第11章-弹塑性力学-本构关系

第11章本构关系11.1广义胡克定律

单向应力状态，应力小于屈服应力时，应力应变呈简单的线性关系为弹性常数（扬氏弹性模量）

三维应力状态，一点处的应力状态需9个应力分量，相对应的也要用9个应变分量表示11.1广义胡克定律2任一应变分量要受9个应力分量的制约，独立应力分量仅有6个。于是，对均匀的理想弹性体：为弹性系数（10-1）11.1广义胡克定律3张量表示法广义虎克定律或弹性本构方程弹性系数共有36个。对于各向同性材料，独立的弹性常数只有2个。（11-1’）附页①如应力分量与应变分量同以前一样，用两个下标符号表示（即），则弹性系数应改用四个下标符号表示。其中的i,j,h,l

只取

1,2,3,

与

的对应关系为：②本构方程有更广义的含义，凡介质的应力或应力率，应变或应变主导之间关系的物性方程，统称为本构关系或本构方程（constitutiveequation）为此，令x,y,z为主应变方向，则剪应变分量γxy，γyz，γzx应等于零。于是，由式(4-1)有

图4-2现在引进坐标系

Ox’y’z’,

原坐标系

Oxyz

绕

y

轴转动

1800

后可与之重合

(图4-2)

（a）证明：首先，在弹性状态下主应力方向与主应变方向相重合对于各向同性材料，弹性常数应与方向无关。于是对新坐标系有（b）=-1新旧坐标轴间的方向余弦由应力分量的坐标变换公式（2-20）得由（b），（c）可得出（d）（c）比较

(a)，(d)后，得出，所以，必定有同理可得由此得出:

对各向同性弹性体，如

x,y,z轴为主应变方向，则同时必为主应力方向。即应变主轴与应力主轴重合。

现在考察各向同性的材料独立的弹性常数的个数

为此，首先令坐标轴

Ox，Oy，Oz与主应力方向相一致。于是由式

(10-1)可得主应力与主应变之间有下列关系式:在各向同性介质中，εx对σx的影响应与εy对σy

及εz对σz的影响相同，即应有C11=C22=C33

。同理，εxy和εxz

对σx的影响应相同，即C12=C13

，类似地有C21=C23

，C31=C32

等，因而有（f）（e）由此得出：对应变主轴（用1，2，3表示）来说，弹性常数只有两个a和b。将上式(f)代人（e）,并令

可得下列弹性本构关系

（11-2）常数λ,μ称为拉梅弹性常数。

通过坐标变换后,可得任意坐标系

Oxyz内的本构关系为

（11-3）（11-3’）以上证明了各向同性的均匀弹性体的弹性常数只有两个。

现在考虑一种物体各边平行于坐标轴的特殊情况，并由此导出工程上常用的弹性常数和广义胡克定律。当物体边界法线方向与z

轴重合的两对边上有均匀的σz

作用，其他边均为自由边时，则由材料力学知道此处

分别为杨氏弹性模量与泊松比（11-6）（11-7）比较式

(11-3)与

(11-6）,(11-7)可得

（11-8）工程上，常把广义胡克定律用

表示，在这种情况下，式

(11-3)化为（11-9）为各向同性物体的剪切弹性模量。由

G的表达式可知,G并不是独立的弹性常数。对于各向同性弹性体,独立的弹性常数只有两个,即

λ和μ或

E和ν。将式

(11-9)稍加变换后,可缩写为

其中。如解出应力,则上式转换为

（11-9’）（11-10）其中如令

（11-11）则广义虎克定律又可写成（11-12）（11-13）平面应力问题（11-14）（11-15）平面应力问题用应变分量表示应力分量平面应变问题（11-16）比较以上平面应力与平面应变问题的广义胡克定律可知,如将平面应力问题应力应变关系公式

(11-13)中的

E换成

E1,ν换成ν1,而

平面应变问题应变分量表示

由式

(11-12)可以看出,物体的变形可分为两部分:一部分是各向相等的正应力(静水压力

)σ引起的相对体积变形；一部分是应力偏量作用引起的物体几何形状的变化。并可认为前一种变形不包括物体形状的改变

(即畸变

),而后一种变形则不包括体积的变化,从而可以将变形分解为两部分。这种分解在塑性理论中很有用处。

以下顺便说明式

(11-2)中E的物理意义。如令变形物体中的微小六面体单元的原始体积为

V。则

变形后的体积为

略去高阶微量后,得

此处

或

由此可见，E为变形前后单位体积的相对体积变化，或称相对体积变形。显然对于体积不可压缩材料有E=0。由广义胡克定律有

当时，

（11-17）11.2弹性应变能函数

弹性体受外力作用后，不可避免地要产生变形，同时外力的势能也要发生变化。当外力缓慢地(不致引起物体产生加速运动)加到物体上时,视作静力,便可略而不计系统的动能,同时也略去其他能量

