第10章 图像变换

第10章图像变换22人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。但是，往往许多问题在频域中讨论时，有非常方便分析的一面。例如，空间位置上的变化不改变信号的频域特性。问题的提出3图像变换(一)原则上，所有图像处理都是图像的变换。狭义上讲，图像变换特指数字图像经过某种数学工具的处理，把原先二维空间域的数据，变换到另外一个“变换域”形式描述的过程。如：傅立叶变换将时域或空域信号变换成频域的能量分布描述。通常“另外一个变换域”更集中地代表了图像中的有效信息，或者是更便于达到某种处理目的。44图像变换的前提条件:首先，提出的变换必须是有好处的，换句话说，可以解决时域中难以解决的问题。其次，变换必须是可逆的，可以通过逆变换还原回原时域中。常用的图像变换包括：频域变换（傅立叶变换，离散余弦变换）；图像的时频域变换（小波变换）；以及其他各种正交变换等。图像变换(二)5本章内容简介图像的频域变换—傅立叶变换傅立叶变换的应用离散余弦变换（DCT）小波变换小波变换在图像处理中的应用6610.1图像的频域变换—傅立叶变换与前述各种图象处理不同，傅立叶变换可以将时域信号变换到频域中进行处理，因此傅立叶变换在信号处理中有着特殊重要的地位。傅立叶（Fourier）变换以图象中灰度的变化频率为处理对象，是一种重要的图象处理技术；实际计算中是采用数值计算的方法计算傅立叶变换的，称为离散傅立叶变换（DFT）。具体算法则使用快速傅立叶变换（FFT）算法。除以上FT以外，图象处理中还可使用沃尔什（Walsh）变换WT、余弦变换、小波变换等数学方法。7DFT的原理对于一个N点有限长序列x(n)，其DFT变换可表示为：其中：k=0，1，…，N－1；78DFT的运算量假如x(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任一X(m)的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法,一次复数加法等于两次实数加法。即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X(k)，即N点DFT变换大约就需要N^2次运算。当N=1024点甚至更多的时候，需要N^2=1048576次运算。因此，在N较大时，计算量不可想象。89如何减小DFT的计算量分解N为较小值：把序列分解为几个较短的序列，分别计算其DFT值，可使乘法次数大大减少；利用旋转因子的周期性、对称性进行合并、归类处理，以减少DFT的运算次数。周期性：对称性：欧拉公式：910FFT利用上述对称性和周期性，可以简化DFT的运算。可以把较多点的DFT分解为多个较少点的DFT运算。由于DFT的运算量与点数成正比，减少DFT的点数就能减少DFT的总运算量。不断地继续分解得到的DFT，可以加快DFT的运算过程，这种DFT的快速计算方法，我们称为FFT。1011基2FFT算法FFT算法基本上分为两大类：时域抽取法FFT(简称DIT-FFT)和频域抽取法FFT(简称DIF―FFT)。时域抽取法FFT的算法思想：将序列x(n)按n为奇、偶数分为x1(n)、x2(n)两组序列；用2个N/2点DFT来完成一个N点DFT的计算。设序列x(n)的长度为N，且满足：N=2M，M为自然数。(1)按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列1112基2FFT算法(二)(2)用N/2点X1(k)和X2(k)表示序列x(n)的N点DFTX(k)12偶数奇数注意：这里的k的取值范围为0，1，…，N-113基2FFT算法(三)(3)由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且,X(k)又可表示为:对上式的运算用下图所示的流图符号来表示这样将N点DFT分解为两个N/2点的DFT图：蝶形运算符号完成一个蝶形运算需要一次复数乘和两次复数加法运算，经过一次分解后，共需要复数乘和复数加的次数为2(N/2)2+N/2和2(N/2)214N=8时域抽取基2FFT算法信号流图1515二维离散傅立叶变换

