简明材料力学第二版十三章

第十三章动载荷、交变应力概述概述动载荷——随时间作急剧变化的载荷作加速运动或转动的系统中构件的惯性力构件在动载荷作用下产生的应力称之为动应力动应力冲击载荷作用下产生的应力称为冲击应力随时间作交替变化的载荷作用下产生的应力称为交变应力概述疲劳破坏——构件在交变应力的长期作用下，虽然最大工作应力远低于材料的屈服强度，并且没有明显的塑性变形，但材料往往发生突然断裂，这种破坏成为疲劳破坏交变应力作用下的构件还应进行疲劳强度校核动应力的严格分析和研究应采用应力波的理论和方法，这里只讨论若干简化的分析方法动应力分析的简化方法——修正的静载荷方法构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力惯性力引起的动应力构件作等加速直线运动或等速转动时，构件由于各质点上的惯性力产生动应力，此时，动应力的分析多采用静动法，即除外载荷外，构件内各质点处应加上惯性力，然后按静载荷问题进行分析和计算。匀速转动直杆的动应力设均质等截面杆AB绕轴以角速度w旋转，杆长为l，横截面面积为A，计算杆的最大动应力惯性力引起的动应力设杆的比重为g，则杆的线质量密度为gA/g，根据静动法，可将惯性力视为作用在杆件上的分布力，其集度记为qd，即

