第06章 电磁感应

主要内容电磁感应定律，自感与互感，能量与力。6-1电磁感应定律6-2电感6-3磁场能量6-4磁场力6-5恒定磁场的应用第06章电磁感应

本章作业：6-2、6-66-1电磁感应定律式中电动势e的正方向规定为与磁通方向构成右旋关系。因此，当磁通增加时，感应电动势的实际方向与磁通方向构成左旋关系；反之，当磁通减少时，电动势的实际方向与磁通方向构成右旋关系。

电磁感应是指当穿过闭合回路所限定面的磁通发生变化时产生电动势的现象。这样产生的电动势称为感应电动势。若回路为闭合导体回路，该电动势将产生感应电流，这种现象由法拉第发现并通过大量实验归纳为法拉第电磁感应定律：当穿过闭合导体回路所限定面的磁通发生变化时，在该导体回路中就产生感应电动势和感应电流。感应电动势的大小正比于磁通的时间变化率，其实际方向由楞次定律决定。楞次定律指出：感应电动势的实际方向是企图产生一电流，它所产生的磁通试图抵制原来磁通的变化。感应电流产生的感应磁通方向总是阻碍原有磁通的变化，所以感应磁通又称为反磁通。又知，得上式称为电磁感应定律，它表明穿过线圈中的磁场变化时，导线中产生感应电场。它表明，时变磁场可以产生时变电场。

eI根据斯托克斯定理，由上式得感应电流产生意味着导线中存在电场，这种电场称为感应电场，以

表示。感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势，即由于该式对于任一回路面积S均成立，因此，其被积函数一定为零，即此式为电磁感应定律的微分形式。它表明某点磁感应强度的时间变化率负值等于该点时变电场强度的旋度。

电磁感应定律是时变电磁场的基本定律之一，也是下一章将要介绍的描述时变电磁场著名的麦克斯韦方程组中方程之一。值得注意的是：感应电场不仅出现于导体内而且出现于导体周围的空间。感应电场强度是磁场随时间变化的结果，并不是有了导体回路才发生的

6-2电感

在线性媒质中，单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电流I成正比，因此穿过回路的磁通也与回路电流

I成正比。式中L

称为回路的电感，单位为H（亨利）。由该定义可见，电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。单个回路的电感仅与回路的形状及尺寸有关，与回路中电流无关。与回路电流I交链的磁通称为回路电流I的磁通链，以

表示，令与I

的比值为L，即应注意，磁通链与磁通不同，磁通链是指与某电流交链的磁通。若交链N次，则磁通链增加N倍；若部分交链，则必须给予适当的折扣。因此，与N匝回路电流I交链的磁通链为=N。那么，由N

匝回路组成的线圈的电感为与回路电流I1交链的磁通链是由两部分磁通形成的，其一是I1本身产生的磁通形成的磁通链11，另一是电流I2在回路l1中产生的磁通形成的磁通链12。dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1那么，与电流l1交链的磁通链1为同理，与回路电流I2交链的磁通链为在线性媒质中，比值，，及均为常数。令两个回路间的互感与电感式中L11称为回路l1的自感，M12称为回路l2对l1的互感。同理定义式中L22称为回路l2的自感，M21称为回路l1对l2的互感。将上述参数L11，L22，M12及M21代入前式，得可以证明，在线性均匀媒质中

因为可以导出任意两个回路之间的互感公式为

若dl1与dl2处处保持垂直，则互感。因此，在电子电路中，如果需要增强两个线圈之间的耦合，应彼此平行放置；若要避免两个线圈相互耦合，则应相互垂直。

互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的电流方向，但电感始终应为正值。若处处保持平行，则互感M值达到最大。若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链增加，互感应为正值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链减少，互感为负值。例1计算右图所示无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行，周围媒质为真空，如图示。abdrrD0I1I2zS2考虑到，所以由上两式可见，解:建立圆柱坐标系，令z

轴方向与电流I1一致，则I1产生的磁感应强度为与线圈电流I2

交链的磁通链21为若线框电流如图所示的顺时针方向，则dS

与B1方向相同。那么求得abdrrD0I1I2zS2若线圈电流为逆时针方向时，则B1与dS反向，M21为负。但在任何线性媒质中，M21=M12。例2计算图示载有直流电流的同轴线单位长度内的电感。解：设同轴线内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c。bcaO在同轴线中取出单位长度，沿长度方向形成一个矩形回路。内导体中电流归并为矩形回路的内边电流，外导体中电流归并为外边电流。

aIObcrcbaOdrIIe同轴线单位长度的电感定义为

式中I为同轴线中的电流，是单位长度内与电流

I交链的磁通链。该磁通链由三部分磁通形成：外导体中的磁通，内外导体之间的磁通以及内导体中的磁通。由于外导体通常很簿，穿过其内的磁通可以忽略。已知内外导体之间的磁感应强度

为该磁场形成的磁通称为外磁通，以表示，则单位长度内的外磁通为该外磁通与电流I

完全交链，故外磁通与磁通链相等。又知内导体中的磁感应强度Bi

为这部分磁场形成的磁通称为内磁通，以表示。那么穿过宽度为dr的单位长度截面的内磁通d为由此求得内导体中的磁场对总电流I提供的磁通链i为aIObcrcbaOdrIIe该部分磁通仅与内导体中自内导体轴线位置0至r之间部分电流交链，不是与总电流I

交链。因此，对于总电流I来说，这部分磁通折合成与总电流I形成的磁通链应为那么，与总电流I

交链的总磁通链为（o+i）。因此，同轴线的单位长度内电感为式中第一项称为外电感，第二项称为内电感。当同轴线传输电磁波时，内外导体均可看作理想导体，因此若同轴线传输电磁波时，内外导体中的磁通皆可忽略，同轴线单位长度内的电感等于外电感，即6-3磁场的能量若在回路中加入外源，回路中产生电流。在电流建立过程中，回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生反电动势，外源必须作功。

