【公开课】两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第1课时+两角差的余弦公式）课件高一上人教A版（2019）必修第一册

现在是数学时间5.5.1第1课时两角差的余弦公式课标要求1.能通过任意角的三角函数的定义及平面上两点间的距离公式推导出两角差的余弦公式.2.理解两角差的余弦公式的结构形式,并能利用公式进行简单的化简、求值.知识回顾：利用诱导公式化简观察本组练习的结构特征：两角差的余弦;

从化简的结果发现：都与任意角α（β）的正弦或余弦有关.

思考：cos(α－β)的展开公式可能与哪些值有关?差角的余弦我们用到哪些知识探究cos(α－β)与sinα、cosα、sinβ、cosβ间的关系？问题1已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标.提示P(cosα，sinα).问题2观察右图，并阅读教材P215以及右下角的注解部分，分组讨论，你能得到哪些结论？提示A(1,0)，P(cos(α－β)，sin(α－β))，A1(cosβ，sinβ)，P1(cosα，sinα).连接AP，A1P1，根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A1P1.问题3你还记得初中所学两点间的距离公式吗？由此可得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2.扇形AOP绕着点o旋转β角，由圆的旋转对称性得，知识点

两角差的余弦公式公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(1)简记符号:C(α-β).

(2)适用条件:公式中的角α,β是任意角.公式中α,β∈R名师点睛1.公式可简记为:余余正正、符号反.2.公式中的α,β都是任意角,既可以是一个角,也可以是几个角的组合,公式右端展开式为角α,β的同名三角函数积的和,即差角余弦等于同名积之和.3.要注意公式的逆用和变形应用,如cos(α+β)cos

β+sin(α+β)sin

β=cos[(α+β)-β]=cos

α.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)cos(60°-30°)=cos60°-cos30°.(

)(2)当α,β∈R时,cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(

)(3)对于任意实数α,β,cos(α-β)=cosα-cosβ都不成立.(

)(4)cos30°cos120°+sin30°sin120°=0.(

)×××√2.你能利用两角差的余弦公式推导cos(-α)=-sinα吗?探究点一利用两角差的余弦公式解决给角求值问题【例1】

求下列各式的值:规律方法

两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值,利用两角差的余弦公式直接展开求解.(2)含有常数的式子,先将常数转化为特殊角的三角函数值,再利用两角差的余弦公式求解.(3)求非特殊角的三角函数值,把非特殊角转化为两个特殊角的差,然后利用两角差的余弦公式求解.变式训练1化简下列各式:(1)cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°);(2)-sin167°sin223°+sin257°sin313°;探究点二利用两角差的余弦公式解决给值求值问题规律方法

给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:变式训练2探究点三利用两角差的余弦公式解决给值求角问题变式探究本例中,若将条件“α,β均为锐角”改为“α,β∈

”,再求α-β的值.规律方法

解决三角函数给值求角问题的方法步骤(1)确定角的范围,根据条件确定所求角的范围;(2)求所求角的某种三角函数值,为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数;(3)结合三角函数值及角的范围求角.本节要点归纳1.知识清单:(1)两角差的余弦公式的推导.(2)给角求值,给值求值,给值求角.2.方法归纳:整体法、构造法.3.常见误区:(1)求角时忽视角的范围;(2)公式的逆用及符号问题.学以致用•随堂检测全达标1.cos(-75°)的值为(

)答案

C

解析

cos(-75°)=cos(-30°-45°)=cos(-30°)cos

45°