可见，最大轴力发生在截面B处，其值为Nmax=N(D/2)x横截面x处的轴力为Nqd惯性力引起的动应力截面B处（危险截面）的应力为可见，对于等截面直杆，动应力的大小与横截面面积无关，并且，当材料给定时，直杆转动的角速度w有一极限值。x当l>>D时，有近似惯性力引起的动应力例钢索以等加速度a提升重量为P的重物M，钢索的横截面面积为A，其重量与重物相比甚小而可忽略不计，确定钢索的动应力。解由于重物以加速度a提升，故钢索除受重物的重力P作用外，还受到重物的惯性力作用。于是，钢所承受的拉力为aMN惯性力引起的动应力从而，钢索横截面上的正应力为aMN其中，为P作为静荷载作用时钢索横截面上的静应力动载荷系数，反映了动载荷的效应N惯性力引起的动应力例直径d=100mm的圆轴，一端有重量P=0.6kN、直径D=400mm的飞轮，以均匀转速n=1000r/m旋转。现因在轴的另一端施加了制动力偶（其力矩为md）而在t=0.01s内停止。若圆轴的质量与飞轮质量相比很小而忽略不计，确定圆轴内的最大动应力。解若飞轮在制动时作匀减速转动，则角加速度为dDn惯性力引起的动应力在制动过程中，飞轮的惯性力矩为dDmdmd根据静动法，圆轴在两端力偶md的作用下处于平衡。于是，任一横截面上的扭矩为从而，圆轴的最大剪应力为惯性力引起的动应力例长l=12m的16号工字钢，用横截面面积为A=108mm2的钢索吊起，并以等加速度a=10m/s2上升。若只考虑工字钢的重量而不计吊索的重量，试求吊索的动应力，以及工字钢在危险点处的动应力smax。欲使工字钢的smax减至最小，吊索的位置如何安置？~~2m4m4m2mzya惯性力引起的动应力解根据动静法，当工字钢以加速度a匀速上升时，工字钢惯性力的集度为其中，qst=Ag为工字钢每单位长度的重量。~~2m4m4m2mABCa于是，工字钢上的总均布力的集度为NNq根据对称性，钢索中的轴力为惯性力引起的动应力对16号工字钢，有NNq~~2m4m4m2mABCa从而于是，钢索上的动应力为惯性力引起的动应力工字钢梁的弯矩为NNq~~2m4m4m2mABCa于是，最大弯矩在梁跨的中点C处的横截面上，其值为从而，弯矩图为NN⊕x惯性力引起的动应力横截面C处上下边缘（危险点）的正应力为~~2m4m4m2mABCaNNqxNN⊕欲使工字钢的smax减至最小，可将吊索向梁跨中点C移动，以增加负弯矩而减小正弯矩，最后使梁在吊索处的负弯矩等于中点C处的正弯矩，此时，工字钢梁的最大弯矩减至最小，其吊索位置见图所示。⊕2.484m2.484m构件受冲击荷载作用时的动应力（冲击应力）计算冲击应力的计算当一运动的物体碰到一静止的构件时，前者的运动将受到阻碍而在瞬间停止运动，这时构件受到了冲击作用在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物，而阻止冲击物运动的构件称为被冲击物分析被冲击物中产生的冲击应力和变形的方法精确分析——弹性体内的应力波理论粗略估算——简单而偏与安全的分析和计算冲击应力的计算在冲击应力的估算中，通常假定：在冲击过程中，冲击物不变形，并且冲击物与被冲击物接触后无弹回，形成一个运动系统被冲击物的质量与冲击物相比很小，可忽略不计，而冲击应力瞬时传遍被冲击物，并且材料服从虎克定理冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可忽略不计，即外力功、动能全部转化为被冲击物的应变能冲击应力的估算方法冲击应力的计算设重量为P的物体从高为h处自由落下冲击到固定在等截面直杆AB下端的圆盘上，设直杆的长为l，横截面面积为A，计算杆件的冲击应力ABPhl在冲击过程中，当重物与圆盘接触后，且速度减为零时，杆下端B就达到最低位置，记此时杆下端B的最大位移（等于杆AB的伸长）为d，与之相应的冲击荷载位Pd。