磁场能够推动载流导体运动而做功，表明磁场具有能量。该能量储存于整个磁场空间。

由此可见，磁场具有能量。若电流变化非常缓慢，可以不计辐射损失，则外源输出的能量全部储藏在回路电流周围的磁场中。根据外源在建立磁场过程中作的功即可计算磁场能量。设单个回路的电流从零开始逐渐缓慢地增加到最终值I，因而回路磁通也由零值逐渐缓慢地增加到最终值。已知反电动势为为了克服这个反电动势，外源必须在回路中产生的电压

U=-e

，即若时刻t

回路中的电流为i(t)，则此时刻回路中的瞬时功率为在dt时间内外源作的功为

已知单个回路的磁通链与回路电流的关系为那么，在线性媒质中，由于回路电感L与电流i无关，求得dt时间内外源作的功为当回路电流增至最终值I时，外源作的总功

W

为单个回路电流的磁通链即是穿过回路的磁通，因此这个总功在回路中建立的电流为I，在其周围建立磁场。因电流增长很慢，辐射损失可以忽略，外源作的功完全转变为周围磁场的能量。若以Wm表示磁场能量，那么此式又可改写为由此可见，若已知回路电流及其磁场能量，可利用上式计算电感。考虑到，则单个回路电流周围的磁场能量又可表示为式中为与电流I

交链的磁通链。对N个回路，可令各个回路电流均以同一比例同时由零值缓慢地增加到最终值。根据能量守恒原理，最终的总能量与建立过程无关，因此这样的假定是允许的。已知各回路磁通链与各个回路电流之间的关系是线性的，第j

个回路的磁通链j为设第j个回路在某一时刻t

的电流，式中Ij为电流最终值，

为比例系数，其范围为。那么，在dt

时间内，外源在

N

个回路中作的功为当各个回路电流均达到最终值时，外源作的总功

W为那么，具有最终值电流的N

个回路产生的磁场能量为即若已知各个回路的电流及磁通链，由上式即可计算这些回路共同产生的磁场能量。

那么，N个回路周围的磁场能量又可矢量磁位表示为若电流分布在体积

V

中，电流密度为

，已知，则上式变为体积分，此时磁场能量可以表示为式中

为周围回路电流在第j个回路所在处产生的合成矢量磁位。因为回路磁通可用矢量磁位

表示为，因此第j个回路的磁通链也可用矢量磁位

表示为若电流分布在表面

S上，则产生的磁场能量为式中S

为面分布的电流密度所在的面积。磁场能量的分布密度已知，代入上式，得利用矢量恒等式，上式又可写为式中V

为电流所在的区域。显然，若将积分区域扩大到无限远处，上式仍然成立。令S为半径无限大的球面，则由高斯定理知，上式第一项的式中V

为体分布的电流密度

所占据的体积。当电流分布在有限区域时，磁场强度与距离平方成反比，矢量磁位与距离一次方成反比，因此无限远处的面积分

再考虑到，求得式中V

为磁场所占据的整个空间。可见，上式中的被积函数即是磁场能量的分布密度。若以小写字母wm

表示磁场能量密度，则已知各向同性的线性媒质，，因此磁场能量密度又可表示为可见，磁场能量与磁场强度平方成正比，磁场能量也不符合叠加原理。上节例2同轴线内导体内电感的计算：同轴线内导体半径r处的磁场强度为单位长度同轴线内导体的磁场的总能量为于是，单位长度同轴线内导体的内电感为例

计算同轴线中单位长度内的磁场能量。设同轴线中通过的恒定电流为I

，内导体的半径为a，外导体的厚度可以忽略，其半径为b，内外导体之间为真空。解已知同轴线单位长度内的电感为因此，单位长度内同轴线中磁场能量为我们也可以通过磁场密度计算同轴线的磁场能量。已知内导体中的磁场强度为

因此内导体中单位长度内的磁场能量为又知内外导体之间的磁场强度Ho为所以内外导体之间单位长度内的磁场能量为单位长度内同轴线的磁场能量应为，此结果与前式完全相同。已知，可见，通过磁场能量也可计算电感。作业：6-2、6-66-4磁场力dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1已知式中磁感应强度B1为因此，B1对于整个回路l2的作用力F21为那么，由回路电流I1产生的磁场B1对于电流元I2dl的作用力dF21为同理，回路电流I2产生的磁场B2对于整个回路l1的作用力F12为一、由安培力定律来求磁场力上述两式称为安培定律。根据牛顿定律得知，应该。这个结论也可直接由上式获得证明。如果回路形状复杂，上述积分计算是很困难的，甚至无法求得严格的解析表达式。为了计算磁场力，类似计算电场力一样，也可采用虚位移方法，利用能量关系可以获得计算磁场力的简便方式。二、虚位移法求磁场力下面直接利用前述广义力和广义坐标的概念，导出计算磁场力的一般公式。

设在电流I1产生的磁场广义力F的作用下，使得回路l2的某一广义坐标变化的增量为dl，同时磁场能量的增量为dWm。两个回路中的外源作的总功dW应该等于磁场广义力作的功与磁场能量的增量之和，即下面分为两种情况：

第一，若电流I1和I2不变，这种情况称为常电流系统，则磁场能量的增量为两个回路中外源作的功分别为

由此可见，两个回路中的外源作的总功dW为求得常电流系统中的广义力F

为即第二，若各回路中的磁通链不变，即磁通未变，这种情况称为常磁通系统