离散数学(1.2逻辑联接词)

1离散数学(DiscreteMathematics)2第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)1.2.1否定联结词(Negation)┐1.2.2合取联结词(Conjunction)∧1.2.3析取联结词(Disjunction)∨1.2.4条件联结词(蕴涵联结词Conditional)→1.2.5双条件联结(等值联结词Biconditional)或3第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)

在命题逻辑中,主要研究的是复合命题,而复合命题是由原子命题与逻辑联结词组合而成,联结词组是复合命题的重要组成部分.1.2.1否定联结词┐定义1.2.1

设P为一命题，P的否定是一个新的复合命题,称为P的否定式，记作“┐P”读作“非P”.符号“┐

”

称为否定联结词。┐P为真当且仅当P为假.说明：“┐”属于一元(unary)运算符4第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)“┐”的定义也可用下表来说明.联结词“┐”的定义真值表

P

┐PFTTF5第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)例1.P:天津是一个城市.Q:3是偶数.于是:┐P:天津不是一个城市.

┐Q:3不是偶数.例2.P:苏州处处清洁.Q:这些都是男同学.┐P:苏州不处处清洁(注意,不是处处不清洁).┐Q:这些不都是男同学.6第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)1.2.2合取联结词(Conjunction)∧定义1.2.2设P,Q为二命题，复合命题“P并且Q”（或“P与Q”）称为P与Q的合取式，记作P∧Q，符号“∧”

称为合取联结词.PQ为真当且仅当P和Q同时为真.联结词“∧”的定义真值表PQ

PQ

FFFFTFTFFTTT7第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)说明：“∧”

属于二元(binary)运算符.合取运算特点：只有参与运算的二命题全为真时，运算结果才为真，否则为假。自然语言中的表示“并且”意思的联结词，如“既…又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”、“一面…一面…”、“…和…”、“…与…”等都可以符号化为∧。8第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)例3.将下列命题符号化.

(1)李平既聪明又用功.

(2)李平虽然聪明,但不用功.(3)李平不但聪明,而且用功.(4)李平不是不聪明,而是不用功.解:设P:李平聪明.Q:李平用功.则(1)P∧Q(2)P∧┐Q(3)P∧Q(4)┐(┐P)∧┐Q

注意：不要见到“与”或“和”就使用联结词∧！例如:(1)李敏和李华是姐妹。（2）李敏和张华是朋友。9第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)

例4.试生成下列命题的合取.(1)P:我们在XNA303.Q:今天是星期二.(2)S：李平在吃饭.R：张明在吃饭.解:(1)P∧Q:我们在XNA303且今天是星期二.

(2)S∧R:李平与张明在吃饭.

10第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)1.2.3析取联结词(Disjunction)∨定义1.2.3设P,Q为二命题，复合命题“P或Q”称为P与Q的析取式，记作P∨Q，符号∨称为析取联结词.P∨Q为真当且仅当P与Q中至少有一个为真.联结词“∨”的定义真值表PQPQ FFFFTTTFTTTT11第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)说明：“∨”

属于二元(binary)运算符.析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才为假，否则为真。由析取联结词的定义可以看出，“∨”与汉语中的联结词“或”意义相近，但又不完全相同。在现代汉语中，联结词的“或”实际上有“可兼或”和“排斥或”之分。考察下面命题：（1）小王爱打球或爱跑步。（可兼或）

设P：小王爱打球。Q：小王爱跑步。则上述命题可符号化为：P∨Q12第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)（2）林芳学过英语或法语。

（可兼或）设P：林芳学过英语。Q：林芳学过法语。则上述命题可符号化为：P∨Q（3）派小王或小李中的一人去开会。（排斥或）设P：派小王去开会。Q：派小李去开会。则上述命题可符号化为：(P∧

Q)∨(P∧Q)（4）人固有一死，或重于泰山或轻于鸿毛.(排斥或）（5）ab=0,即a=0或b=0.

（可兼或）由此可见,“P∨Q”表示的是“可兼或”.第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)注意：当P和Q客观上不能同时发生时，“P或Q”可以符号化为“P∨Q”。例如：小王现在在宿舍或在图书馆。设P：小王现在在宿舍。Q：小王现在在图书馆。则上述命题可符号化为：P∨Q。14第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)1.2.4.条件联结词(蕴涵联结词Conditional)→定义1.2.4设P,Q为二命题，复合命题“如果P则Q(若P则Q)”称为P与Q的条件命题,记作PQ.PQ为假当且仅当P为真且Q为假.称符号“”为条件联结词。并称P为前件，Q为后件.

联结词“”的定义真值表PQP→

QFFTFTTTFFTTT15第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)注：（1）PQ表示的基本逻辑关系是,Q是P的必要条件或P是Q的充分条件.

因此复合命题“只要P就Q”、“因为P，所以Q”、“P仅当Q”、“只有Q才P”等都可以符号化为PQ的形式。

（2）

”“

属于二元(binary)运算符。例5.将下列命题符号化。（1）天不下雨，则草木枯黄。P：天下雨。Q：草木枯黄。

则原命题可表示为：┐P→Q。16第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)

（2）如果小明学日语，小华学英语，则小芳学德语。

P：小明学日语Q：小华学英语R：小芳学德语.则原命题可表示为：(P∧Q)→R（3）只要不下雨，我就骑自行车上班。P：天下雨。Q：我骑自行车上班。则原命题可表示为：┐P→Q。（4）只有不下雨，我才骑自行车上班。P：天下雨。Q：我骑自行车上班。则原命题可表示为：

Q

→┐P。第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)（5）如果2+2=4,则太阳从东方升起。(P→Q,T)PQ

如果2+2=4,则太阳从西方升起。(P→R,F)R

如果2+24,则太阳从东方升起。(┐P→Q,T)

如果2+24,则太阳从西方升起。(┐P→R,T)注意:

(1)与自然语言的不同：前件与后件可以没有任何内在联系！(2)在数学中，“若P则Q”往往表示前件P为真，则后件Q为真的推理关系.但数理逻辑中，当前件P为假时，P→Q的真值为真。18第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)1.2.5双条件联结(等值联结词Biconditional)定义1.2.5设P,Q为二命题，复合命题“P当且仅当Q”称为P与Q的双条件命题，记作PiffQ或PQ，符号称为双条件（等值）联结词。PQ为真当且仅当P，Q真值相同。联结词“”的定义真值表PQPQFFTFTFTFFTTT19第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)注：（1）P仅当Q可译为P→QP当Q可译为Q→PP当且仅当Q译为PQ

（2）“

”属于二元(binary)运算符。

(3)双条件命题P

Q所表达的逻辑关系是,P与Q互为充分必要条件,相当于(PQ)∧(QP).只要P与Q的真值同为T或同为F,PQ的真值就为T,否则P

Q的真值为0.双条件联结词连接的两个命题之间可以没有因果关系。例6.分析下列命题的真值.(1)2+2=4当且仅当3是奇数.(P

Q)P：2+2=4.Q：3是奇数

.

20第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.2逻辑联结词(LogicalConnectives)(2)2+2=4当且仅当3不是奇数.(P

┐Q)(3)2+24当且仅当3是奇数.

(┐P

Q)(4)2+24当且仅当3不是奇数.(┐P

┐Q)约定:1.运算次序优先级：┐，，，→，.2.相同的运算符按从左至右次序计算，否则要加上括号。3.最外层圆括号可省去。

小结:本节介绍了五种联结词(┐，，，→，