矩阵的初等变换与线性方程组的求解

矩阵的初等变换与线性方程组的求解－－高斯消去法

在本部分，我们将对中学所接触过的消元法求解线性方程组的过程用矩阵的初等变换来表示，并且对方程组的解的情况给出相应的判断标准。1.线性方程组的矩阵形式表示引入如下三个矩阵

利用矩阵的乘法,线性方程组可以写成如下的矩阵形式：AX=b定义

解向量与解集合

方程组的一组解称为方程组的一个解向量，所有解向量的全体构成的集合称为方程组的解集合(解集)定义

方程组相容

方程组有解，我们称这个方程组是相容的，否则，称之为不相容的。定义

增广矩阵定义齐次方程组

AX=0;定义非齐次方程组

AX=b,b0(b中至少有一分量不为零)2消元法与矩阵的初等变换对于如上所示的最一般形式的线性方程组：在初等数学中，常常用消元法求解。消元法的基本思想是通过消元变形把已知方程组化成容易求解的同解方程组。在解未知数较多的方程组时，需要使消元法步骤规范而又简便。问题方程组何时有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解？

例1解线性方程组解第一步使第一个方程中的系数为1．与第四个方程的位置，交换第一个方程可得

第二步

把第一个方程以下的各方程中的消去．第二个方程减去第一个方程,第三个方程减去第一个方程

，第四个方程减去第二个方程的２倍，可得

第三步

使第二方程中的系数为1．第二个方程加上第三方程后再乘以（－1），可得

第四步

把第二个方程以下的方程中的都消去．第三个方程加上第二个方程的4倍，第四个方程减去第二个方程的3倍，可得

第五步

把第三个方程以下的方程中的消去．第四个方程加上第三个方程，可得

(2.4)

第六步

用“回代”方法求解．经第五步后得到的方程组(2.4)与原方程组等价．由方程组(2.4)的第三个方程得，代入第二个方程得；再把代入第一个方程可得．于是，方程组的解为

.类似上面形式的方程组称为阶梯形方程组．一般地，一个阶梯形线性方程组应该满足如下两个条件：

（1）如果方程组中某一方程的各项系数全为零，那么它下方的所有方程（如果存在）的各项系数全为零；

（2）如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为零，设第一个系数不为零的项是第项，那么此方程下方的所有方程（如果存在）的前项的系数全为零．例如线性方程组

与

上述的消元过程中，我们对线性方程组施行了下列三种变换：（1）交换两个方程的位置；

（2）

以非零数k乘一个方程；（3）

把某一个方程的k倍加到另一个方程上．这三种变换称为线性方程组的初等变换．

任意线性方程组若干次初等变换阶梯方程组Gauss消元法：原方程组阶梯方程组回代得解

在例1的消元过程中，我们对方程组进行的初等变换实际上只对方程组中未知量的系数与常数项进行运算，未知量并未参与运算．因而对方程组施行的初等变换可以用相应的矩阵的变换来表示．

回顾前面的方程组

三、利用矩阵初等行变换解线性方程组原方程组增广矩阵使第一个方程中的系数为1．与第四个方程的位置交换第一个方程使第一行第一个元素为1，交换的第一行与第行的位置

第一步

把(1)以下的各方程中的消去．(2)-(1),(3)-(1),(4)-2(2)

第二步在中，第二行减去第一行，第三行减去第一行，第四行减去第一行的2倍

使第二方程中的系数为1．第二个方程加上第三方程后再乘（－1）第三步在中，使第二行第一元素为1，第二行加上第三行后再乘以（）

把第二个方程以下的方程中的都消去．第三个方程加上第二个方程的4倍，第四个方程减去第二个方程的3倍

第四步在中，第三行加上第二行的4倍，第四行减去第二行的3倍

把第三个方程以下的方程中的消去．第四个方程加上第三个方程

在中，第四行加上第三行

第五步

第六步

用“回代”方法求解．阶梯形方程组行阶梯形矩阵（1）如果某一行元素全为零，那么它下方的所有行（如果存在)元素也全为零；（2）某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元素位于第列，那么它下方的所有行（如果存在）的前个元素全为零．行阶梯形矩阵一般地，一个行阶梯形矩阵应该满足以下两个条件：称为矩阵的初等行变换