(如热能等)的消耗,则外力势能的变化就全部转化为应变能

(一种势能）储存于物体的内部。

变形上所做的总功为

而

y

方向虽有变形，但没有外力作用，所以没有做功。上述所做的功，将全部转化为系统的应变能。如令总应变能为U，则应有

此处

,Uo为单位体积的应变能

（11-18）（11-19）在上式中引入广义胡克定律可得

（11-20）（11-20’）（11-22）（11-21）物体的总应变能

简写为

（11-23a）此处

分别为用应力分量及应变分量表示的单位体积应变能(应变能密度),统称为应变能函数。对于理想弹性体,则在每一确定的应变状态下,都具有确定的应变能。应变能函数是正定的势函数,所以弹性变形能又叫弹性势。式(11-23)表示,弹性应变能

对任一应变分量的改变率等于相应的应力分量；而弹性应变能对任一应力分量的改变率,就等于相应的应变分量。

由式（11-22）得（11-23b）由式（11-21）得

前已叙及,物体的变形可以分解为两部分,一部分为体积的变化,一部分为形状的变化。因而应变能也应可以分解为相应的两部分。容易理解,引起体积变化的各向同性的平均正应力(称为静水应力)为

,而与之相应的平均正应变为

,就是说,下列应力状态不引起微小单元体的形状改变:（11-24）因而,由于体积变化所储存在单位体积内的应变能(简称为体变能)为引起形状改变的应力状态为应力偏量

如令由于形状变化所储存在单位体积内的应变能(简称为畸变能)为Uod（11-25）（11-26）用主应力表示的Uod的表达式,即从而总应变能密度为

自上式看出,系统的总应变能密度与坐标的选择无关,Uo

是一个不变量。

11.3屈服函数与应力空间

简单拉伸(或压缩)实验的应力应变曲线

复杂应力状态,确定材料的屈服界限就不那么简单!需要在实验基础上建立屈服条件的理论

在一般情况下,屈服条件与所考虑的应力状态有关,或者说,屈服条件是该点6个独立的应力分量的函数,即为

（11-27）（11-28）屈服函数(六维应力空间内的超曲面)各向同性材料

（11-29）球形应力状态只引起弹性体积变化,而不影响材料的屈服。所以,可以认为屈服函数中只包含应力偏量

这样一来,屈服函数化为应力偏量的函数,而且可以在主应力

构成的空间,即主应力空间内来讨论。主应力空间是一个三维空间,在这一空间内可以给出屈服函数的几何图形,而直观的几何图形将有助于我们对屈服面的认识。现在考察屈服面在主应力空间有什么特征。为此,考虑过坐标原点O与三个坐标轴成等倾斜的直线On

（图4-5),其方向余弦

l，m，n

都相等

（11-30）即On上每一点都对应于一个球形应力状态,或静水压力状态,而应力偏量的分量s1,s2,s3都等于零。

现在进一步考虑任一个与On正交的平面,则此平面的方程应为

（11-31）其中r为沿0n

线方向由坐标原点到该平面的距离。显然,当r=0时,有（11-32）式(11-32)所代表的面为过坐标原点与坐标面等倾斜的面,称为π平面。如有任一应力状态P(σ1

,σ2

,σ3),则OP在On

上的投影为ON,称为静水应力分量,其值为

而与On相垂直,即平行于π平面的分量PN,称为应力偏量分量,其值为（11-33）

如考虑在过P

点而平行于On的线上任一点的应力状态P1,则OP1

在π平面上的投影必与OP

在该面上的投影相同,而静水压力分量不同。即过P

点平行于On

的线上所有的点都有相同的应力偏量分量。

我们曾经讨论过,一点的塑性屈服只取决于应力偏量状态,而与静水应力无关。

由此可知,屈服函数必定是π平面上的一条封闭曲线,称为屈服曲钱。对于整个应力空间来说,这条曲线并不随r的大小而变化。于是,在主应力空间内,屈服面是以On

为轴线,以π平面上的屈服曲线为截面形状的一个与坐标轴成等倾斜的柱体的表面。屈服曲线在π平面内有下列重要性质:(1)屈服曲线是一条封闭曲线,而且坐标原点被包围在内。(2)屈服曲线与任一从坐标原点出发的向径必相交一次,且仅有一次。

在只讨论初始屈服的条件下,材料既然在一种应力状态下达到屈服,就不可能又在与同一应力状态差若干倍数的另一应力状态再达到屈服。初始屈服只有一次。(3)屈服曲线对三个坐标轴的正负方向均为对称。

