【创新方案】高考数学 第六章第五节 合情推理与演绎推理 A

1．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是(

)A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析：由条件可知，第n个式子的第一个数为n，且第n个式子为2n－1个数的和．答案：C2．如图是网络工作者经常用来解释

网络运作的蛇形模型：数字1出

现在第1行；数字2,3出现在第2行；

数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现

在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第5个数字

为(

)A．2012

B．2011C．2010D．2009答案：A3．下面几种推理是合情推理的序号是________．①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.解析：①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理．答案：①②④4．“两条直线平行，同时和第三条直线相交，内错角相等，∠A和∠B是内错角，则∠A＝∠B”．该证明过程的大前提是________，小前提是________，结论是________．解析：由三段论的相关概念可知，大前提是“两条直线平行，同时和第三条直线相交，内错角相等”，小前提是“∠A和∠B是内错角”，结论是“∠A＝∠B”．答案：两条直线平行，同时和第三条直线相交，内错角相等∠A和∠B是内错角∠A＝∠B5．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的是________．解析：①②不正确，③正确．答案：③1.合情推理2.演绎推理考点一归纳推理(2010·福建高考改编)观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.求m－n＋p的值．考点二类比推理如图所示，连接BE交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂面ACD，∴AB⊥AF.考点三演绎推理的应用(2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)，即f(x)＋f(1－x)＝－1.∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1，则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x、x′∈R，均有f(x＋x′)＝f(x)＋f(x′)，且对任意x＞0，都有f(x)＜0，f(3)＝－3.(1)试证明函数y＝f(x)是R上的单调减函数；(2)试证明函数y＝f(x)是奇函数．证明：(1)任取x1、x2∈R，且x1＜x2，f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，于是由题设条件f(x＋x′)＝f(x)＋f(x′)可知f(x2)＝f(x1)＋f(x2－x1)，∵x2＞x1，∴x2－x1＞0.∴f(x2－x1)＜0.f(x2)＝f(x1)＋f(x2－x1)＜f(x1)．故函数y＝f(x)是单调减函数．(2)∵任意x、x′∈R均有f(x＋x′)＝f(x)＋f(x′)，若令x＝x′＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.再令x′＝－x，则可得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∵f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．故y＝f(x)是奇函数．由已知条件归纳出一个结论或运用类比的形式给出某个问题的结论，是高考对本节内容的常规考法.2010年福建、浙江、陕西、山东等分别以选择题和填空题的形式考查了归纳推理，这一考查形式代表了高考的一种重要考向．[考题印证](2010·陕西高考)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．[规范解答]观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于右边的底数，右边数的指数均为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.[答案]

13＋23＋33＋43＋53＋63＝2121．归纳推理对于一些与正整数n有关的问题，经常利用归纳推理、归纳猜想得出结论．归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用．注意：在解决与归纳推理有关的问题时，显然结论无需证明，但一定要保证所得命题为真．2．类比推理(1)类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征(猜想)；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征；③检验猜想．(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：平面点线圆三角形角面积周长…空间线面球三棱锥二面角体积表面积…注意：类比的结论不一定正确，其正确性有待进一步证明．3．演绎推理：演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．1．(2010·山东高考)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(

)A．f(x)

B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)解析：观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．答案：D2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；解析：只有①②正确，其余错误．答案：B3．定义a*b，b*c，c*d，d*a的运算分别对应下图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中的(A)(B)所对应的运算结果可能是