——正变换设图像大小为M*N，原图为f(x,y)，其频谱为F(u,v)，则：二维傅立叶变换可以转化为两次一维傅立叶变换。1616二维离散傅立叶变换

——反变换注：逆变换的系数不为1。1717二维离散傅立叶变换

——作用1）可以得出信号在各个频率点上的强度。2）可以将卷积运算化为乘积运算。1818二维傅立叶变换的应用

——用于计算卷积从前面各章中学习的图像处理算法中知道，如果抽象来看，其实都可以认为是图像信息经过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化滤波等）。如果滤波器的结构比较复杂时，直接进行时域中的卷积运算是不可思议的。傅立叶变换可以把卷积运算转换为点乘运算，由此简化运算，提高计算速度。二维傅立叶变换的应用

——用于计算卷积19202010.2傅立叶变换的应用前面已经提到了傅立叶变换有两个好处，即：可以获得信号的频域特性；可以将卷积运算转换为乘积运算。因此二维傅立叶变换的应用也是根据这两个特点来进行的。212110.2.1图像傅立叶变换后的频率分布频域上的高频信息对应着空域上变化比较剧烈的区域，而低频信号对应着空域上变化比较缓慢的区域。实际上变化比较剧烈的信号主要集中在不同景物的边界上，而大部分信息主要集中在边界内部的非边界景物信息之中。这样，图像的傅立叶变换的幅频特性在其幅频图的四个角上比较亮，而在中心部分比较暗。为了方便观察，通常是将幅频图进行四个对角子块的置换，这样，低频部分集中在图像的中心部分，便于观察。2222图像傅立叶变换后的频率分布综上所述，就可以用“低频部分反映图像的概貌，高频部分反映图像细节”来总结频域上的信息强度与空域上的像素特性之间的关系。根据这一对应关系，可以获得利用傅立叶变换后的幅频特性进行图像的滤波处理。232310.2.2图像的高通滤波图像的频域变换有一个非常突出的优点，就是可以将信号的信息强度进行重新分配。因为景物的细节部分集中在高频区段。因此，可以通过图像高通滤波将图像中景物的细节信息（边界信息）提取出来。图像的高通滤波，可以通过特定的滤波器(如Butterworth高通滤波器)来实现，也可以简单地将频谱图中的低频分量强制为0。经这样处理后的频谱再进行傅立叶逆变换，就可以得到图像高频部分。242410.2.3图像的低通滤波图像经傅立叶变换之后，将景物的概貌部分集中在低频区段。故可通过图像低通滤波将其中景物的概貌信息提取出来。具体实现时，与高通滤波类似，可以借助特定的滤波器，也可以将频谱图中的高频强制为0，就相当于一个低通滤波器作用在图像上。经这样处理后的频谱再进行傅立叶逆变换，就可以得到图像概貌部分。252510.2.4傅立叶变换在图像压缩中的应用图像信息在空域中是依据景物的拓扑结构分布的。因其信息强度的不集中，故不易压缩。如果对图像进行傅立叶变换，则图像信息在频域中大多集中在低频部分。充分利用这一特点，则可进行数据压缩。人在观察图像时，图像的概貌可以达到理解图像内容的目的。因此，在不苛求图像的再现质量的场合下，可以通过只对图像傅立叶变换后频谱的低频部分进行编码的方法，达到减少图像数据量的目的。262610.3离散余弦变换（DCT）傅立叶变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换。2727离散余弦变换（DCT）正变换：逆变换：其中：2828离散余弦变换（DCT）

