函数方程与零点精

函数的零点.【高考考情解读】常考查：1.结合函数与方程的关系，求函数的零点.2.结合根的存在性定理或函数图像，对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断.3.判定函数零点(方程的根)所在的区间.4.利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围.高考题突出数形结合思想与函数方程思想的考查，以客观题的形式为主.瞄准高考主干知识梳理瞄准高考(1)函数与方程的关系：函数f(x)有零点台方程f(x)=0有根台函数f(x)的图象与x轴有交点矽fx)与g(x)有交点Ofx)=g(x).函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根，即函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像交点的横坐标.(2)函数f(x)的零点存在性定理：如果函数f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的曲线,并且有f(a)-f(b)<0,那么，函数f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在cG(a,b)，使f(c)=0.注：①如果函数f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间［a,b］上是一个单调函数，那么当f(a)•f(b)<0时，函数f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点，即存在唯一的c£(a,b)，使f(c)=0.②如果函数f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a).f(b)>0,那么，函数f(x)在区间(a,b)内不一定没有零点.③如果函数f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f(x)在区间(a,b)内有零点时不一定有f(a)•f(b)<0,也可能有f(a)-f(b)>0.(3)判定函数零点的方法:①解方程法；②利用零点存在性定理判定；③数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解.解析高考热点分类突破解析高考(2013-重庆)若a<b<c,则函数f(x)=(x—a)(x—b)+(x—b)(x—c)+(x—c)(x—a)的两个零点分别位于区间()A. (a, b)和3,c)内 B. (一8, a)和5, b)内C. (b, c)和(C,+8)内 D. (—8, a)和(如+8)内(2)函数f(x)=的零点个数是Inx—x2+2x(x>0)2x(2)函数f(x)=的零点个数是第1页共1页

01230123答案(1)A(2)D解析 (1)由于a<b<c,所以f(a)=0+(a一 b)(a一c) + 0>0, f(b)=(b 一 c)(b一a)<0,f(c) =(c-a)(c-b)>0.因此有f(a)-f(b)<0,f(b)-f(c)<0,又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内，故选A.(2)依题意，当x>0时，在同一个直角坐标系中分别作出y=lnx和y=x2-2x=(x-1)2-1的图象，可知它们有两个交点；当xW0时，作出y=2x+1的图象，可知它和x轴有一个交点.综合知，函数y=f(x)有三个零点.探究提高(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解.(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)=0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零.函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.(1)(2012•天津)函数f(x尸2x+x3—2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3(2)已知函数f(x)=ax+x—b的零点x0£(n,n+1)(nGZ)，其中常数a、b满足2a=3,3b=2,贝°n=.答案(1)B(2)—1解析(1)先判断函数的单调性，再确定零点.因为f(x)=2xln2+3x2>0,所以函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)上递增，且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以有1个零点.(2fx)=ax+x-b的零点x0就是方程ax=-x+b的根. 、、「/设y1=ax，y2=-x+b， 一」才故x0就是两函数交点的横坐标，如图， "J'」当x=-1时，y1=a=log32Vy2=1+b=1+log32，；.