创意平板折叠桌的数学模型数学建模B题92620850

创意平板折叠桌的数学模型摘要本文主要研究的是创意平板折叠桌的设计加工问题，对设计加工参数进行分析和优化并为公司开发设计折叠桌软件提供数学模型，为解决这些问题建立不同的数学模型并用MATLAB进行模型求解。针对问题一，本文建立了模型工一一动态变化及数学描述模型。利用解析几何求出每根桌腿由平铺状态到完全展开过程中转过的角度来描述折叠桌动态变化过程，并在此基础上用MATLAB解出设计加工参数:桌腿木条开槽长度3，三维空间桌脚边缘线。针对问题二，本文建立模型口一一设计加工参数模型。采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度K和长方形平板面积S必须达到最小，对于任意给定的高度H和圆形桌面直径R确定：①决策变量：a1（桌面最外侧木条的半长），1（最外侧桌腿的竖直偏角），p（最外侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值）②目标函数：K（开槽总长度），S长方形木板面积用MATLAB求解出多组方案并确定目标函数最小的最优方案，列出设计加工参数。针对问题三，本文建立了模型田一一软件设计模型。根据客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为客户提供三种桌面形状：①圆形桌面，②圆弧和矩形组合桌面，③“8”字形桌面。对于圆形桌面可参照模型H；对于组合桌面，可在模型H的基础上通过增大最外侧桌面木条的长度、来实现；对于“8”字形桌面则可将两个组合桌面的直线边进行对接，所以模型三的建立和求解便可在模型口的基础上改动来实现。关键词：解析几何MATLAB多目标决策分析EXLINK.问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。试建立数学模型讨论下列问题：.给定长方形平板尺寸为120cmX50cmX3cm,每根木条宽2.5cm,连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70cm,桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。.公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。.问题分析问题一的分析问题一要求我们建立模型描述折叠桌的动态变化过程并给出设计加工参数，由于长方形平板尺寸和每根木条的宽度及钢筋的位置都为已知，所以只需假设最外侧桌面木条的半长，根据桌子的对称性研究桌子左边最外侧到中间的桌腿，利用空间几何建立数学模型，再用MATLAB对模型求解得出设计加工参数，用EXLINK导出每根桌腿转过的角度。问题二的分析问题二要求我们做到产品稳固性好、加工方便、用材最少，对于已定的桌高和桌面直径确定最优设计加工参数。由问题一中折叠桌桌腿的几何关系建立多目标决策分析模型确定决策变量和目标函数，用MATLAB确定最优设计加工参数。问题三的分析问题三要求我们为折叠桌的设计软件提供数学模型，可根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线形状大小和桌脚边缘线的大致形状来给出所需平板的尺寸及加工参数，对此我们充分的利用问题二的模型来设计桌面边缘线的形状，使所建立的软件设计模型易于求解。.模型的假设假设一：不考虑加工对长方形平板宽度带来的影响假设二：桌腿钢筋不会发生形变假设三：描述桌脚边缘线时桌脚为质点假设四：外侧桌腿和钢筋固定良好假设五：铰链不会发生形变且对设计加工参数无影响.问题一模型的建立与求解4.1符号说明:符号符号说明L i 第i根桌腿腿长a i 第i根桌面木条的半长a i 第i根桌腿与竖直方向的夹角0 i 第i根桌腿动态变化转过的角度Hi第i根桌腿底部距地面的高度R桌面外接圆半径h钢筋位置距桌面高度mi第i根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离b第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离Ki 第i根木条开槽长度模型I的建立（数据单位均为cm）根据桌子的对称性只需研究桌子左边最外侧到中间的10根桌腿，设最外侧桌腿为第一根桌腿1b其桌面木条的半长为4，以第一根桌脚为原点建立空间直角坐标系（见图1）