Pdd冲击应力的计算根据能量守恒定律，冲击过程中冲击物动能T和势能V的减少应等于被冲击物的应变能U的增加，即这里，由于忽略了被冲击物（杆件）的质量，所以，被冲击物的动能和势能的变化可以忽略不计。ABPhlABPhlPdd冲击应力的计算当杆的下端B到达最低点时，冲击物势能的减少为杆AB（被冲击物）所增加的应变能可通过冲击荷载Pd在其相应的位移Dd上所作的功来计算，即ABPhlABPhlPdd由于冲击物的初速度和终速度均为零，所以，其动能无变化，即冲击应力的计算根据虎克定理，有ABPhlABPhlPdd从而于是，由能量守恒定律可得冲击应力的计算记为重物P作为静荷载作用在杆下端B处的圆盘上时，杆B端的静位移于是，上式变形为hlPddABPhlstP此方程的解为冲击应力的计算从而，冲击荷载Pd为hlPddABPhlstP记——冲击动荷系数则冲击应力的计算从而，冲击应力为hlPddABPhlstP可见，在冲击荷载问题的计算中，确定相应的冲击动荷系数Kd是关键。——静应力实际冲击过程中，由于不可避免地存在声、热等能量损耗，因此，被冲击构件中所增加的应变能Ud小于冲击物所减少的能量，从而导致上述方法计算的冲击动荷系数偏大。冲击应力的计算当h0时，冲击动荷系数hlPddABPhlstP这种突然施加的荷载称为骤加荷载。即当重物突然加载在杆件上时，所引起的应力是重物缓慢施加在杆件时所引起的静应力的两倍。数学上描述为h(t)为Heaviside函数冲击应力的计算例钢吊索AC的下端悬挂重量为P=20kN的物体，并以等速度v=1m/s下降，当索长度为l=20m时，滑轮D突然被卡住。求吊索受到的冲击荷载Pd以及冲击应力sd。已知吊索内钢丝的横截面面积A=414mm2，弹性模量为E=170GPa，滑轮重量可忽略不计。在上述情况下，在吊索与重物之间安置一个刚度为C=300kN/m的弹簧，则吊索受到的冲击荷载又是多少？vPlACD冲击应力的计算解设冲击荷载为Pd，滑轮D被卡住的那一瞬间，钢吊索AC的伸长为st，而d为滑轮D被卡住后，吊索的最大伸长，即在冲击过程中，冲击物动能的减少为势能的减少为PdlACDdstvPlACD冲击应力的计算滑轮D被卡住的那一瞬间，钢吊索AC内已存储的应变能为滑轮被卡住后，吊索AC内存储的应变能为所以，吊索内应变能的增加为PdlACDdstvPlACD冲击应力的计算根据能量守恒定律，有注意到上式变为进一步简化为PdlACDdstvPlACD冲击应力的计算由此求得方程的两个根，符合物理意义的根为于是，动荷系数为可见，提高相应的静伸长（静位移）Dst，可降低冲击动荷系数Kd，从而降低冲击应力。PdlACDdstvPlACD冲击应力的计算取g=9.81m/s2，则于是，冲击应力为spPlACDrod如果在吊索和重物之间安置一个刚度为C=300kN/m的弹簧，则由重物引起的静伸长为吊索的伸长量Drod与弹簧Dsp的伸长量之和vPlACD冲击应力的计算即spPlACDrod此时，冲击应力为于是，安置弹簧后的动荷系数为可见，在吊索和重物之间增加一个弹簧后，即增大杆件的静伸长，将降低冲击过程中的冲击应力，这是因为冲击过程中的部分能量转化为弹簧的应变能。vPlACD冲击应力的计算例一端固定、长为l的铅直圆截面杆AB在C点处被一个物体G沿水平方向冲击，已知G点到杆下端的距离为a，物体G的重量为P，物体G与杆接触时的速度为v。求杆在危险点处的冲击弯曲应力。BvlA

