【创新方案】高考数学 第六章第六节 直接证明与间接证明 A

1．下列说法正确的是(

)①综合法又叫顺推证法或由因导果法，此法特点是表述简单，条理清楚②分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件③综合法是从已知条件和某些数学定义、公理、定理出发，分析法从要证明的结论出发，故两种方法不能一起使用．④分析法又叫逆推证法或执果索因法，分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法．A．①②③B．①②④C．①③④

D．②③④解析：综合法和分析法经常一起使用，故③错误．答案：B2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(

)A．a、b都能被5整除

B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除

D．a不能被5整除解析：用反证法证明命题应先否定结论．答案：B答案：C答案：x<y5．若x＞1，则x与lnx的大小关系是________．解析：令f(x)＝x－lnx(x＞1)则f′(x)＝1－＞0∴f(x)在(1，＋∞)上为增函数又∵f(1)＝1－ln1＝1＞0∴f(x)＞0恒成立，即x＞lnx答案：x＞lnx推理论证成立结论充分条件2．间接证明反证法：假设原命题

，经过正确的推理，最后得出

，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点一综合法证明不等式证明不等式x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋xz.证明：∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，x2＋z2≥2xz，∴2x2＋2y2＋2z2≥2xy＋2yz＋2xz，∴x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋xz.考点二分析法证明不等式考点三反证法的应用考点四直接证明与间接证明的综合应用已知函数y＝f(x)是R上的增函数．(1)若a，b∈R且a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)写出(1)中的命题的逆命题，判断真假并证明你的结论．[自主解答]

(1)∵函数y＝f(x)是R上的增函数，又∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)逆命题：若a、b∈R，f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.真命题．证明如下：假设a＋b＜0，∵y＝f(x)是R上的增函数，∴当a＜－b时，f(a)＜f(－b)；当b＜－a时，f(b)＜f(－a)．∴f(a)＋f(b)＜f(－b)＋f(－a)，与已知矛盾，∴a＋b＜0不成立．∴a＋b≥0.用综合法、反证法证明问题是高考的热点，且常与数列、立体几何、解析几何、不等式等问题综合考查，题型多为解答题，难度适中，其中综合法的应用是高考的一种重要考向．[考题印证]

(2010·天津高考)(14分)已知函数f(x)＝xe－x(x∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．证明当x>1时，f(x)>g(x)；(3)如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明x1＋x2>2.[规范解答]

(1)f′(x)＝(1－x)e－x.令f′(x)＝0，解得x＝1.…………………(1分)当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－f(x)极大值(2)证明：由题意可知g(x)＝f(2－x)，得g(x)＝(2－x)ex－2.……………(5分)令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝xe－x＋(x－2)ex－2，于是F′(x)＝(x－1)(e2x－2－1)e－x.……(7分)当x>1时，2x－2>0，从而e2x－2－1>0，又e－x>0，所以F′(x)>0.从而函数F(x)在[1，＋∞)上是增函数．又F(1)＝e－1－e－1＝0，所以x>1时，有F(x)>F(1)＝0，即f(x)>g(x)．………………(9分)(3)证明：①若(x1－1)(x2－1)＝0.由(1)及f(x1)＝f(x2)，得x1＝x2＝1，与x1≠x2矛盾．…………(10分)②若(x1－1)(x2－1)>0，由(1)及f(x1)＝f(x2)，得x1＝x2，与x1≠x2矛盾．根据①②得(x1－1)(x2－1)<0，…………(11分)不妨设x1<1，x2>1.由(2)可知，f(x2)>g(x2)，g(x2)＝f(2－x2)，所以f(x2)>f(2－x2)，从而f(x1)>f(2－x2)，因为x2>1，所以2－x2<1，又由(1)可知函数f(x)在区间(－∞，1)内是增函数，所以x1>2－x2，即x1＋x2>2.………(14分)1．直接法的应用综合法和分析法并用实际上是解决数学问题的一般思维方法．在解决数学问题的过程中，分析和综合往往是相互结合的，综合的过程离不开对问题的分析，分析的结果离不开综合的表达，因此在选择数学证明方法时，一定要有“综合性选取”的意识，要明确数学证明方法不是孤立的，是相互联系的，它们在同一个问题中往往交互使用．注意：利用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则容易出错．2．用反证法证题时必须注意的几个问题：(1)必须正确地“否定结论”，这是运用反证法的前提；(2)在添加补充“假设”后，由原命题条件及结论的否定出发进行推导，整个推理过程必须准确无误，否则不是推不出矛盾，就是无法判断所得结论是否正确；(3)反证法虽然是解决数学问题的利器，但并非所有的证明题都适宜用反证法，宜用反证法证明的数学问题有这样几种类型：已知条件少看似简单的命题；结论是否定形式的命题；关于“存在性”及“唯一性”的命题；直接证明有困难的命题，等等．1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是(

)A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个不大于60°”的否定为“都大于60°”．答案：B2．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为(

)A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b解析：∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案：A3．设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是(

)A．(a*b)*a＝aB．[a*(b*a)]*(a*b)＝aC．b*(b*b)＝bD．(a*b)*[b*(a*b)]＝b解析：此题只有一个已知条件：a*(b*a)＝b.B中a*(b*a)＝b原式变为b*(a*b)＝a，成立．C中相当于已知条件中a替换为b，明显成立．D中，b*(a*b)＝a，原式变为(a*b)*a＝b成立．答案：A4．设x，