自控PPT综合课件

序自动控制——在没有人直接参与的情况下，利用附加的设备或装置，使机器、设备或生产过程的某个工作状态或参数自动的按照预定的规律运行。自动控制技术广泛应用于国民经济的各个部门。例如：数控车床按照规定程序自动地切削工件；化学反应炉自动地维持温度或压力的恒定；导弹发射和制导系统自动地把导弹引向敌方目标；人造地球卫星准确地进入预定轨道并回收……

不仅如此，自动控制技术的应用范围已扩展到生物、医学、经济管理和其它许多社会领域。已成为现代生活领域中不可缺少的重要组成部分。自动控制原理——研究自动控制共同规律的一门技术科学。自动控制原理是对自动控制系统进行分析和设计的基础，也是自动化及相关专业共同的技术基础课，其重要性是显而易见的。自动控制原理的发展阶段：阶段形成时期理论基础分析方法研究对象研究重点数学工具Ⅰ30-50年代经典控制论时域、复域(1948)、频域(1932)SISO(Single-input,Single-output)反馈控制系统微分方程、拉氏变换、复变函数等Ⅱ60-70年代现代控制论状态空间时域MIMO(Multiple-inputMultiple-output)最优控制自适应控制等矩阵理论(线性代数)Ⅲ70年代至今大系统理论智能控制时域\复域\频域法，模糊集法多因素多层次复杂对象大系统复杂系统智能控制(1)自动控制原理，李友善，国防工业出版社(2)自动控制原理学习指导与题解指南，张苏英等，国防工业出版社(3)自动控制原理习题集，胡寿松等，国防工业出版社(4)自动控制原理考研试题分析与解答技巧，张苏英等，北京航空航天大学出版社(5)Matlab应用基础主要参考书建议与要求：数学基础：高等数学、线性代数-拉氏变换、复变函数等。学习方法：听课为主，讨论与自学为辅。要求：①掌握控制系统分析的基本方法和设计思想（稳定性分析、系统分析及系统校正的方法）②按学校要求听课；遵守课堂纪律；③按时交作业。§1.1自动控制的基本原理与方式1.常用术语电动机——电机，是自动控制系统中的常用部件。电动机D电压U转速n,ω负载ML定性的讲，当负载ML一定时，电压U增大转速n提高；当电压U一定时，负载ML增大转速n减小。想一想：当负载变化时，要想保持转速恒定，应该怎么办？下面看一龙门刨自动调速系统。该系统的控制目的是：当负载变化时，维持转速n不变。第一章自动控制的一般概念2.反馈控制系统的一般构成（P5）被控对象输出量扰动量执行元件放大元件输入量_反馈量偏差测量元件串联校正_反馈校正3.基本控制方式有三种闭环控制系统（反馈控制系统）

