弦差1）正弦条件是等晕条件的特殊情况2）正弦差实质是相对慧差3）正弦差是小视场的专用概念，只是孔径的函数4）可以将光阑位置作为校正正弦差的一个参数正弦差：近轴点像差（小视场、专用概念）慧差：远轴点宽光束像差（大视场、通用概念）慧差与孔径（偶函数）、视场（奇函数）均有关系

球差与慧差同时存在，当球差消除时才能明显的看到慧差消除球差与慧差的条件不同，二者不容易同时消除采用配曲法可以消除单透镜慧差，也可以用组合透镜法产生慧差的原因：球面折射光阑中心位于折射球面的球心时无慧差小结：§6-4场曲和像散§6-4-1场曲像场弯曲宽光束子午场曲宽光束弧矢场曲细光束子午场曲细光束弧矢场曲细光束子午场曲与宽光束子午场曲之差为轴外点子午球差

细光束弧矢场曲与宽光束弧矢场曲之差为轴外点弧矢球差主光线Z理想像平面O1O2tlt’-xt’l’子午细光束像点相对于理想像面的偏离称为细光束子午场曲，用符号xt’表示子午宽光束像点相对于理想像面的偏离称为宽光束子午场曲，用符号XT’表示TLT’-XT’l’主光线Z理想像平面O1O2tslt’-xt’ls’-xs’l’弧矢细光束像点相对于理想像面的偏离称为细光束弧矢场曲，用符号xs’表示细光束象散细光束的场曲与孔径无关，只是视场的函数当光学系统存在严重场曲时，不能使一个较大的平面物体上的各点同时在同一像面上成清晰像。当把中心调然清晰了，边缘变得模糊，反之，边缘清晰则中心变模糊。因此，对于照相机，投影仪等物镜，其底片或屏都是平面，所以要对场曲进行很好的校正。校正场曲通常是对细光束而言（对大孔径、大视场的光学系统，也要考虑宽光束场曲）。场曲校正方法：正负透镜组合；厚透镜弧矢宽光束像点相对于理想像面的偏离称为宽光束弧矢场曲，用符号XS’表示TSLs’-Xs’LT’-XT’l’宽光束象散轴外物点成像时形成两条相互垂直且相隔一定距离的短线像的一种非对称性像差被称为像散Ats§6-4-2像散由子午光束所形成的像是一条垂直子午面的短线t称为子午焦线由弧矢光束所形成的像是一条垂直弧矢面的短线s称为弧矢焦线这两条短线的光能量最集中。在子午焦线和弧矢焦线中间，物点的像是一个圆斑，其它位置是椭圆形弥散斑。这两条短线之间沿主光线方向的距离是光学系统的像散。随视场的增大而迅速增大。象散对成像的影响其成像质量与直线的方向有关。1）若直线在弧矢面内，其弧矢像是弥散的，而子午像是清晰的。2）若直线在子午面内，其子午像是弥散的，其弧矢像是清晰的；3）若直线既不在子午面内也不在弧矢面内，则其子午像和弧矢像均不清晰。象散校正办法：改变光阑位置对单个折射球面而言，没有正弦差的物点位置（齐明点）和光阑位置（光阑中心在球心）不存在像散。※有像散必然存在场曲，但场曲存在时不一定有像散§6-4-3匹兹伐场曲

当像散为零时的像面弯曲.是球面固有像差。当光阑与球心重合，且孔径很小时，轴外点沿辅轴的细光束像点不在理想像平面上，其到理想像平面的距离称为匹兹伐场曲。像散为零时，子午焦点和弧矢焦点重合，但像面弯曲仍然存在，中心与边缘不能同时清晰。匹兹伐曲面（原系统未校正匹兹伐场曲）：显示器§6-5畸变

畸变是主光线的像差。由于球差的影响，不同视场的主光线通过光学系统后与高斯像面的交点高度不等于理想像高，其差别就是系统的畸变，表示为相对畸变为某视场的实际垂轴放大倍率，b为光学系统的理想垂轴放大倍率

畸变仅是视场的函数，不同视场的实际垂轴放大率不同，畸变也不同。畸变是垂轴（横向）放大率随视场的增大而变化所引起一种失去物像相似的像差畸变是一种垂轴像差畸变的存在使轴外直线成为曲线像枕形畸变桶形畸变无畸变正畸变负畸变§6-5畸变必须注意：1、畸变与其它像差不同，它仅由主光线的光路决定2、畸变的存在仅引起像的变形，但不影响成像的清晰度因此，对于一般光学系统只要眼睛感觉不出像的明显变形(相当下q=4％)，这种像差就无妨碍。畸变产生的原因：1、孔阑和球心不重合2、球差固有存在1、全对称系统（结构对称，物像对称），不产生畸变；