-1<x0<0，；.n=-1.(2013•青岛模拟)函数f(x)=log2x—；的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)［解答］由f(1)=—1<0,f(2)=1>0可得f(x)在(1,2)内必有零点.第2页共2页[答案]B11-I%—11,%£(—8,2),2.若函数f(%)=11 , 则函数F(%)=%f(%)—1的零点的个数为()[f%—2),%£[2,+8), ，A.4 B.5 C.6 D.7[解答]据题意，函数F(%)=%f(%)-1的零点个数可转化为函数尸f(%)与函数尸1图像交%由图可知共有6个交点，故函数F(%)=%f(%)-1的零点个数为6.[答案]CUI,%三y,(2013.武汉模拟)定义运算M：%町=1 设函数f(%)=(%2—3)®(%—1),若函数y%, %<y.=f(%)—c恰有两个零点，则实数c的取值范围是()A.[—3,—2) B.[—3,—2]U[3,+8) c.[—2,2] D.(—3,—2)U[2,+8)1%—11,%W—1或%三2,[解答]由%2—3三%—1解得%W—1或%三2,所以f(%)=1 函数y%2—3,—1<%<2.=f(%)—c恰有两个零点，即函数y=f(%),y=c的图像恰有两个交点，作出函数y=f(%),y=c的图像如图，由图可知一3<c<—2或c三2时，两个图像有两个不同的交点，故实数c的取值范围是(一3,—2)U[2,+8).[答案]D一“ 23.函数f(%)=2%---a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()%A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)解析：・•.函数f(x)有一个零点在(1,2)内，」.八1>f(2)<0,即-a(3-a)<0,「.0<a<3.答案：C'k%+1,%W0,4.若函数f(%)=1 则当k>0时，函数y=ff%)]+1的零点个数为()、ln%, %>0,A.1 B.2 C.3 D.4解析：结合图像分析，当k>0时，j\f(%)]=-1,则f(%)=t]£(-8,-k)或f(%)=12£(0,1).对于f(x)=11,存在两个零点x1,与对于f(x)=12，存在两个零点13,%4，共存在4个零—x2+1x,x<0,(2013•潍坊模拟)函数fx)=1 2 若函数y=f(x)-kx有三个零点，则k的取值、ln(x+1),x三0.范围为.［考题揭秘］本题考查二次函数、对数函数的图像、性质以及函数的零点问题，意在考查考生的推理论证能力、运算求解能力、转化与化归能力以及数形结合思想的运用能力.［审题过程］第一步：审条件.题目已知函数f(x)的解析式以及函数y=f(x)-kx有三个零点.第二步：审结论.求实数k的取值范围.第三步：建联系.问题等价于函数y=f(x)的图像与直线y=kx有三个不同的交点［规范解答］显然x=0是函数y=f(x)-kx的一个零点.因此只要函数y=f(x)的图像与直线y=kx的图像在xW0时有两个不同的交点即可.又函数f(x)在(-8,+8)上单调递增，结合函数图像，只需寻找函数y=f(x)的图像与直线y=kx有两个交点的条件即可・ ①画出函数y=f(x)及y=kx的图像，如图所示.当直线y=kx与曲线y=ln(x+1)相切时，y'=x+1在x=0时恰好等于1，即k=1，所以直线y=x与曲线y=ln(x+1)恰好相切于坐标原点.结合图像，可知只有当0<k<1时，y=kx与y=ln(x+1)的图像在(0，+8)上只有一个交点.同理，直线y=2x与曲线y=-x2第4页共4页

+1%在坐标原点相切，结合函数的图像，可知只有当k>2时，函数y=k%与函数y=-%2+21-2故③%的图像在(-8,1-2故③要使y=f(%)-kx有三个零点，则k的值为上述两个k值的交集,<k<1. ④[答案]@，1)1.设方程3%=llg(-%)1的两个根为%1,x2(x1cx2),则()A.%1%2<0 B.%1%2=0 C.%1%2>1 D.0<%1%2<2解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y=3%和y=llg(-％)1的图像，可知-2<%]<-1,-2.当%£(3,4)时，不等式loga(%-2)+(%-3)2<0恒成立，则实数a的取值范围是()A.[2A.[2,+^)B.(1,2]D.TOC\o"1-5"\h\z解析：由log (% -2)+ (%-3)2<0知(％-3)2< -log (% -2)= 10g (%—2),要使函数 y=a a 1log(%—2)(%£(3,4))的图像在函数y=(%-3)2(%£(3,4))的图像的上方,则1>1,1 a数形结合可知log(4—2)三(4-3)2,即10g2三log1,故1W2,a三],故1Wa<1.1 1 1aa 2 2a a a答案：C1.已知函数f(%)=(3)%—log2%，实数a,b,c满足f(a)-f(b)-f(c)<0(0<a<b<c)，若实数%0为方程f(%)=0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是()A.A.