概统第三章3-1至3-4

第三章二维随机变量及其分布二维随机变量二维离散型随机变量的分布律及性质二维连续型随机变量及其概率密度两个随机变量的函数的分布除一维随机变量外，我们往往还要同时考虑两个，三个或更多随机变量构成的随机变量组，它们的值分别由两个，三个或更多个数来确定，这样的随机变量分别叫做二维，三维或多维随机变量．引言例如：打靶时，弹着点就由两个随机变量——弹着点的横坐标，纵坐标所构成。例如：炼钢炼出每炉钢的硬度，含碳量，含硫量,在一起组成了一个三维随机变量§1二维随机变量简言之，若n维变量的取值是随试验结果而确定的，则称这个n维变量

为n维随机变量，相应地，称的取值规律为n维分布.定义一:设是定义在Ω={e}上的随机变量，由它们构成的一个向量叫做n维随机向量或n维随机变量.定义二:设(X,Y)

是二维随机变量，对任意实数x,y,称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简记为:如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，那么，分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数就是随机点(X,Y)

落在如下图3-1所示的以(x,y)为顶点，而位于该点左下方的无穷矩形内的概率．对固定的x,当时，由上定义，由图3-2易得:

分布函数具有以下性质：性质1

F(x,y)是变量x,y

的不减函数，即对于固定的y，当时性质2，且对于固定的y,对于固定的x,性质3分布函数，它也有类似二维随机变量的分布函数的性质．即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续。同样，对于n个实数x1,x2,…,xn,n元函数例1

随机变量(X,Y)的分布函数为求系数A,B,C.称n维随机变量的联合分布函数或简称例1

随机变量(X,Y)的分布函数为求系数A,B,C.解：由分布函数的性质有从而对任意的x,y有将B,C的值代入得：于是有§2二维离散型随机变量的分布律及性质一、二维离散型随机变量的联合概率分布定义若二维随机变量(X,Y)

的可能取值的全体为有限或可数多个数组，则称(X,Y)为二维离散型随机变量．象一维离散型分布那样，可以用一个概率分布来表达二维离散型分布．设二维离散型随机变量可能的取值为对二维离散型随机变量，由图3-1知离散型随机变量图3-1例1一口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2.从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球.设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同．以X、Y

分别记第一次、第二次取得球上标有的数字，求(X,Y)

的概率分布．取每组值的概率．第一次取得1的概率为，第一次取解：可能取的值为数组(1,2),(2,1),(2，2).下面先算出得1后，第二次取得2的概率为1.因此，按乘法定理，得第一次取得2的概率为，第一次取得2后，第二次取得1、2的概率都为.同理可得

于是，所要求的概率密度

如表3-2.取每组值的概率．第一次取得1的概率为，第一次取可能取的值为数组(1,2),(2,1),(2，2).下面先算出得1后，第二次取得2的概率为1.因此，按乘法定理，得第一次取得2的概率为，第一次取得2后，第二次取得1、2的概率都为.同理可得

二、二维离散型随机变量的边缘概率分布二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有分布函数而X和Y都是随机变量，也分别具有分布函数，记之为

依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数．边缘分布函数可以由(X,Y)的分布函数

所确定，事实上即同理对离散型随机变量，由（2.1）和（2.2）

可得：设(X,Y)是二维离散型随机变量，它的概率分布如表3-1所示，那么以后把记作。因此关于X的边缘概率分布也是离散的，它的概率分布如下表3—3.同理关于Y的边缘概率分布也是离散的，它的概率分布如表3-4.其中：

例2

设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布如表3-5,求关于X及关于Y的边缘概率分布.解：求得边缘概率分布如表3-6所示,我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，如上表所示，这便是“边缘分布律”这个词的由来。对二维随机的变量(X,Y)，我们考虑在其中一个变量三、二维离散型随机变量的条件概率分布

取固定值的条件下，另一个变量的概率分布，这样得到的X或Y的概率分布叫条件分布．对二维离散型随机变量,设,考虑在随机变量

取得可能值的条件下，随机变量取它的任一可能值的条件概率前面第一章讨论过事件的条件概率．在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率为这里P(B)>0.