2.孔阑与之重合的接触薄系统，不产生畸变3.对于单薄透镜，光阑前移——负畸变，光阑后移——正畸变。畸变与光阑位置有关§6-6色差色差分为：位置色差和倍率色差单色光与复色光复色光成像时，由于不同色光而引起的像差称为色差：各种色光在光学系统内以各自的光路传播，造成了各种色光之间成像位置和大小的差异各种单色光各具有前面所述的各种单色像差，而且其数值也是各不相同的。薄透镜的焦距公式按色光的波长由短到长，其相应的像点离透镜由近到远地排列在光轴上，这种现象称为位置色差§6-6-1

位置色差（轴向色差、纵向色差）兰绿红lF’-△lFC’lc’AF’Ac’位置色差定义为：D光—黄光，589.3nm，钠光谱中的D线

F光—青光，486.1nm，氢光谱中的F线

C光—红光，656.3nm，氢光谱中的C线讨论：细光束成像能否获得白光的清晰像？用白光成像的光学系统都必须校正位置色差孔径不同，白光将会有不同的位置色差通常所指的消色差系统，就是指对两种色光消去位置色差的系统色球差位置色差仅与孔径有关

当孔径h（或U）为零时，色差不为零单透镜不能校正色差，单正透镜具有负色差，单负透镜具有正色差。色差的大小与光焦度成正比，与阿贝数成反比，与结构形状无关。因此，消色差的光学系统需由正负透镜组成。§6-6-2倍率色差（垂轴色差）光学材料对不同色光的折射率不同，对于光学系统对不同色光就有不同的焦距不同色光的焦距不等时，其放大率也不等就有不同的像高，这就是倍率色差影响成像清晰度光学系统的倍率色差定义为轴外物点发出的两种色光的主光线在消单色光像差的高斯像面上的交点高度之差

第一项为初级倍率色差，第二项为二级倍率色差倍率色差是像高的色差别，故其级数展开式与畸变的形式相同，但不同色光的理想像高不同，故展开式中含有物高的一次项高级倍率色差是不同色光的畸变差所致，所以也称作色畸变。同畸变类似，当光阑在球面的球心时，该球面不产生倍率色差，若物体在球面的顶点，则也不产生倍率色差。同样，对于全对称的光学系统，当b=-1时，倍率色差自动校正。BBAABF’BD’BC’BF’BD’BC’yzc’yzD’yzF’yzF’yzD’yzc’倍率色差使物体像的边缘呈现颜色，影响成像清晰度，所以如目镜等视场较大的光学系统必须校正倍率色差。§6-7像差综述单色光有5种基本像差：球差、慧差、象散、场曲、畸变。原因有三：1、球差的固有存在2、匹兹伐场曲球差的固有存在3、孔径光阑中心与球心不重合：慧差、象散、畸变物点位置主光线像差：畸变、倍率色差轴上点像差：球差、位置色差轴外点像差：慧差、匹兹伐场曲、象散象差根据度量方向分类

垂轴：慧差、畸变、倍率色差轴向：球差、匹兹伐场曲、象散、位置色差对于结构与孔径光阑对称的全对称系统，当以b＝-l成像时，在对称面上，垂轴像差大小相同，符号相反，是相抵消的。而轴向像差，则是大小相同，符号相同，是相加的。所以，设计这种系统时，由于垂轴像差自然消除，只需校正轴向像差即可。孔径光阑的位置

有关：慧差、象散、畸变、倍率色差无关：球差、匹兹伐场曲、位置色差对于单组簿透镜，当光阑与透镜重合时，其畸变和倍率色差为零，像散为常数。一般而言，当光阑位置移动时，轴外像差要发生变化。所以，挑选合适的光阑位置可改善轴外点成像质量。按展开式分类孔径：球差、慧差、位置色差视场：慧差、象散、匹兹伐场曲、畸变倍率色差球差、彗差、位置色差属宽光束像差，像散、像面弯曲、畸变、倍率色差属细光束像差。前者随孔径增大而迅速增大，是大孔径光学系统所必须校正的，后者随视场的增大而快速增大，是大视场系统所必须校正的。对于视场和孔径都较大的系统，则七种像差须全部校正。6.8像差计算

