概率论第一章课件

1概率论与数理统计主讲教师：陈红燕部门：基础教育学院2

概率论与数理统计是一门研究和探索随机现象规律性的数学学科，是数学的分支学科,在金融、保险、经济、管理、工农业生产、医学、地质学、气象与自然灾害预报等等方面都起到非常重要的作用。我校本着培养应用型人才的办学宗旨，重基础、重实践、强应用，将这门课程列为经管与理工类各专业的必修课，以培养学生处理随机现象的能力，适应社会的发展和需求。

课程简介3

概率论：是根据大量同类的随机现象的统计规律，对随机现象的出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，并对这种出现的可能性大小做出数量上的描述，比较这些可能性的大小，研究它们之间的联系，从而形成一套数学理论和方法。本内容以具有不确定性的随机现象为研究对象，以探讨和研究随机现象的统计规律性为任务，主要研究随机事件及其概率，随机变量及其概率分布，随机变量的数字特征。4

数理统计：是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性，对通过科学安排一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明，并判定各种方法应用的条件及方法，公式、结论的可靠程度的局限性，使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的。并可以控制发生错误的概率，通过对点估计、区间估计、假设检验的研究，介绍了怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，并对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决断和行动提供可靠依据和建议。5关键词：随机事件 频率和概率古典概型 条件概率 事件的独立性第一章随机事件及其概率6Definition：在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.

“太阳东升西落”,1.确定性现象

“可导必连续”等等.“水从高处流向低处”,例1两种现象:确定性现象与随机现象.§1.1随机现象与随机事件一、基本概念7

Definition：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象称为随机现象.例2

“在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.2.随机现象

结果有可能出现正面也可能出现反面.8结果有可能为:

例3

“抛掷一枚骰子,观观察出现的点数”.“1”,“2”,“3”,“4”,“5”，“6”.例4

“一只灯泡的寿命”可长可短.

例5

“对某路公交车某站点下车人数”，人数可能多可能少.9

随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量重复试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性

,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.如何来研究随机现象?10

例6（1）抛一枚硬币，观察试验结果；（2）抛掷一枚骰子，观察出现的点数；（3）对某路公交车某站点下车人数；（4）从一批灯泡中任取一只，测试其寿命；

它们具有以下特性：

(1)可以在相同条件下重复进行

(2)事先知道所有可能出现的结果

(3)进行试验前并不知道哪个试验结果一定会发生3.随机试验Definition：对随机现象的观察、记录、试验统称为试验。在概率论中，将具有上述三个特点的试验称为随机试验，记为E.11

4.样本空间Definition：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间，记为S={e}，称S中的元素e为基本事件或样本点．

一枚硬币抛一次S={0,1,2,…}；S={正面H，反面T}；

某路公交车某站点下车人数

从一批灯泡中任取一只，测试其寿命

抛掷一枚骰子S={1，2，3，4，5，6}；12Definition：样本空间S的子集A称为随机事件，A发生当且仅当A所包含的一个样本点发生。

例7某路公交车某站点下车人数，S={0,1,2,…}；

记A＝{至少有10人下车}＝{10,11,12,…}A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。为方便起见，记为不可能事件，不包含 任何样本点。 5.随机事件131.包含关系若事件A出现,必然导致B出现,则称事件B包含事件A,记作例8

“长度不合格”必然导致“产品不合格”所以“产品不合格”包含“长度不合格”.图示

B包含

A.SBA★二、随机事件间的关系14若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A,则称事件A与事件B相等,记作A=B.2.事件的和(并)例8’

某种产品(如圆柱体)的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.图示事件

A与

B的并.

SBA153.事件的交(积)推广16图示事件A与B的积事件.SABAB例8’

某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.17和事件与积事件的运算性质18例2’

抛掷一枚硬币,“出现正面”与“出现反面”是互不相容的两个事件.4.事件的互不相容(互斥)

若事件A、B满足则称事件A与B互不相容.195.事件的差图示A与B的差SABSB例8’“长度合格但直径不合格”是“长度合格”与“直径合格”的差.A事件“A出现而B不出现”，称为事件A与B的差.记作A-B(或)20

若事件A、B满足则称A与B为对立

(或互逆)事件.A的逆记作

例3’

骰子出现1点”“骰子不出现1点”图示A与B的对立.SBA6.事件的对立（互逆）对立21三、事件间的运算22

德·摩根（1806～1871）

主要在分析学、代数学、数学史及逻辑学等方面作出重要的贡献。他提出的「双重代数」，对建立复数性质的几何表示有一定的帮助。德·摩根对数学史亦十分精通，曾为牛顿及哈雷作传，并制作了17世纪科学家的通讯录索引。此外，他在算术、代数、三角等方面亦撰写了不少教材，主要著作有《微积分学》﹝1842﹞及《形式逻辑》﹝1847﹞等。他亦是最早试图解决四色问题的人，并对四色问题作了一些推进。至于在逻辑学方面，他发展了一套适合推理的符号，并首创关系逻辑的研究。他提出了论域概念，并以代数的方法研究逻辑的演算，建立出著名的德摩根定律。23例9设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.(5)A出现,B,C不出现;(3)三个事件都不出现;(4)A,B都出现,C不出现;(2)三个事件都出现;(1)三个事件至少有一个出现;(6)不多于一个事件出现;24解25小结：基本概念（随机现象，样本空间，随机事件）；随机事件间的关系（集合间关系）；事件间的运算.作业布置P6：2;P26：1.26复习：1、基本概念：随机试验，样本空间，随机事件.2、随机事件间的关系：（1）：至少；（2）：同时；（3）：A发生B不发生；（4）.