%0<b B.%0>bC.%0<c D.%0>c第5页共5页答案D解析函数f(x)=(3)x-log2x,在其定义域(0,+8)上是减函数，</0<a<b<c,:fa)>f(b)>f(c).夫•：fa)f(b)f(c)<0,则f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0,或者f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0.若f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0,则x0<a，若f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0,则b<x0<c，故x0>c不可能成立，故选D.2.若f(x)+2.若f(x)+1=fx+i)，当x£［0,1］时，f(x尸x，若在区间(一1,1］内，g(x)=f(x)—mx—m有两个零点，则实数m的取值范围是([0,2)1 ,5，+8))[0,3)(0,2]答案D解析根据方程与函数关系.设x£(-1,0),则x+1£(0,1),**.f(x)=〃)1、-1=~~7-1,fx+1) x+1・•・画出f(x)在(-1,1]上的图象(如右图),g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]上有两个零点，即f(x)=m(x+1)有两个不同根,即y=f(x)与y=m(x+1)有两个不同交点.如右图，当过(-1,0)的直线处于l与x轴之间时,满足题意，则0<m<2..卖店函数f(x)=log2x—；的零点所在的区间为()(0,2)(0,2)(2,1)(1,2)D.(2,3)f(2)=1og22-1=1-2=|>0,解析函数f(x)的定义域为(0f(2)=1og22-1=1-2=|>0,=10g22-1=-1-2=-3<0,f(1)=10g21-1=0-1<0,21 12 L,f(3)=10g23-3>1-3=铲0，即f(1)-f(2)<0,・,.函数f(x)=1og2x-嚏的零点在区间(1,2)内.第6页共6页答案C(2011•新课标全国)在下列区间中，函数f(x)=ex+4x—3的零点所在区间为().解析,2-1>0解析,2-1>0,2 1=e2+4X2-3=e乙又•:f(x)为R上的增函数,且f(：)•f(；)<0，故选C.7.函数f(x)=x2—2x的零点个数为解析由于f(-1)=1-2T=1>0,又f(0)=0-1<0,则在区间(-1,0)内有1个零点；又f(2)=22-22=0,f(4)=42-24=0,故有3个零点.答案3(2012•湖北高考)函数f(x)=xcos2x在区间[0,2n]上的零点的个数为 ().A.2B.3 C.4D.5兀一解析令f(x)=xcos2x=0,「.x=0或cos2x=0,即x=0或2x=kn+2,k£Z.乙x£[0,2n]x£[0,2n],5 74m4m故选D.(2013•天津调研)函数f(x)=2x+x3—2在区间(0,1)内的零点个数是().A.0B.1C.2D.3［思路点拨］先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数.解析因为f(x)=2xln2+3x2>0,所以函数f(x)=2x+x3—2在(0,1)上递增.又f(0)=1+0—2=—1<0,f(1)=2+1—2=1>0,所以有1个零点.(1)x-2(2013•湛江模拟)设函数y=x3与y=12J 图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是().A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)［思路点拨］画出两个函数的图象寻找零点所在的区间.(1\x-2解析设f(x)=x3-2 ,x0是函数f(x)的零点.在同一坐标系下画出函数y=x3与y=(1)x-2- 的图象，如图所示.I2)第7页共7页

A2)=8-:•％£(L2).=7>0,"1)/(2)<0,又A2)=8-:•％£(L2).2x—1,第>0,已知函数段)=_若函数g(x)=»-m有3个零点，则实数m的取值范已知函数段)=围是2%一1x>0' ’的图象，如右图所示，发现当0<mvl时,-x2-2x,x<0解析在坐标系内作出函数八%)=,即函数g(%)=_/(%)-机有3个零点..若函数/OOnN—q%一》围是2%一1x>0' ’的图象，如右图所示，发现当0<mvl时,-x2-2x,x<0解析在坐标系内作出函数八%)=,即函数g(%)=_/(%)-机有3个零点..若函数/OOnN—q%一》的两个零点是2和3,则函数g(%)=Z?%2—q%—1的零点是解析由C22-2«-Z?=0,得,32-3«-Z?=0a=5 11..，・g(%)=-6%2-5%-1的零点为-5，-Z.b=~6 乙3kF 1 1合案一5，一3.设定义域为R的函数八%)=<llgx\,x>0,一 则关于％的函数丁=杂(%)—寸(%)+1的零~x2—2x,xW0,点的个数为答案7解析由y=夺(%)-3危)+1