象差数值可以通过对光线的光路计算直接或间接地求得的

一般只对计算像差有特征意义的光线进行光路计算，研究不同视场的物点对应不同孔径和不同色光的像差值。设计光学系统时，要以像差理论为指导不断地修改光学系统的结构参数(r、d、n)以减小像差，求得像差的最佳校正和平衡。每当修改一次结构参数都必须计算出有关的像差值。对计算象差有特征意义的三类光线

1、子午面内的近轴光线光路计算和实际光线光路计算1）近轴光第一近轴光线（轴上点）理想像位置第二近轴光线（轴外点）理想像大小2）远轴光实际光线实际像2、轴外点沿主光线的细光束光路计算：像散、场曲3、子午面外的空间光线光路计算：更全面的了解子午象差分量和弧矢象差分量

对于小视场的光学系统，例如望远物镜和显微物镜等，因为只要求校正与孔径有关的像差，因此只需作第一种光线的光路计算即可。

对大孔径、大视场的光学系统，例如照相物镜等，要求校正所有的像差，因此上述三种光线的光路计算都需要进行。一、子午面内的光线光路计算第一近轴光线（轴上点近轴光线）：轴上点发出的过入瞳上边缘的近轴光线；计算出理想像面的位置、像方孔径角和系统各基点的位置。

第二近轴光线（轴外点近轴光线）：视场下边缘点发出的过入瞳中心的近轴光线（主光线）；求出理想像高。一般要对五个视场（0.3，0.5，0.707，0.85，1）的物点分别进行近轴光线的光路计算，以求得不同视场的主光线与理想像面的交点高度1、近轴光线初始数据：一、子午面内的光线光路计算2、远轴光线物体在无限远对各个视场一般要计算11条光线，考虑到问题的简化与代表性，只考虑计算3条光线，即主光线和上、下光线。

物体在有限远2、远轴光线利用实际光线计算公式和过渡逐面计算，可求出通过该孔径光线的实际成像位置和像点弥散情况。实际像高二、沿轴外点主光线细光束的光路计算

轴外点细光束的计算是沿主光线进行的，主要研究在子午面内的子午细光束和弧矢面内的弧矢细光束的成像情况。

若子午光束和弧矢光束的像点不位于主光线上的同一点，则存在像散。杨氏公式：子午像点和弧矢像点的计算公式基本步骤——确定入射光线的初始坐标——逐面应用计算公式求出出射光线坐标——结果处理，得出有关像差的数据三、计算举例若使两光波的色差在一定范围内，的光波的像差在一定范围内——准理想成像系统。谱线范围例如人眼，对准校正单色像差，对准校正色差。四、像差计算的谱线选择原则计算和校正象差时的谱线选择主要取决于光能接收器的特性（特性不同——谱线不同）6.9光学系统的象质评价和象差公差

一、象质评价1、象质评价的两个阶段第一阶段：设计完成后，投入加工前，仿真模拟第二阶段：样品加工装配后，投入大批量生产前，通过严格实验来检验实际成像效果。2、进行像质评价需要考虑的三个因素：像差、衍射、材料加工及安装基于几何光学的方法：不考虑衍射，只进行光路追迹——点列图、像差特征曲线、光程差曲线基于衍射理论的方法：像质要求非常高的系统，考虑衍射因素，校正到衍射极限3、像质评价的两大类方法瑞利判断、光学传递函数、点扩散函数、线扩散函数、中心点亮度、分辨率任何一种方法都无法全面评价系统的所有性能，往往需要综合使用多种评价方法。瑞利判断要求严格，仅适用于小像差系统中心点亮度要求严格，仅适用于小像差系统分辨率两个爱里斑的中心距正好是爱里斑的半径。瑞利判据:以爱里斑半径或衍射图样的第一暗环半径作为光学系统能对无限远两点的像分辨得开的最小距离.适用于大像差系统：主要考虑像差对成像质量的影响。点列图适用于大像差系统：主要考虑像差对成像质量的影响。光学传递函数瑞利判断、中心点亮度判断、分辨率、点列图都是基于把物体看做是发光点的集合，并以一点成像时的能量集中程度来表征光学系统的成像质量的。光学传递函数评价光学系统的成像质量，是基于把物体看做是由各种频率的谱组成的，也就是把物体中的光场分布函数展开成傅立叶级数或傅立叶积分的形式。光学传递函数是反应物