第四章 频域滤波

第四章频域图像增强24.1背景法国数学家JeanBaptisteJosephFourier在1807年和1822年提出傅立叶变换60年代出现快速傅立叶变换傅立叶变换域也称为频域34.2傅立叶变换

傅立叶积分调谐信号： 其中j2=-1傅立叶积分： 其中t代表时间，f代表频率4傅立叶变换的定义(一维)f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：其反变换为：F(u)=R(u)+jI(u)幅度谱：相位谱：能量谱（谱密度）5变换分析的直观说明把一个信号的波形分解为许多不同频率正弦波之和。6一维傅立叶变换举例方波信号：经过傅立叶变换后：7一维离散傅立叶变换(DFT)一维离散傅立叶变换公式为：逆变换为：8二维傅立叶变换二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来：逆变换：幅度谱：相位谱：F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)9二维傅立叶变换举例对于二维方波信号傅立叶变换为：幅度：10二维离散傅立叶变换对于二维傅立叶变换，其离散形式为：逆变换为：幅谱(频谱)、相谱：111213二维离散傅立叶变换的性质1.线性性质：2.比例性质：3.可分离性：14154.空间位移：5.频率位移：图像中心化：当u0=v0=N/2时，166.周期性：F(u,v)=F(u+aN,v+bN),f(x,y)=f(x+aN,y+bN)7.共轭对称性：8.旋转不变性：9.平均值：如果f(x,y)为实数说明图像的谱是对称的1710.卷积定理：f(x,y)*h(x,y)<=>F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)<=>F(u,v)*H(u,v)11.相关定理：互相关：f(x,y)Og(x,y)<=>F*(u,v)G

(u,v)f*(x,y)g

(x,y)<=>F(u,v)OG(u,v)自相关：f(x,y)Of(x,y)<=>|F(u,v)|2

|f(x,y)|2<=>F(u,v)OF(u,v)2012.帕塞瓦定理（能量定理）：若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，则有：信号在空域的总能量等于其频域的总能量。21频率位移性质当图像在频率域移动时需要用到频率位移性质：图像中心化把图像进行傅立叶变换后，往往要把中心移到u0=v0=N/2的位置上22周期性和共轭对称性周期性不难证明。共轭对称性：f*(x,y)的傅立叶变换：23周期性和共轭对称性的应用1.图形的频谱分析和显示2.图像中心化242526平均值平均值定义：由傅立叶变换定义：因此，f(x,y)的平均值与傅立叶变换系数的关系为：27卷积卷积积分：如果函数y(t)满足下列关系式则称函数y(t)为函数x(t)

和h(t)

的卷积卷积积分的图解表示：x(t)th(t)t1/211128卷积积分的图解表示（续）：位移h(t1-)11x()x()h(-)1/2-1折迭h(t-)1/2t11*相乘2y(t)1t1t积分29卷积积分的步骤：1折迭：把h()相对纵轴作出其镜像2位移：把h(-)移动一个t

值3相乘：将位移后的函数h(t-)乘以

x()4积分：h(t-)和

x()乘积曲线下的面积即为

t时刻的卷积值30

包含脉冲函数的卷积：即x(t)或h(t)中有一个为脉冲函数，则它们的卷积是一种最简单的卷积-T0T0h(t)*x(t)tax(t)tA-T0T0h(t)tA31卷积定理：如果x(t)

和h(t)

的富里叶变换分别为X(f)

和H(f),则x(t)*h(t)的富里叶变换为X(f)H(f)。即卷积定理的简单推导：====令=t-323538频域滤波在傅立叶变换域，变换系数反映了图像的某些特征。频谱的低频分量对应于图像的平滑区域，而外界叠加噪声、边缘对应于频谱中频率较高的部分等。39基本步骤图像乘以计算图像乘以滤波器函数计算的反变换得到实数部分将结果乘以滤波后图像4041基本滤波器及其性质构造一个低通滤波器，使低频分量顺利通过而有效地阻止高频分量，即可滤除频域中高频部分的噪声，再经逆变换就可以得到平滑图像。高通滤波与低通滤波的作用相反，它使高频分量顺利通过，而使低频分量受到削弱。陷波滤波器：使图像的均值为0。4344454.3频域平滑滤波器频域基本的滤波模型为H(u,v):AFiltertransferfunction.F(u,v):FouriertransformoftheimageG(u,v):Objectiveimage464.3.1理想低通滤波器

D(u,v)isthedistancefrompoint(u,v)totheoriginofthefrequencyrectangle.ImagesizeisM*N.

二维理想低通滤波器的传递函数4748在每个点(u,v)处的能量4951ILPF的模糊和振铃现象可以用卷积定理来解释。

inspatialdomaininfrequencydomain52534.3.2Butterworth低通滤波器阶数为n、截止频率为D0

的Butterworth低通滤波器(BLPF)被定义为5455574.3.3Gaussian低通滤波器二维高斯低通滤波器(GLPFs)的传递函数为

令,则586061624.3.4低通滤波器的附加例子64高分辨率辐射计图像654.4频域锐化滤波器图像的锐化可以通过高通滤波过程实现，减弱傅立叶变换的低频成份，而不改变高频信息。是低通滤波的相反过程。684.4.1理想高通滤波器2-Didealhighpassfilter(IHPF)isdefinedas694.4.2Butterworth高通滤波器704.4.3Gaussian高通滤波器714.4.4频域的Laplacian变换734.4.4TheLaplacianintheFrequencyDomainWeformanenhancedimageg(x,y)bysubtract