练习题：甲乙两人向同一目标进行射击，A表示甲击中，B表示乙击中，用A,B表示下列事件：（1）甲乙同时击中；（2）乙未击中（3）甲击中且乙未击中；（4）目标被击中；（5）目标未被击中；（6）恰好有一人击中.27§1.2

随机事件的概率一、频率

Definition：记 其中为A发生的次数(频数)；为总试验次数.称为A在这

次试验中发生的频率.频率反映了事件A发生的频繁程度.28*频率的性质：且随的增大渐趋稳定，记稳定值为．

29概率的可列可加性二、概率的公理化定义30证明由概率的可列可加性得★

概率的性质31概率的有限可加性证明由概率的可列可加性得32证明33证明由图可得得因此得34推广三个事件和的情况n个事件和的情况35§1.3等可能概型（古典概型）Definition：如果一个随机试验E具有以下特征（1）试验的样本空间中含有有限个样本点；（2）每个样本点出现的可能性相同。则称该随机试验为等可能概型或古典概型。如例：抛硬币，掷筛子等36古典概型中事件的概率计算设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事A由k个样本点组成.则事件A的概率为：

A包含的样本点数

P(A)＝k/n＝

S中的样本点总数37解:试出现正面用H表示,出现反面用T表示,则样本空间

S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT},

样本点总数n=8.A={HTT，THT，TTH}，B={HHH}，C={HHH,THH,HTH,HHT,TTH,THT,HTT}所以A,B,C中样本点数分别为3,1,7,例1

抛一枚均匀硬币3次,设事件A为“恰有1次出现正面”,B为“3次均出现正面”,C为“至少一次出现正面”,试求

P(A),P(B),P(C).则P(A)=3／8,P(B)=1／8,P(C)=7／8.38从3个元素取出2个的排列总数有6种从3个元素取出2个的组合总数有3种排列组合是计算古典概率的重要工具.39例24只白球和2只红球放在一袋中，随机取球两次，每次取一只，分别作(a)不放回抽样，(b)放回抽样，求（1）取到两球都是白球的概率（2）两球同色的概率（3）取到两球中至少有一白球的概率解：(a)不放回情况（1）（2）（3）40解：(b)放回情况（1）（2）（3）41例3

将n只球随机的放入N(N≥n)个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率为

有r个人，每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同天生日”的概率.42

人数至少有两人同 生日的概率

200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994

所有这些概率都是在假定一个人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的.实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大.当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.43例4有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，恰有k件次品的概率是多少？（不放回抽样）超几何分布44例5袋中有a只白球，b只红球，a+b个人依次在袋中取一只球，（1）放回抽样(2)不放回抽样，求第k个人取到白球的概率解：45

解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二、周四的概率为212/712=0.0000003.例6：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的?

人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。46

引例袋中有6只球，其中4只白球，2只红球，每人依次从袋中各取一球(不放回)，问（1）第二个人取得红球的概率是多少？（2）已知第一个人取到红球，第二个人取得红球的概率是多少？分析设A表示第一次取到红球，B表示第二次取到红球，将在事件A发生的条件下事件B发生的概率记作P(B|A).则（1）P(B)=1/3

（2）P(B|A)=1/5§1.4条件概率47

若事件A已发生,则为使B也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道A已发生,故A变成了新的样本空间,于是有公式(1).

设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称（1）

一、条件概率为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.482.对于必然事件S，P(S|A)=1.设A是一事件，且P(A)>0,则1.对任一事件A，0≤P(B|A)≤1;

而且，前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率：3.设B1,…,Bn,…互不相容，则条件概率的性质：4950例1 一只盒子装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品二次，不放回抽样，每次任取一只，设A为“第一次取到的是一等品”，B为“第二次取到的是一等品”，求：P(B|A)解1)用定义计算:P(B|A）=2)从加入条件后改变了的情况去算51条件概率复习设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称

为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.公式变形：52二、乘法公式53例2

袋子中包含t个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回，并且再加进a个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.解：Ai(i=1,2,3,4)表示“第i次取到红球”54例3一种透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10，求透镜三次落下而未打破的概率。解：Ai(i=1,2,3)表示“第i次落下打破”55三、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn 为E的一组事件。若：则称B1,B2,…,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。B1B2BnS即：B1,B2,…,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。561、全概率公式全概率公式57图示证明化整为零各个击破58说明全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为几个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.全概率公式常用情况：60

例4人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化,往往会去分析影响股票价格的基本因素,比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率40%.根据经验,人们估计,在利率下调的情况下,该支股票价格上涨的概率为80%,而在利率不变的情况下,其价格上涨的概率为40%,求该支股票将上涨的概率.61

２.贝叶斯公式称此为贝叶斯公式.62证明63例564解65(1)由全概率公式得(2)由贝叶斯公式得6667解例668由贝叶斯公式得所求概率为即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.69

§1.5随机事件的独立性一、两个事件的独立性由条件概率，知一般地，这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率有影响然而，在有些情形下又会出现：70引例则有71定义注.1º说明

事件A与B相互独立,是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.72独立是事件间的概率属性互不相容是事件间本身的关系2º独立与互不相容的关系这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件互不相容二者之间没有必然联系73由此可见两事件互不相容但不独立.如：两事件相互独立.两事件互不相容74独立的性质1、必然事件S及不可能事件与任何事件A相互独立.证明∵SA=A,P(S)=1∴