根据问题一所给尺寸计算出：第一根桌腿：腿长L1=60-4第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离b=Htana1+q桌腿与竖直方向的夹角a=arccos10°1 120—a1钢筋位置到桌子竖直对称面距离m1=2、f(60—aj—502+a1钢筋位置距桌面高度h=25图3根据图2和图3计算可以得出：TOC\o"1-5"\h\z第，•根桌面木条的半长a=、252+a2,5-2.5111i 1桌面外接圆半径R=/52+a21第i根桌腿腿长L=60-ai i第i根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离m=m「ai第i根桌腿的竖直夹角a.二arctanmhh，、一 ，、h第i根桌腿钢筋位置以上长度l=icosai第i根桌腿底部距地面的高度H=H-Lcosai ii第i根桌腿底部到桌子竖直对称面的距离Sj=a+Lsinai'X=b-Si i桌腿底部坐标｛Y=2.5iiZ=Hii为了得出每根木条的开槽长度Ki,利用第i根桌腿钢筋位置以上长度li减去桌子平铺时候钢筋位置与折叠点的距离即：K=l-（30-ai）模型I的求解根据题中所给的图和木板的厚度，大致可以假设桌面最外侧木条半长a1为3，用5

MATLAB编程进行求解，程序见附录通过EXLINK导出桌面与竖直方向夹角a,制出表格描述折叠桌动态变化的过程（见表1）桌腿第1根第2根第3根第4根桌腿与竖直方向夹a28.694412.147631063.175225706-3.250758279桌腿动态变化转过的角度061.305677.8523689486.8247742993.25075828第5根第6根第7根第8根第9根第10根-8.059088678-11.69189002-14.41203732-16.38860657-17.73218288-18.512622198.05908868101.69189104.4120373106.3886066107.7321829108.5126221表1用MATLAB画出桌脚边缘线（见图3），程序见附录二桌脚边缘线三维图形图4桌脚边缘线各点坐标参数如下表:X0.00003.78337.56039.605310.6861Y2.50005.00007.500010.000012.5000Z0.00002.39315.36578.171310.6166X11.205411.407011.444111.413511.3740Y15.000017.500020.000022.500025.0000Z12.648914.269415.497616.356116.8632

表2用EXLINK导出设计加工参数：桌面外接圆半径R=；252+a2=25.17941桌腿开槽长度见下表：桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根开槽长度K06.8810.3413.1415.4717.3918.92第8根第9根第10根20.1020.9221.42开槽位置见下表:桌腿第2根第3根第4根第5根第6根第7根第8根第9根第10根li25.5725.0425.0425.2525.5325.8126.0626.2526.36表44.问题二模型的建立与求解5.1符号说明:符号符号说明S长方形平板面积K i 第i根桌腿的槽长L长方形木板长度d长方木形板宽度H桌子高度P最外侧桌腿钢筋的位置到折叠处的长度与桌腿的长度比值h第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离m i 第i根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离a i 第i根桌面木条的半长li第i根桌腿长度d桌子宽度f./ 第i根桌腿钢筋位置以上长度a 1 最外侧桌腿的竖直偏角R桌面直径5.2模型n的建立（数据单位均为cm）

采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度K和长方形平板面积S必须达到最小，对于任意给定的高度H和圆形桌面直径R确定最优设计加工参数，即输入桌高H及桌面直径R得出最优加工参数开槽长度K以及所需长方木板长L和宽d由问题一中图1解得第一根桌腿长度l=上二，设最外侧桌腿钢筋的位置到折叠1 2处的长度与桌腿的长度比值为p根据图1和图2得出第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离h=pH，桌宽dfR-a2，4i1第，根桌面木条的半长为a=、R-Id-2.5G-1）1i44第i根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离m=J（plb-h2-ai 1 i第i根桌腿钢筋位置以上长度f=.、;h2+m；所以可求出第i根桌腿的槽长K=f-（L-a］，即得出桌腿的总槽长K=4严K，从iil2iJ ii=1而有：①决策变量：a1（桌面最外侧木条的半长），a1（最外侧桌腿的竖直偏角），p（最外侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值）开槽长度K=/K②目标函数4②目标函数4iT …、一，一一 'R2长方形平板的面积S=2L二-a24 15.3模型n的求解根据题中所给的图和问题一中木板的厚度，大致可以假设桌面最外侧木条半长a1等于3，用MATLAB求解出多组方案。对折叠桌进行力学分析可得，当折叠桌的外侧桌腿垂直于地面时，折叠桌能承受的正压力是最大的，此时能承受的侧向压力是最小的。当桌腿未完全展开时，其抗侧压力性能强于抗正压力，若使折叠桌既能有较好的抗正压力和抗侧压力，则桌腿要与地面保8

