【创新方案】高考数学 第五章第三节 等比数列及其前n项和 A

1．(2010·重庆高考)在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为(

)A．2

B．3C．4D．8答案：A2．等比数列{an}中a5＝4，则a2·a8等于(

)A．4B．8C．16D．32答案：C答案：

D4．已知等比数列{an}各项都是正数，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5＝________.解析：∵a1＋a2＋a3＝21，∴a1(1＋q＋q2)＝21又∵a1＝3，∴1＋q＋q2＝7解之得q＝2或q＝－3(舍)∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝4×21＝84.答案：845．在数列{an}，{bn}中，bn是an与an＋1的等差中项，a1＝2，且对任意n∈N*，都有3an＋1－an＝0，则{bn}的通项公式bn＝________.1．等比数列的相关概念a1qn－1相关名词等比数列{an}的有关概念及公式前n项和公式等比中项设a、b为任意两个同号的实数，则a、b的等比中项G＝am·an＝ap·aqSm(S3m－S2m)已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式以及Sn.考点一等比数列的判定与证明[自主解答]

(1)证明：由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)，设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证数列{Sn＋2}是等比数列．解：(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2，当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4，当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.(2)证明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)，②①－②得，nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2，考点二等比数列的基本运算在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3a5＝64.求{an}前8项的和S8.[自主解答]

设数列{an}的首项为a1，公比为q，由已知条件得：a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24.(*)a3·a5＝(a1q3)2＝64.∴a1q3＝±8.将a1q3＝－8代入(*)式，得q2＝－2(舍去)，已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.(1)在等比数列{an}中，若a1·a2·a3·a4＝1，a13·a14·a15·a16＝8，求a41·a42·a43·a44.(2)有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，其最后一个数为25，求此四个数．考点三等比数列的性质及应用法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q，T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a15·a16＝8，∴T4＝T1·q3＝1·q3＝8.∴q＝2.∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·q10＝210＝1024.(2)设前三个数分别为a－d，a，a＋d(d为公差)，由题意知，(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，解得a＝16.又∵后三个数成等比数列，即16,16＋d,25成等比数列，∴(16＋d)2＝16×25.解之得，d＝4，或d＝－36.因四个数均为正数，故d＝－36应舍去，所以所求四个数依次是12,16,20,25.将问题(1)中“a1·a2·a3·a4＝1，a13·a14·a15·a16＝8”改为“a1＋a2＋a3＝7，a1·a2·a3＝8”，求{an}的通项公式．(1)已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，求log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1的值．(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，求S4n的值．(2)由等比数列性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，则(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，∴(S2n－2)2＝2×(14－S2n)．又S2n＞0得S2n＝6，又(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)(S4n－S3n)，∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)，解得S4n＝30.考点四等比数列的综合应用[自主解答]

(1)∵Sn＋1＝3Sn＋2，∴Sn＋1＋1＝3(Sn＋1)．又∵S1＋1＝3，∴{Sn＋1}是首项为3，公比为3的等比数列且Sn＝3n－1，n∈N*.(2)n＝1时，a1＝S1＝2，n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)(2)由(1)知lg(1＋an)＝2n－1·lg(1＋a1)＝2n－1·lg3＝，∴1＋an＝32n－1.(*)∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)＝＝.由(*)式得an＝－1.等比数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式是高考的热点内容，其中等比数列的基本量的计算能很好地考查考生对上述知识的应用以及对函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法的运用，是高考的一种重要考向．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q

均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k

为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．4．等比数列的单调性当a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1时为递增数列；当a1＜0，q＞1或a1＞0,0＜q＜1时为递减数列；当q＜0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．1．(2010·辽宁高考)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝(

)A．3B．4C．5D．6答案：B答案：A3．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an＝(

)A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n答案：A答案：5．设{an}是正项等比数列，令Sn＝lga1＋lga2＋…＋lgan∀n∈N*.如果存在互异正整数m、n，使得Sn＝Sm.则Sm＋n＝________.答案：06．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝pSn＋r(n∈N*)，p，r∈R，Sn为数列{an}的前n项和．(1)当p＝2，r＝0时，