【教案】向量的加法运算教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10/106.2.1向量的加法运算一、内容和内容解析内容：平面向量的加法运算．内容解析：向量的加法是向量的第一运算，是向量其他运算的基础.通过本节课让学生知道向量也是一种量，同其他量一样也有自己的运算，学好本节课为后面的学习奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法.通过理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义，掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题，培养学生数学抽象、直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，并理解其几何意义.（2）理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识.培养类比、迁移、分类、归纳等能力.目标解析：（1）学生能从物理中位移的合成、力的合成的具体实例中，抽象出向量的加法法则，能画图表示两个向量加法的结果．能依据向量加法的定义，并借助其几何意义探讨向量加法的运算规则.（2）研究平面向量的加法运算时，借助物理中的有关模型，如借助位移的合成引出向量加法的三角形法则；其中蕴含了数形结合、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.基于上述分析，本节课的教学重点定为：向量加法的运算法则及其几何意义.三、教学问题诊断分析1．教学问题一：向量与学生在物理中学习的矢量非常类似，物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：在类比中抽象出共性，通过图形体现其相同点.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质、类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：紧扣向量概念中的两个要素，大小和方向来研究向量的加法．3．教学问题三：向量的加法的定义是用作图语言来刻画的，对直接通过作图定义向量运算的这种处理方法，学生是第一次接触，在理解上会有一定的困难．解决方案：通过数和形两个角度进行刻画，类比物理中位移、力的合成等辅助理解．基于上述情况，本节课的教学难点定为：对向量加法运算法则的理解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比从物理、几何、代数三个角度理解平面向量的运算，应该为学生创造积极探究的平台，引导学生类比数的运算研究向量的运算.通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量，通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路.因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境提出问题[问题1]位移、力是向量，它们可以合成．我们看看能否从位移的合成、力的合成中得到启发引进向量的运算．如图1，某质点M从点A经过点B到点C，质点M的位移如何表示？[问题2]有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3000N，F2＝2000N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，能否产生跟原来相同的效果．[问题3]从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？[问题4]上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？教师1：提出问题1．学生1：学生思考．回答：质点M的两次位移的结果与它从点A直接到点C的位移结果相同．教师2：提出问题2．学生2：学生思考．回答：可以.教师3：提出问题3．学生3：学生思考．回答：位移的合成，力的合成，是把两个向量（矢量）“合”在一起了．这容易让我们想到向量可以这样作加法运算.教师4：提出问题4．学生4：三角形法则和平行四边形法则问题引入:提出问题，启发学生由位移的合成引入向量的加法.从具体实例出发结合图形思考问题，从中发现向量加法的运算法则.探寻规律形成概念[问题5]两个向量的和还是向量吗？[问题7]若向量和共线，它们的和向量能否用三角形法则作出？[问题8]如果eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，那么A，B，C三点一定能构成三角形吗？[问题9]根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”,你能发现|a＋b|与|a|，|b|之间的关系吗?【练习】如果=8，=5，那么的取值范围为.？[问题10]你能否总结一下向量加法的运算律？教师5：（1）1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.对于零向量与任一向量，规定：.（2）提出问题5．学生5：两个向量的和仍然是一个向量．教师6：2.向量的加法运算法则.（1）三角形法则已知非零向量a，b，在平面上任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.你能否尝试总结一下如何记忆？学生6：作平移，首尾连，从头到尾．教师7：提出问题7学生7：可以用三角形法则作出和向量.教师8：提出问题8.学生8：不一定.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝，则A，B，C三点有可能在同一条直线上(如图所示)，不能构成三角形.教师9：（2）平行四边形法则.已知两个不共线向量，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量eq\o(OC,\s\up6(→))就是向量与的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.请同学们尝试总结一下如何记忆？学生9：作平移，共起点，四边形，对角线教师10：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？学生10：画图探索，归纳结论：向量加法的三角形法则和平行四边形法则本质上是一致的，解决具体的向量加法问题时，可以有选择地使用.教师11：提出问题9学生11：对于任意向量a,b,都有||a|-|b|≤|a＋b|≤|a|+|b|;(2)当a,b共线,且同向时,有|a+b|=|a|+|b|;(3)当a,b共线,且反向时,有|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).教师12：完成练习学生12：[3,13]教师13：数的加法有哪些运算律？学生13：交换律、结合律.教师14：向量的加法是否也有这些运算律？下面我们从数与形两个方面来探究向量加法的运算律.（3）加法的运算律如图(1)在平行四边形ABCD中，，所以.在图(2)中，所以教师15：提出问题10.学生14：向量的加法满足：(1)交换律：.(2)结合律：.明确概念．明确运算法则．教师通过引导学生对展开式各项构成的观察，得到项的构成．通过该问题的探讨，进一步帮助学生理解向量加法的定义和两个加法法则，明确两个法则在本质上是一致的.借助特例，研究向量加法与实数加法的联系与区别，这样，更容易与数的加法进行类比，加强数形结合意识的培养．明确研究向量加法运算律的途径，并通过寻找结论成立的依据，使学生获得研究运算律的经验，提升逻辑推理素养.典型例题1.向量加法法则的应用例1.如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.2.平面向量的表示例2.化简：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).3.向量加法在实际问题中的应用例3.在静水中船的速度为20m/min，水流的速度为10m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.[课堂练习]1．下列结论一定正确的是（

）．A.在△ABC中，．B.向量的大小为2，向量的大小为3，则向量的大小为5．C.．D.．2．某人在静水中游泳，速度为，水流的速度为9km/h．他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为______度．学生15：三角形法则求解（图①）学生16：平行四边形法则求解（图②）．教师17：完成例2.学生17：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝0.(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0.教师18：完成例3学生18：在Rt△ACD中，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|v水|＝10m/min，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|v船|＝20m/min，∴cosα＝eq\f(|\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角.故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向.教师19：布置课堂练习．学生19：完成课堂练习．课堂练习考查学生对平面向量加法法则、几何意义及与数的加法的不同的掌握情况及将实际问题抽象为向量加法的情况．课堂小结升华认知[问题11]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))2.正方形ABCD的边长为1，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|为()A.1B.C.3D.3.化简eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A.eq\o(AB,\s\