开环控制系统

复合控制系统（1）闭环控制系统（反馈控制系统）1）结构特征：信息循环往复传递，按偏差进行控制；2）系统特点：①按偏差控制，（因此必须有输出量的测量装置）；②抗干扰性好，控制精度高；③系统较复杂，有稳定性问题。（2）开环控制系统1）结构特征：信息单向传递，没有形成闭合回路2）系统特点：①控制系统结构简单，成本低廉；②控制精度差，抗干扰能力差；3）使用场合：多用于系统结构参数稳定和扰动信号较弱的场合。如：自动售货机、自动报警器、自动化流水线、全自动洗衣机等。（3）复合控制系统——是前馈（顺馈）和反馈相结合的控制方式前馈——从本质上讲，属于开环控制。因此，复合控制系统中既有闭环控制，又有开环控制。在自动控制系统中，前馈通常有两种方式：按扰动补偿与按给定补偿。例如，P7上的电动机转速复合控制系统（按扰动补偿）。电动机输出量扰动量输入量_反馈量偏差测速发电机电压放大功率放大电阻R电压放大按扰动补偿的前馈控制方式仅适用于干扰可测量的场合。显然，复合控制系统具有前馈和反馈控制的优点。§1.2控制系统的分类按控制方式：开环控制、闭环控制、复合控制按元件类型：机械、电气、机电、液压、气动、生物……按系统功用：速度控制系统、压力控制系统、温度控制系统、位置控制系统…按参据量的变化规律：恒值控制系统、随动控制系统、程序控制系统。按系统性能：线性系统非线性系统——系统中所有元件的特性都是线性的。定常（时不变）系统时变系统——系统的结构和参数不随时间变化。连续系统离散系统——系统中各部分信号随着时间连续变化。确定性系统不确定性系统——本课程只涉及确定性系统。为了全面反映系统特点，通常将上述分类组合应用。例如：（1）线性定常连续系统：其中：c(t)——系统输出；r(t)——系统输入特点：各变量及其导数以一次幂形式出现，且无交叉相乘；各系数ai(i=0→n),bi(i=0→m)都是常数。系统中各信号随着时间连续变化——线性——定常——连续本教材ch1—ch6讨论这类系统。（2）线性时变连续系统：——上式中某些系数随着时间的变化而变化本教材没涉及。（3）非线性系统：本教材ch8讨论这类系统。（4）离散系统：用差分方程表示。本教材ch7讨论这类系统。§1.3对自动控制系统的基本要求基本要求：在某种典型输入信号作用下，系统输出参数能稳定、快速、准确的跟踪输入。简称：稳、准、快稳——稳定性绝对稳定性相对稳定性（简称稳定性）（反映平稳性

——表征系统动态过程的平稳程度）

稳定是保证系统正常工作的先决条件，显然，不稳定的系统是无法实现预定的控制任务的准——准确性（表征系统的稳态精度）快——快速性（表征系统的动态过程响应速度）阅读：P7-10自动控制系统示例作业：思考与练习：p17：1-10观察你周围，哪些是开环控制系统？闭环控制系统？复合控制系统？14第二章控制系统的数学模型（ControlSystemModeling）数学模型——（models）描述系统内部各变量之间关系的数学表达式静态模型——在静态（即变量的各阶导数为零）条件下，描写变量之间关系的代数方程。数学模型是分析、设计控制系统的基础。（辨识法）建立数学模型的方法主要有分析法实验法（解析法）动态模型——描写变量各阶导数之间关系的微分方程（或其它模型形式）。本章主要内容有：传递函数与微分方程用分析法建立系统数学模型的一般方法闭环系统传递函数的求取15§2.1传递函数与微分方程一、预备知识1.Laplace变换2.线性系统重要特性——例如：若：当x=x1时，其解为y1；当x=x2时，其解为y2则①当x=x1+x2时，其解为y=y1+y2。②当x=Ax1时，其解为y=Ay1，其中A为常数。

叠加原理

叠加原理说明了，两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和，且当外作用的数值增大若干倍时，其输出亦增大相应的倍数。传递函数——复域模型微分方程——时域模型163.线性定常微分方程求解经典法拉氏变换法计算机求解例：已知某系统的微分方程：解：设：Ui(s)=L[ui(t)]，Uo(s)=L[uo(t)]

由拉氏变换的微分定理，得：uo(0)=0.1初始条件：输入信号：ui(t)=1(t)连同初始条件一起代入原微分方程，得：17由输入引起的输出由初始条件引起的输出L-1整理得：用拉氏变换法求解微分方程的步骤可归纳为:微分方程拉氏变换输出的象函数拉氏反变换输出的时域函数(微分方程的解)18二、传递函数的定义对于线性定常系统，在零初始条件下，输出的L变换与输入的L变换之比.n