持合适的夹角。通过对问题一中折叠桌支撑腿与竖直方向的夹角a1约等于28°,并结合现实生活中实际情况为使折叠桌的稳定性好，。1不能过小或过大，假设\=30由已知桌高H=70,桌面直径R=80，输入p,\的值，输出L,d,S,K,方案如下表：方案paLdSK10.411163.6679.9713088.55847.7520.42165.6679.9013236.07865.3230.43167.6579.7713374.87882.1740.44169.6679.6013504.61898.1650.51163.6679.9713088.55979.5460.52165.6679.9013236.07999.2870.53167.6679.7713374.871018.1980.54169.6679.6013504.611036.1490.61163.6679.9713088.551078.37100.62165.6679.9013236.071099.64110.63167.6679.7713374.871120.12120.64169.6679.6013504.611139.65130.71163.6679.9713088.551149.04140.72165.6679.9013236.071171.46150.73167.6679.7713374.871193.22160.74169.6679.6013504.611214.15170.81163.6679.9713088.551197.77180.82165.6679.9013236.071221.13190.83167.6679.7713374.871244.09200.84169.6679.6013504.611266.45表49图5实际情况中，桌面直径和每根木条的宽度是定量，所以 a1不可能很小，满足a2；上-d2，由上表数据计算得当a=1或2时，方案无效。4 4 1当桌面平铺时，钢筋必须在圆形桌面以外，即p-L>R，可以得出p>R，根据上表2 L数据计算，当p<0.5时，方案无效。综上所述，上表中灰色部分全为无效方案，剩余全为有效方案，即方案7、8、11、12、15、16、19、20,经比较得出，方案7为最优方案。用EXLINK导出设计加工参数：桌腿第一根第二根第三根第四根第五根第六根第七根第八根开槽长度0.007.2910.4212.7314.5515.9817.1017.96第九根第十根第十一根第十二根第十三根第十四根第十五根第十六根18.6219.1319.5319.8420.0920.2820.4520.58表55.问题三模型的建立与求解6.1符号说明:符号符号说明S长方形平板面积K i 第i根桌腿的槽长L长方形木板长度d长方木形板宽度H桌子高度p最外侧桌腿钢筋的位置到折叠处的长度与桌腿的长度比值h第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离mi第i根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离a i 第i根桌面木条的半长l i 第i根桌腿长度d桌子宽度f i 第i根桌腿钢筋位置以上长度a1最外侧桌腿的竖直偏角R桌面直径10

6.2模型田的建立(数据单位均为cm)根据客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为折叠桌设计软件提供数学模型，现为客户提供三种桌面形状：①圆形桌面②圆弧和矩形组合桌面③“8”字形桌面.圆形桌面直接参照模型口中最优方案的p=0.5为最优钢筋位置，a1=30。第一根桌腿长度L—2al=i，i2桌面木条根数n=R2.5第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离h=pH，桌宽d=iR-a2，,4i,第，根桌面木条的半长为a=:生-Id-2.5C-1Ri44第i根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离m=%(pl}-h2-ai 1 i第i根桌腿钢筋位置以上长度于厂\42+m所以可求出第i根桌腿的槽长K=f/Lp-a)ii12iJ.圆弧和矩形组合桌面为使桌面呈现圆弧和矩形的组合，最外侧桌面木条的长度a1要较大，现规定当a1>5时为组合桌面。p=0.5，1=30。a1>5，依旧参照模型口桌面木条根数n=d一,一一-、 1-2a第一根桌腿长度/=—，第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离h=pH，桌宽第i根桌面木条的半长为a第i根桌面木条的半长为a广\'?-"2.5—11TOC\o"1-5"\h\z第i根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离m=、；(pl}—h2-ai 1 i第i根桌腿钢筋位置以上长度f=.hh2+m2所以可求出第i根桌腿的槽长K=f/L—a]ii12 iJ.“8”字形桌面p=0.5，\=30a1>5，桌面木条的根数n=2只需研究桌子一侧前1的桌腿2.5 4由于“8”字形桌面的桌子是由两个组合桌子链接起来的，所以设计加工研究参数即为组合桌面桌子参数。6.2模型III的求解针对圆弧和矩形组合桌面R=90，用MATLAB和EXLINK解出设计加工参数如下:现要加工高H=R=90，用MATLAB和EXLINK解出设计加工参数如下:L=188.56，d=74.83第i根桌腿开槽长度:桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根开槽长度0.001.814.0110.3916.2919.4421.88第8根第9根第10根第11根第12根第13根第14根第15根23.7325.0726.0426.7427.2527.