由上述随机事件的条件概率公式可得：易知，上述条件概率满足概率分布的性质同理，设，则可得到在时随机变量的条件概率分布为：

(2),求时关于X

的条件概率分布及X=0

时关于Y例3

设二维离散形随机变量(X,Y)的概率分布如表3-7解：（续下页）的条件概率分布。且由 得X=0时关于Y的条件概率分布为：解:求得边缘概率分布为:由 得时X的条件概率分布为：四、

独立性充分必要条件是:P(AB)=P(A)P(B),从而有如下定义设及分别是二维随机变量(X,Y)的联合分布函数和边缘分布函数．若对所有的

则称随机变量X和Y

是相互独立的．下面借助于随机事件的相互独立性，引入随机变量的相互独立性的概念，已知任二事件A,B

相互独立的当(X,Y)为离散型随机变量时，X和Y是相互独立的条件（2.6）式等价于：对于(X,Y)的所有可能取值(xi,yj)有反之，若存在i0,j0使得则称X与Y不独立．例4

X,Y相互独立，填如下表3-8空白处的值.同理解故又相互独立所以从而所以所以从而例5

设X表示把硬币掷三次时头两次掷出正面的次数,Y表示这三次投掷中出现正面的总次数那么，二维随机变量(X,Y)概率分布如表3-9所示.问随机变量X与Y是不是相互独立？解：（续下页）解

仔细观察概率分布表及由它算出的边缘概率分布，发现

于是有所以X与Y

不是相互独立的随机变量．其实，我们从X与Y的实际背景容易得出，头两次掷出的正面次数肯定要影响三次掷出的正面次数，故X与Y

不可能相互独立。例6

证明离散型随机变量X与Y

独立的充分必要条件是：对实数轴上的任意两个点集

有 （2.8）

成立．成立，所以X与Y

独立．证明：若对任意两个点集S1,S2有(2.8)成立，则当S1,S2依次为单点集S1={xi},S2={yj}时，仍有：反之，若X与Y

独立，则成立．从而对实数轴上的任意两个点集有（因为独立）§3二维连续型随机变量及其概率密度一、二维连续型随机变量的联合分布则称(X,Y)

为二维连续型随机变量，称f(x,y)为二维连续型随机变量(X,Y)

的联合概率密度或概率密度．与一维随机变量类似，对于二维随机变量(X,Y)若存在定义域为整个xOy

平面上的非负函数f(x,y),

使(X,Y)的分布函数可表为：按定义，概率密度具有以下性质

(3)设G是xOy平面上的区域，点(X,Y)

落在G

内的概率为

(4)若在点连续，则有(1)(2)由性质（4）和(1.1),如图3-3,在f(x,y)的连续点处有这表示若f(x,y)在点(x,y)连续，则当很小时,即(X,Y)落在小长方形内的概率近似地等于 几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面．由性质（2）知，介于它和xOy平面的空间区域的体积为1．由性质(3),的值等于以G为底，以z=f(x,y)

为顶面的曲顶柱体体积．（如图3-4）

其中SD为区域D的面积，则称(X,Y)服从

区域D上的均匀分布．特别地，设(X,Y)

在以圆点为中心、r为半径的圆域R上服从均匀分布，求二维联合概率密度.例1

若二维随机变量具有概率密度

解：（续下页）当时,解当时,所以由此得二维联合概率密度为其中为常数．由密度函数的性质得例2

设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

(1)求分布函数(2)求的概率.解：如图即有解(2)将(X,Y)

看作平面上随机点的坐标．即有,其中G为xOy

平面上直线y=x

及其下方的部分，如图3-5．于是(2)求的概率.