由于应力偏量对σ1

,σ2

,σ3的对称性和不计鲍辛格效应,因而对σ1

,σ2

,σ3轴的两侧及其正负方向均为对称。(4)屈服曲线对坐标原点为外凸曲线,屈服面为外凸曲面。

屈服面的外凸性是屈服函数的重要特性,以下将证明屈服面的外凸性。

11.4德鲁克公设与伊留申公设

（11-34）（11-35）材料稳定性假设。对于强化材料,如图4-6a所示,如应力增量dσ>0,则将产生应变增量,于是应力增量dσ在dε

上所做的功必为dσdε>0。有这种特性的材料称为稳定的。

11.4德鲁克公设与伊留申公设

（11-34）（11-35）对于稳定材料

及其中

为任一弹性应力状态。不等式(11-34)和(11-35)分别表示:(1）在加载过程中,应力增量所做的功dWD

恒为正；(2)在加载与卸载的整个循环中

,应力增量所完成的净功dWD

恒为非负。这两项关于材料特性的论断,称为稳定性假说,又称德鲁克公设。

在第二条假说中并未限定弹塑性材料的性质,所以它对理想弹性材料和弹塑性强化材料都是适用的。对于强化材料来说,当初始屈服以后,应力继续增加时,屈服面将随应力变化过程按一定的规律变化,形成一系列屈服面,这些屈服面都叫做继生屈服面(或加载面)。

这样,如物体某点处的应力状态为

,相应于应力空间中的A点(图4-7),之后,由于加载,应力点的移动轨迹为A→B→C,再由C卸载至A。在这加载与卸载的循环中,总应变增量为

,其弹性应变增量

是可恢复的,塑性应变增量

是不可恢复的。所以在ABCA循环内,有

其中

为任一屈服应力状态(B点)这样一来,稳定性假说的第二条实际上可写为

考虑到AB段为弹性加载过程,CA段为卸载过程(按弹性规律),所以塑性应变增量;只在BC

段产生。于是,上述回路积分可改写为

（11-36）（11-36a）（11-36b）在应力循环ABCA中,塑性变形的变化是一个无穷小量,即

是一个无穷小量,

也是一个无穷小量。当BC→0,可近似地得

或对于理想刚塑性材料,当应力点位于屈服面上时,则只可能有如将塑性应变空间

与应力空间

重合起来,不等式(11-36)实际上可解释为两个矢量

与

的数量积(如图4-8所示),即

（11-37）于是必有必为锐角

（11-38）（11-39）另一方面,同样情况,因可使

的模大于

的模及或即矢量

与

互成锐角。即屈服面必为外凸曲面。

（11-40）

上述德鲁克公设是在应力空间讨论的。同类的问题也可以放在应变空间中讨论。伊留申(A.A.Ilpyushin)于1961年提出了一个新的假说,称为伊留申公设。可表述为:弹塑性材料的物质微元体在应变空间的任一应变循环中所完成的功为非负,即

或即(1)德鲁克公设是在应力空间讨论问题,而伊留申公设则是在应变空间讨论问题。(2)根据德鲁克公设可以导出应力主间的屈服面具有外凸性;同时根据伊留申公设也可以导出应变空间的屈服面具有外凸性。(3)德鲁克公设只适用于稳定性材料(应变强化材料),而伊留申公设则适用于应变强化和应变软化等特性的材料(4)由图4-10可以看出任一应力循环所完成的功WD,总是小于任一应变循环所完成的功WI,即(5)伊留申公设比德鲁克公设较强,即在德鲁克公图4-10设成立的条件下,伊留申公设一定成立。反之则不然。

11.5常用的屈服条件

1.最大剪应力条件

（11-41）

特雷斯卡(H.Tresca)根据自己的实验结果,认为最大剪应力达到某一数值时材料就发生屈服。即

此处,τ。为材料的剪切屈服应力。对于不同的固体材料的τ。值要由实验确定。

最大剪应力条件要求预先知道最大与最小主应力。假定

,则

11.5常用的屈服条件

1.最大剪应力条件

（11-42）在简单拉伸的情况下,当为简单拉伸屈服应力）,则

这就是说,根据最大剪应力条件,纯剪屈服应力是简单拉伸屈服应力之半。于是得（11-43）在一般情况下,即

不按大小次序排列,则下列表示最大剪应力的6个条件中的任一个成立时,材料就开始屈服最大剪应力条件或特雷斯卡条件

（11-44）对于二维应力状态(σ3=0)则有在σl

—σ2

平面内的图形为一六边形(图4-12)称为屈服六边形。

屈服六边形上

塑性状态

弹性状态(内部点)2.畸变能条件

（11-45）（11-46）畸变能条件认为,与物体中一点的应力状态对应的畸变能达到某一数值时,该点便屈服,由畸变能公式(11-25)有故畸变能条件可写为或（11-47）主应力表示（11-48）其中k