(1)交换两行的位置(交换第两行,记作)(2)以非零数乘某一行（以乘第行,记作）;(3)把某一行的倍加到另一行上（把第行的倍加到第行上，记作）例如矩阵与都是行阶梯形矩阵．不是行阶梯形矩阵．总结上述的矩阵变换过程，有以下三种变换：利用矩阵的初等行变换解线性方程组的一般方法．原方程组增广矩阵对应方程组行阶梯矩阵回代求解任何线性方程组都可通过方程初等变换化为阶梯方程组任何矩阵都可以通过矩阵初等变换化为阶梯形矩阵

所以：

线性方程组可以通过其对应的增广矩阵来解例2解线性方程组

．

解

对方程组的增广矩阵依次施行下列初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵．

．这个矩阵的最后一行除最后一个元素不为零外其余元素都为零，它对应一个矛盾方程

原方程组无解例3解方程组

解

对方程组的增广矩阵

依次施行下列初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵已是行阶梯形矩阵从最后一个方程可得

其中可取任意实数．代入第二个方程，得到

．再把代入第一个方程，得到

最后一个矩阵它对应的方程组是把令，得方程组的解为

方程组有无穷多个解．例4解线性方程组

．解对方程组的增广矩阵依次施行以下初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵．它对应的方程组是

,用回代方法得原方程组的解．方程组有唯一解最后一个矩阵是行阶梯形矩阵方程组解的三种情况:无解无穷多解唯一解出现了矛盾方程方程个数比未知数的个数少方程个数和未知数的个数一样多非零行个数比未知数个数少非零行个数和未知数个数一样多生活中应保持一份幽默感生活中应保持一份幽默感生活中应保持一份幽默感一般线性方程组的解也有：无解，无穷多解，唯一解三种不同情况．

．(2.5)对它的增广矩阵施行若干次初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵

(2.6)设线性方程组如何判断呢？其中根据方程求解的方法可得情形1若可得到矛盾方程方程无解方程有唯一解若情形2非零行个数等于未知数个数且情形3若非零行个数小于未知数个数方程有无穷解且无穷解的情形，我们作一讨论阶梯矩阵若且对应的方程组为未知量任取一组值，例如可得未知量确定的一组值于是为方程组的一个解．由未知量取值的任意性，线性方程组未知量可以自由取值，所以称为自由未知量的取值．有无穷多个解．的值依赖于未知量自由未知量的个数为

未知量的个数非零行的个数总是它的解（称为方程组的零解）由于故齐次线性方程组总是相容的根据前面的讨论，对于齐次线性方程组解的情况可得如下定理

对齐次方程组定理

对齐次线性方程组的系数矩阵施行有限次初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵．那么只有零解非零行的行数等于方程组未知量的个数；(2)

有非零解非零行的行数小于未知量的个数．从而原方程与下列方程组同解为阶梯形矩阵解得方程最后求解回代的过程可以通过如下的方法来实现：看前面的例题对最后的行阶梯矩阵继续进行矩阵的初等变换于是，由最后一个矩阵直接写出原方程组的解

．行最简矩阵（1）非零行（元素不全为零的行）的第一非零元素都是1；（2）非零行的第一个非零元素所在列的其余元素全为零．一般地，一个行最简形矩阵是满足下列两个条件的行阶梯形矩阵：这个方法称为线性方程组的高斯一若当（Gauss--Jordan）消元法，它是一种改进了的高斯消元法．任意矩阵行阶梯形矩阵从左至右，从上至下从右至左，从下至上行最简形矩阵解线性方程组的最终一般步骤原方程组增广矩阵判断解的情况行阶梯矩阵化最简形停止有解无解例5解线性方程组

解对增广矩阵B施行初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵．

最后一个矩阵为行最简形矩阵，由此可以直接写出原方程组的唯一的解

最后一个矩阵为行阶梯形矩阵，无矛盾方程，且非零行的个数和未知数的个数一样多，故原方程组有唯一的解．继续对施行下列初等行变换，使它化为行最简形矩阵．

．

例7解齐次线性方程组

解对方程组的系数矩阵依次作下列初等行变换，使它化为行最简形矩阵．最后一个矩阵是行最简形矩阵，它对应的方程组