【教案】平面向量基本定理教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8/86.3.1平面向量基本定理（第1课时）一、内容和内容解析内容：平面向量基本定理．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第一课时的内容．平面向量的基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础，同时平面向量的基本定理也为我们提供了一种重要的数学转化思想.平面向量基本定理是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任意向量的表示，为今后平面向量的坐标运算建立向量坐标的一个逻辑基础，只有正确地构建向量的坐标才能有正确的坐标运算.平面向量的基本定理的研究综合了前面学习过的向量知识，同时又为后续的学习做了奠基，起到了承前启后的作用.二、目标和目标解析目标：（1）理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义，培养数学抽象的核心素养；（2）在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量，培养逻辑推理的核心素养；（3）会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题，提升数学运算的核心素养.目标解析：（1）经历平面向量基本定理的探索过程.体会由力的分解到向量分解的过程，感悟数学抽象，逻辑推理等数学思想的作用.通过证明平面向量基本定理理解定理，体会定理的重要性及意义.增强对数学思维方法的理解．（2）通过选择基底表示平面内的一些向量.解决一些平面几何问题，体会向量法在解决平面几何问题中的作用和基本步骤．基于上述分析，本节课的教学重点定为：平面向量基本定理，定理的发现和证明过程．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：虽然本节课之前学生已经学习了平面向量的概念、平面向量的线性运算、数量积，但学生对向量之间的关系认识还只是停留在“一维”层面，包括“相等向量”，“相反向量”、“共线向量”等，而平面向量基本定理揭示的是“二维”层面的平面向量间的关系.要实现这种认识层级的跃迁对学生有一定难度．解决方案：引导学生积极参与定理形成的探索过程，通过多举实例，带领学生去归纳发现定理．2．教学问题二：如果说由力的分解的物理模型想到向量的分解是第一次抽象，那么由向量的分解想到任意一个向量都可以用一对不共线的向量，经过线性运算加以表示是第二次抽象，也是认识上的一种飞跃，会给学生造成认知上的困难．解决方案：利用信息技术工具等形象的教学手段进行直观阐释、辨析，帮助学生理解定理．基于上述情况，本节课的教学难点定为：平面向量基本定理的发现和证明过程．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到平面向量基本定理，可以利用信息技术工具展示几组力的分解的例子，在此基础上，固定基底，改变要表示的向量，看向量表示的变化与表示的唯一性，帮助学生理解定理．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视平面向量基本定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图复习回顾引出问题[问题1]若向量与不共线，向量可以由向量表示出来吗?[问题2]如图，两根绳子吊着一个物体，你能知道这两根绳子的拉力各是多少吗？（请画图示意）复习：向量共线定理，并在课件中投影一组共线向量，并指出在“选定一个非零向量”的前提下，其他向量均可用唯一表示，即：存在唯一的实数，使其等于；教师1：提出问题1．学生1：不能，表示不出来.教师2：那么要怎样才能表示出向量呢?学生2：学生思考．教师3：提出问题2．学生3：学生思考．问题引入：提出问题．探寻规律获得结论[问题3]如图，设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量，在平面内任取一点O，作将按的方向分解，你有什么发现？[问题4]当是零向量时，还能用表示吗？[问题5]若向量与共线，那么还能用这种形式表示吗？[问题6]类比前面的一维情况，平面内任何一个向量都可以表示成的形式，那么这种表示是唯一的（即前面的系数）吗？教师4：提出问题3.学生4：如图，，向量可以分解为两个向量的和.教师5：平面上，任意向量都可以用表示吗？让学生分解选择以下两个向量之一进行再次尝试.学生5：思考尝试.教师6：提出问题4.学生6：可以，取，，则教师7：提出问题5：学生7：若向量与共线，取，则；若向量与共线时，取，则教师8：提出问题6：学生8：假设即假设不全为0不妨假设则.由此可得共线，与已知不共线矛盾则λ1－μ1，λ2－μ2全为0，即λ1=μ1，λ2=μ2所以表示形式是唯一的.教师9：综上，我们得到“平面向量基本定理”：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.与学生一起提出注意：(1)基底不唯一，关键是不共线；(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解；(3)基底给定时，线性表示是唯一的.教师10：向量共线定理平面向量基本定理条件定一个非零向量a两个不共线向量e1，e2结论与向量a共线的向量b，均存在唯一的实数，使其等于b=a对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2实质问题探究的形式，引导学生思考，不断精确，逐步引出平面向量基本定理的具体内容，同时培养学生类比能力以及化归能力，激发学生学习的兴趣和自主探索的精神.这里通过证明“唯一性”，让学生感受数学的严谨扎实，无可辩驳，培养学生逻辑推理素养.通过对比，加深对平面向量基本定理本质含义的理解，抓住定理实质，并未后面坐标表示奠定基础，而且为后面学习的空间向量基本定理做好过渡.应用定理巩固拓展[问题7]如图，在中，为的中点，用来表示.[问题8]如图，在中，如为的三等分点，用来表示.[问题9]例1.如图，不共线，且，用表示例2.如图，CD是△ABC的中线，且CD＝AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形.[课堂练习1]在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CA,\s\up6(→))＝e2为基底表示eq\o(CF,\s\up6(→)).[课堂练习2]如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.教师11：提出问题7．学生9：提出想法．（不同角度方法的尝试）教师12：提出问题8．学生10：提出想法．教师13：提出问题9学生11：解：因为所以教师14：追问：你有什么发现？学生12：如果三点共线，点是平面内任意一点，若，则.教师15：完成例2学生13：证明：如图，设＝a，＝b则＝a＋b，＝a－b因为CD＝AB，所以CD＝DA因为a2＝CD2，b2＝DA2所以，因此CA⊥CB．于是△ABC是直角三角形.教师16：布置课堂练习1、2．学生14：完成课堂练习，并核对答案．让学生从较容易的一两个实际运用中进一步感受基本定理的含义，同时为猜想得出后面的一个重要结论做直观的例证.在前面的基础上，提出此结论的探究，引发学生探索的兴趣.进一步运用基本定理，加深定理的理解，并初步感受向量方法在几何上的运用，让学生感受数学的统一性.课堂练习1:熟悉平面向量基本定理．课堂练习2:能灵活选择基底进行分解表示.课堂小结升华认知[问题10]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))D．eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是()A．不共线B．共线C．相等D．不确定3．如图，在矩形ABCD中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)(5e1＋3e2)B．eq\f(1,2)(5e1－3e2)C．eq\f(1,2)(3e2－5e1)D．eq\f(1,2)(5e2－3e1)4．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ＝()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)教师17：提出问题10．学生15：(1)平面向量基本