为表征材料屈服特征的参数,可由简单拉伸实验确定。此时

为简单拉伸屈服应力。将此值代人式(4-47)得即在纯剪状态(σl=-σ3,σ2=O),则

k

恒等于在纯剪切应力状态屈服时的最大剪应力τmax

(=τ0

)。因而k

可由纯剪实验(例如薄管受扭作用实验)得到。根据畸变能条件,纯剪切屈服应力是简单拉伸屈服应力的(约0.577)倍。

对于二维应力状态,畸变能条件为

（11-49）（11-50）椭圆

畸变能条件系米泽斯R.vonMises提出，称为米泽斯条件。在主应力空间为等倾斜的圆柱体，称为米泽斯圆柱。该圆柱外接于特雷斯卡六角柱体（图4-11）.对于二维应力状态,畸变能条件为

（11-49）（11-50）椭圆

3.混凝土材料的屈服条件（11-51）（11-52a）（11-52b）4.岩土屈服条件（11-53）（11-55）（11-54）11.6增量理论

当受力物体中的一点的应力状态满足屈服条件而进入塑性阶段以后,弹性本构关系(即广义胡克定律)对该点就不适用。因而,需要建立塑性阶段的本构方程来描绘塑性应力和应变之间或应力增量和应变增量之间的关系。

塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性和不惟一性。

当外载荷变化时,应力点移动的轨迹称为应力路径,这一过程称为应力历史。

在弹性阶段,应变可由应力直接用胡克定律求出。

在塑性阶段,应变状态不但与应力状态有关,而且依赖于整个的应力历史。

11.6增量理论

一点处应力状态进入塑性状态以后,相应的总应变可以分为两部分:弹性应变部分和塑性应变部分其中弹性部分服从胡克定律,塑性部分为总应变与弹性应变之差。容易理解,塑性部分是卸载后不能消失的残留应变,当卸载发生时,保持不变,而仅在继续加载时才发生变化。有时为了方便,

的初始假定为零,之后的应变值便是与零应变相比较的相对值。4.6增量理论

以上说明,塑性应变与加载路径有关,所以,我们必须讨论应力的变化特征和应变的变化特征,并且将进一步限定从考虑其无穷小的变化,计算其全部加载历史过程的增量,之后用积分或求和的办法求出总应变。这就是为什么塑性理论具有增量特征的原因。应当指出,工程上常有一种重要的加载路径,叫做比例加载。在这种加载条件下,塑性应变仅与最终应力状态有关。在比例加载的条件下,外载荷与应力均按同一比例增长,问题的分析将由此得到简化。11.6增量理论

（11-56）（11-56’）弹塑性体内的任一点的总应变己知为

当外载荷有微小增量时,总应变也要有微小增量

上式展开为11.6增量理论

前曾述及：对金属材料而言,即使在高压情况下,由于平均正应力的作用物体所产生的变形只可能是弹性体积改变,而不会产生塑性体积改变。而在应力偏量作用下,物体则将产生畸变,不发生体积改变。物体的畸变又包括两部分,即弹性变形和塑性变形。这就是说,塑性变形仅由应力偏量所引起。且认为在塑性状态,材料不可压缩,即体积变形等于零（11-57）或而于是,应变偏量增量的分量为（11-58）即在弹性阶段,根据广义胡克定律,有（11-59）注意到,应力偏量的增量为

,则有

（11-60）（11-61）即有在弹性阶段,应力偏量增量与应变偏量增量成比例,比例常数为2G增量形式的广义胡克定律为

塑性应变增量由式(11-56)为

（11-62）（11-63）即有或以下讨论塑性应变增量的表达式,即增量理论的本构方程。（11-64）（11-65）

增量理论基于以下假定:在塑性变形过程中的任一微小时间增量内

,塑性应变增量与瞬时应力偏量成比例,即或其中dλ

为非负的标量比例系数,且可根据加载历史的不同而变化。前已述及,由于体积变化是弹性的,即平均正应变的塑性分量等于零。在式(11-45)中,塑性应变增量也就是塑性应变偏量增量。由于总应变可视为弹性应变分量与塑性应变分量之和,将式(11-65)代入式(11-63)后,得总应变增量与应力偏量之间的下列关系式:（11-66）式(11-66)称为普朗特-雷斯方程

（11-67）方程(11-65)表示,望性应变增量依赖于该瞬时的应力偏量,而不是达到该状态所需的应力增量。这就是说,应力主轴与塑性应变增量主轴相重合。

由方程(11-65)有（11-68）以上引进了一个参数dλ,不过也增加了一个屈服条件,dλ在应力满足屈服条件时才不等于零,因此可以通过屈服条件来求dλ

。为此,在式(10-67）中,将第一式减第二式得两边平方后,得

类似地,求出

（11-69）后

,可得（11-70）于是得（11-71）（