aGCBACDdPd解设杆AB在被冲击过程中，C点的最大挠度（冲击挠度）为d，相应的冲击荷载为Pd。冲击应力的计算在冲击过程中，物体G的速度由v减低为零，并且由于水平冲击，所以，其动能和势能的减少量分别为BvlA

aGC在冲击过程中，被冲击物的应变能为BACDdPd冲击应力的计算冲击力Pd和冲击位移Dd之间的关系为BvlA

aGC根据机械能守恒定律定律，由从而，杆AB的应变能为BACDdPd冲击应力的计算由此求得BvlA

aGC这里，——为在杆C点处受到一个数值上等于物体重量P的静荷载作用时，该点的挠度。BACDdPd冲击应力的计算于是，动荷系数为BvlA

aGC当C点受水平力P作用时，杆固定端横截面的最外缘（即杆的危险点）处的静应力为于是，危险点处的冲击应力为BACDdPd构件受迫振动时的动应力受迫振动时的动应力杆件受迫振动粗略计算的基本假定构件本身的质量可忽略不计受迫振动可简化为一个自由度的振动问题考虑如图所示的弹性系统，设刚性块和电机的总重量为P，弹簧的刚度为C，并且弹簧重量远小于P而可忽略不计。电动机转子的角速度为p，由于偏心作用而引起的惯性力为H，下面分析弹簧中的动应力。HPpt受迫振动时的动应力弹簧在静荷载作用下的静位移为HPptPDst设系统的阻尼为，以静荷载的平衡点为坐标原点，则刚性块的运动方程为此方程的稳态解为受迫振动时的动应力其中，为位相差，B为振幅，且HPptPDstDH为将惯性力H作为静荷载加在弹簧上的静位移，为放大系数,w为弹簧系统的固有频率。受迫振动时的动应力于是，弹簧在干扰力作用下发生受迫振动的最大位移为而最小位移为受迫振动时的动应力受迫振动的动荷系数为类似的分析可以得到，如果在静荷载P作用下弹簧的剪应力为tstmax，则受迫振动中弹簧的最大动应力为这个结论对所有单自由度弹性系统受迫振动的动应力的计算都是适用的。弹性系统受迫振动时的动应力是作周期变化的，这种应力亦称为交变应力受迫振动时的动应力弹簧受迫振动的位移HPptPDstHDHdmax=Dst+BH受迫振动时的动应力例图式的三种不同支承的梁都是有两根20b号工字钢所组成，梁的跨度l=3m，弹性模量E=200GPa，梁的中点安装一重量为P=12kN，转速为1500r/min的电动机，由于其转子偏心所引起的惯性力H=2.5kN。忽略梁自身的重量，且不及阻尼介质的阻力（n=0），计算图示三梁危险点处的最大和最小动应力。HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)受迫振动时的动应力解梁横截面关于z轴的惯性矩为HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)对于图(a)所示的两端简直梁，在中点C处作用静荷载P所引起的静位移为从而，梁的固有频率为受迫振动时的动应力梁的激振频率为HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)由于不计阻尼，从而，放大系数和动荷系数分别为受迫振动时的动应力梁危险点C处的最大静应力为HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)于是，梁危险点上的动应力为受迫振动时的动应力对于图(b)所示的两端固定梁，因为为一次超静定问题，所以需按超静定方法求解在中点C处作用静荷载P所引起的静位移，由此可得静位移为HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)从而，梁的固有频率为受迫振动时的动应力梁的激振频率为HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)由于不计阻尼，从而，放大系数和动荷系数分别为受迫振动时的动应力梁危险点C处的最大静应力为HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)于是，梁危险点上的动应力为受迫振动时的动应力对于图(c)所示的弹簧支承简支梁，设支承弹簧的刚度C=300kN/m，在中点C处作用静荷载P所引起的静位移为HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)从而，梁的固有频率为受迫振动时的动应力梁的激振频率为HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)由于不计阻尼，从而，放大系数和动荷系数分别为受迫振动时的动应力梁危险点C处的最大静应力为HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)于是，梁危险点上的动应力为交变应力下材料的疲劳破坏疲劳极限疲劳破坏•疲劳极限基本概念

交变应力——一点的应力随时间而交替变化

疲劳破坏——材料与构件在交变应力作用下的破坏疲劳破坏•疲劳极限疲劳破坏的实例

疲劳破坏•疲劳极限疲劳破坏的实例

疲劳破坏•疲劳极限交变应力的基本参量

规则交变应力——应力随时间的变化呈现一定的周期规律特征应力谱——应力随时间变化的曲线疲劳破坏•疲劳极限不规则交变应力——应力随时间的变化是随机的，没有规律可寻s(t)疲劳破坏•疲劳极限对规则交变应力应力循环——应力变化的一个周期一个应力循环疲劳破坏•疲劳极限应力循环特征——应力循环中绝对值的最小应力与绝对值的最大应力之比，即这里规定以绝对值较大者为最大应力，并且规定它为正号，而与正号应力反向的最小应力则为负s(t)一个应力循环smaxsmin疲劳破坏•疲劳极限应力幅——应力循环中最大应力与最小应力之差，即s(t)一个应力循环smaxsmins对称循环交变应力——循环特征r

=-1

的交变应力，即非对称循环交变应力——r

-1

的交变应力几个特殊情况疲劳破坏•疲劳极限脉动循环交变应力——应力循环特征r

=0

的交变应力，即交变应力的基本参量（两组）最大应力smax和循环特征r最大应力smax和应力幅Ds静态应力情形——静应力的循环特征r

=1

，即疲劳破坏•疲劳极限疲劳破坏——若金属材料长期处于交变应力状态下，则在最大应力远低于材料的屈服强度，并且不产生明显的塑性变形的情况下，材料发生的骤然断裂疲劳破坏特征破坏时，名义应力远低于材料的（静载）强度极限破坏需要经过一定数量的应力循环破坏前没有明显的塑性变形，即使韧性很好的材料，也会呈现脆性断裂同一疲劳断口，一般都有明显的光滑区域和颗粒状区域疲劳破坏•疲劳极限光滑区域颗粒状区域

同一疲劳断口，一般都有明显的光滑区域和颗粒状