例3

二维随机变量(X,Y)的联合密度为

求(1)系数c;

(2)随机变量(X,Y)

落在圆

内的概率解：

（1）由得用极坐标有：

例3

二维随机变量(X,Y)的联合密度为

求2)随机变量(X,Y)落在圆内的概率解:(2)中，令得连续型随机变量X的边缘分布函数二、

二维连续型随机变量的边缘分布同理可得随机变量Y的边缘分布函数的边缘概率密度函数由此得随机变量X的边缘概率密度函数与二维离散型随机变量类似，在等式当时,例4

设二维随机变量(X,Y)在以圆点为中心、r为半径的圆域R上服从均匀分布，求X及Y的边缘概率密度.所以当时,其中为常数．由密度函数的性质得解：上面例1中，已按如下步骤求出二维联合概率密度这里值得注意的是，二维随机变量(X,Y)

在圆域上服从均匀分布，但是它们的边缘分布都不是均匀分布.所以，按公式（3.2）得X的边缘概率密度为同理可得Y

的边缘概率密度为例5

设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为

求边缘概率密度.解：对任意有可知边缘概率密度为：对任意有例6

设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为～解：其中为常数，称服从参数为的二维正态分布，记为试求其边缘概率密度。令对y

微分,x看作常数同理我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数，亦即对于给定的不同的对应不同的二维正态分布，它们的边缘分布却都是一样的.这一事实表明，仅由关于X和关于Y的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量X和Y的联合分布的.三、二维连续型随机变量的条件分布设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),如何规定这分布在条件{Y=y}下x的概率分布呢？由于这时Y服从连续型分布,P{Y=y}=0,因此不能直接利用乘法公式来定义条件分布.

对二维离散型随机变量,设,考虑在随机变量

取得可能值的条件下，随机变量取它的任一可能值的条件概率为在Y=y

条件下X

的条件概率密度。则称这就启发我们，对于二维连续型分布，规定在条件{Y=y}下X的条件分布为如下连续型分布：定义设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y的边缘密度为fY(y).若对于固定的为在Y=y的条件下的X条件分布函数.显然，条件概率密度满足条件：（1）（2）类似地，规定在条件{X=x}下Y的条件概率密度函数和条件分布函数分别为

这里fX(x)为(X,Y)

关于X

的边缘密度.（非负性）（归一性）例7

随机变量(X,Y)在矩形域服从均匀分布，求X及Y的条件概率密度.解：按题意(X,Y)具有联合概率密度对于任意给定的值的条件下，

X的条件概率密度为对于任意给定的值的条件下，

Y的条件概率密度为即X,Y

均服从均匀分布.解：我们有当时：f(x,y)=c,当时

f(x,y)=0.其中c为常数.例8

设二维随机变量(X,Y)在以圆点为中心,r为半径的圆域R上服从均匀分布，分别求关于X及Y的条件概率密度.由前面例5得二维联合概率密度为得X的边缘概率密度为同理得Y的边缘密度所以按式(3.5)及(3.6)即得X

的条件概率密度及Y的条件概率密度由此可见，在Y=y的条件下X

的条件概率密度或者在X=x

的条件下Y

的条件概率密度都是均匀分布.四、二维连续型随机变量的相互独立性定义：设F(x,y)及FX(x),FY(y),分别是二维随机变量(X,Y)的联合分布函数和边缘分布函数.若对所有的x,y有即F(x,y)=FX(x)FY(y)

（3.7）则称随机变量是相互独立的.上面（3.7）式两边分别对x和y各微分一次，即得f(x,y)=fX(x)fY(y)（3.8）从而，随机变量是相互独立的充分必要条件为（3.8）几乎处处成立.此处“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去“面积”为零的集合外处处成立.例9

设二维随机变量(X,Y)在上服从均匀分布，问X与Y是否相互独立？解：易得(X,Y)具有概率密度：

得X

的边缘密度为Y

的边缘概率密度可见,故随机变量X和Y不是独立的.事实上,若（X,Y)服从区域D的均匀分布，则只有当D为矩形区域： 时，X与Y分别服从[a,b],[c,d]