——应用余弦变换实际上是利用了傅立叶变换的实数部分构成的变换。余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。具体的做法与DFT相似。即高频部分压缩多一些，低频部分压缩少一些。2910.4小波变换傅立叶变换可以使信号分析在频域上进行。但傅立叶变换有一个严重的不足，即做变换时丢掉了时间信息，无法根据傅立叶变换的结果判断一个特定的信号是在什么时候发生的。傅立叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域里的定位是完全准确的（即频域分辨率最高），而在时域无任何定位性（或无分辨能力）。30小波变换对于平稳随机信号，傅立叶变换的这一缺点也许不是很重要。然而实际中大多数信号均含有大量的非稳态成分，例如突变、偏移、趋势、事件的起始与终止等情况，而这些情况往往是相当重要的，反映了信号的重要特征。如：音乐信号、语音信号、探地信号等，它们的频域特性都随时间而变化。对这一类时变信号进行分析，通常需要提取某一时间段或瞬间的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。因此，需要寻求一种具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号。小波的特性小波（Wavelet），即小区域的波，是一种特殊的长度有限，平均值为0的波形。它有两个特点：一是“小”，即在时域都具有紧支集或近似紧支集；二是正负交替的“波动性”，也即直流分量为零。可以用小波和傅立叶分析用的正弦波做个比较，如3232傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负无穷到正无穷，但小波倾向于不规则与不对称。傅立叶分析是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加，同样小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移与尺度伸缩得来的。用不规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比光滑的正弦曲线要好，同样，信号局部的特性用小波函数来逼近显然要比光滑的正弦函数要好。傅立叶变换与小波变换小波的多尺度分解小波多分辨图像分解，就是利用由一个小波函数经过平移和伸缩生成的一系列小波基函数对图像进行变换，并将图像分解为一组具有不同空间分辨率、不同频率特性和方向特性的图像近似分量的过程。这些近似分量也被称作小波子带。经过一级小波分解后可以生成由4个原图像1/4大小的系数数组构成系数矩阵。这里，LL代表图像的低频分量，可看作原图的缩略图。HL体现了图像的垂直边缘特征；LH代表了图像的水平边缘特征；HH表示图像对角线方向的细节信息。343410.5小波变换在图像处理中的应用10.5.1小波变换在图像压缩中的应用我们从傅立叶变换得到启示，就是图像的数据信息大多集中在低频部分，而高频部分的信息很弱，对人眼视觉的影响也小。一幅图像经过小波变换之后，概貌信息大多集中在低频部分，而其余部分只有很弱的表示细节的信息。为此，如果只保留占总数据量1/4的低频部分，对其余三个部分的系数不存储或传输，在解压时，这三个子块的系数以0来替代，则可得到较好的效果。可以看到省略了部分细节信息之后，画面的效果与原图相比，差别不是非常大。3510.5.2小波变换在边界检测中的应用经过小波变换之后，图像中的景物边界这类细节信息存在于三个非低频子块中。为了方便后面的叙述，在这里将对图像进行行低通、列低通滤波后得到的LL子块定义为低频子块；将行低通、列高通LH滤波后得到的子块定义为次低频子块；将行高通、列低通的HL子块定义为次高频子块；将行高通、列高通的HH子块定义为高频子块。对原图进行小波变换后，对次高频、次低频两个子块进行二值化处理之后所得到的边界检测结果。3610.5.3小波变换在图像增强中的应用小波变换用于图像增强的原理是，对原图像进行小波变换，得到的小波变换系数矩阵分别表示的是不同的频率特性。为此，一个简单的图像增强方法是，对低频、次低频、次高频、高频四个子块以不同的增强系数进行处理，再进行小波逆变换之后，就可以达到图像增强的目的。例如，对低频子块以大于1的增强系数相乘，则可以提高图像的总体亮度；对其他三个子块进行增强，则可以增强图像的细节信息，由此可获得清晰化图像的效果。3710.5.4小波变换在图像去噪中的应用利用小波变换去除噪声的原理是：噪声大多属于高频信息，因此，当进行小波变换之后，噪声信息大多集中在次低频、次高频、以及高频子块中。经过小波变换之后，将高频子块置为0，对次低频和次高频子块进行一定的抑制，则可以达到一定的噪声去除效果0。为了使噪声去除的效果更好，可以对不同尺度小波变换下的次低频、次高频、高频子块进行抑制，保留低频子块的信息不改变，便可以对图像噪