上的均匀分布，且X与Y独立，反之亦然.得X

的边缘密度为Y

的边缘概率密度例10

设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

问随机变量和是否相互独立的？解：故有，因而随机变量和是相互独立的.例11

二维正态随机变量的概率密度为

求证X,Y相互独立等价于.证由本章第3节例6知，二维正态随机变量关于X,Y的概率密度为比较及易知当时，有从而随机变量和是相互独立的。若随机变量和是相互独立的.由对所有的x,y都成立，特别的取有若随机变量和是相互独立的.由对所有的x,y都成立，特别的取有二维正态随机变量(X,Y)，X和Y相互独立充分必要条

件为.总结：当时，有我们指出，如果随机变量相互独立，则任一变量的条件概率密度等于其边缘概率密度.事实上，这时我们有综上所述，有独立。独立。有称为n维随机变量

的联合分布函数或简称分布函数，它也具有类似于二维随机变量的分布函数的性质.以上所述关于二维随机变量的一些概念，容易推广到n维随机变量的情况.上面说过，对n个实数x1,x2,…,xn,n

元函数则称为的概率密度函数.设的分布函数为已知，则的k维边缘分布函数就随之确定.若存在非负函数使对于任意实数有例如关于、关于的边缘分布函数分别为又若为的概率密度函数.则关于、关于的边缘密度函数分别为若对于所有的有则称是相互独立的.则称随机变量有若对于所有的和是相互独立的.的分布函数，其中依次为随机变量和我们不加证明地给出以下定理，它在数理统计中是很有用的.定理设和相互独立，又和相互独立.若是连续函数，则和相互独立.或者写成但是，对于不同的xi及yj，它们的和可能是相等的.所以，按概率加法定理，我们有§4两个随机变量的函数的分布首先考虑两个离散型随机变量X与Y的和，显然，它也是离散型随机变量，记作，变量Z

的任一可能值zk

是变量X的可能值xi与变量Y的可能值yj

的和zk=xi+yj一、的分布这里求和的范围可以认为是一切i的值；如果对于i的某一个值i0

，数不是变量Y的可能值，则我们规定以上两式又称离散卷积公式.同理可得 (4.2)如果X与Y相互独立，则有

(4.3)或 (4.4)由(X,Y)

的对称性，fZ(z)又可写成 在二维离散型随机变量和的概率分布式（4.1）中，将概率 换为概率密度，将和“”换为积分“”,则类似的可得到二维连续型随机变量和Z的概率密度为上述两等式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别，当X和Y相互独立时，设(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度分别：则上述两等式分别化为这两个公式称为卷积公式，记为，即例1

设X,Y的概率分布如表3-8,

求(1)、(2)的概率分布.

解由X,Y的概率分布可得表3-9从而得：（1）的概率分布如表3-10， （2）的概率分布如表3-11例2

设X与Y相互独立，依次服从泊松分布求随机变量Z=X+Y的概率分布.解:Z=X+Y的可能取值为0，1，2，…即：若X与Y相互独立，依次服从泊松分布，则Z=X+Y服从泊松分布这一性质称为泊松分布的可加性.故Z=X+Y

服从泊松分布例3

设X和Y是相互独立相互独立随机变量.它们都服从N(0,1)分布，其概率密度分别为：

求Z=X+Y的概率密度.解即Z服从N(0,2)分布.（令 ）～～～～一般地，设X和Y是相互独立，且,由(4.7)式经过计算知Z=X+Y仍然服从正态分布，且有这个结论还能推广到个独立正态随机变量之和的情形.若 ，且它们都相互独立，则它们的和仍然服从正态分布，且有～这一性质称为正态分布的可加性.求得Z的分布函数后，通过分布函数与概率密度的关系，即可得Z的概率密度.一般地，若随机变量Z是连续型二维随机变量(X,Y)的函数

z=g(X,Y)，要用(X,Y)的概率密度来表达Z=g(X,Y)

的概率密度