阶线性定常系统：几个概念：传递函数的零点：满足N(s)=0的点传递函数的极点：满足D(s)=0的点特征方程：D(s)=0（当传函为闭环传函时）——传函分子=0的根——传函分母=0的根①②当t=0-时，输出量、输入量及其各阶导数项均为零。19G(s)R(s)C(s)③传递函数与微分方程有相通性，是一一对应的，非常容易转换。②传递函数是系统输入输出关系的表达式，它只取决于系统的结构参数，而与系统的输入信号的形式无关，当然也与初始条件无关。④传递函数的反拉氏变换是系统的单位脉冲响应。三、传递函数的性质①传递函数是复变量s的有理真分式函数，即m≤n，且所有系数为实数；⑤传递函数只是对系统的数学描述，并不反映系统的物理构成。可用下列方框表示其输入输出间的关系：熟记对应关系20§2.2分析法建立系统数学模型的一般方法(2)列写方程：RCUiUo例2.1建立一阶RC网络数学模型(3)消除中间变量，整理为标准形式：RCUiUo解：(1)确定输入输出变量:输入量：电压uI；输出量：电压uo。相应的传递函数为：一、环节数学模型的建立对于此类电网络，可直接用电路上所学的运算法得到其传递函数。21归纳分析法建立环节数学模型的一般步骤：（1）确定输入输出变量；（2）根据相应的物理定律列写方程；（3）消除中间变量；（4）增量化、线性化处理。（5）写成标准形式：对于微分方程：输出写在等号的左边，输入（及扰动）写在等号的右边，并且按降阶排列。对于传递函数：分子分母都按s降幂次排列。当分子分母都是s的多项式时，或：分子分母都写为因式连乘的形式。说明：对于电路网络，如例2.1，可以用《电路》课上所学的运算法可直接得到传递函数。再看一例：22例RuouiLC

解：——二阶线性常系数微分方程

RLC网络。(P34)设系统输入为ui(t)，输出为uo(t)。试建立该网络的数学模型。或：二者完全一致根据电路原理，可列得如下方程i23例

弹簧-质量-阻尼机器机械位移系统。(P35)

由牛顿运动定律有：弹簧的弹力=Kx(t)阻尼器的阻尼力=fdx(t)/dt其中：K为弹簧的弹性系数；f为阻尼器的阻尼系数。试列写质量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的运动方程。解：设质量m相对于初始状态的位移为：x(t)则速度、加速度分别，dx(t)/dt，d2x/dt2mF(t)x(t)fK与RLC网络比较思考与理解:传递函数只是对系统的数学描述，并不反映系统的物理构成。24例:有源网络uo－＋R1R1R2ui。。。传函为：传函为：uo

-K1uiR2R1⑴。。⑵

-K1uiR2uoR1·c。。⑶

-K1R2uoR1R1u1u2。。。

当求取对其中某一个外作用信号的传函时，认为其余外作用信号为零。当有多个外作用信号时，传函要分别求取。思考：这种情况下，系统的总输出如何？25二、控制系统的数学模型+u2

-K2R1CR功率放大K3ua负载ωmωSM例

某速度控制系统如下图所示，建立其数学模型。解：被控对象：电动机（带负载）

输入量：ui

输出量：转速ω

扰动量：负载转矩Mc′（折算到电动机轴上的等效值）

-K1uiR1R1R2u1-utTG-ut26运算放大器Ⅰ：运算放大器Ⅱ:

功率放大器：直流电动机：齿轮系：

测速发电机：+u2

-K2R1CR功率放大K3ua负载ωmωSM

-K1uiR1R1R2u1-ut-ut测速反馈消去中间变量可得系统微分方程：思考：传递函数？27列写系统各环节数学模型时应要注意的问题：(1)信号传递的单向性，前一个元件的输出是后一个元件的输入。(2)前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应问题。例如：R1C1R2C2R1C1R2C2串联二者传函不同归纳系统数学模型的建立的一般步骤(1)确定系统输入、输出变量；(2)根据各环节相应的物理定律建立各环节的数学模型；(3)消除中间变量，写出系统外作用量与输出量之间的微分方程。或先画出系统结构图再求出传递函数（当然也就得到了微分方程）。28三、非线性微分方程的线性化非线性环节是广泛存在的。处理方法:忽略——视为线性元件微偏法——小偏差线性化法非线性系统理论——描述函数法、相平面法、逆系统方法等——本章讨论微偏法的实质是：在小范围内，用切线代替曲线，从而达到线性化的目的。具体做法是：在工作点附近进行泰勒级数展开，忽略高次项。y0x0y(t)x(t)(x0,y0)x(t)——非线性环节的输入信号y(t)——非线性环节的输出信号29在工作点（x0，y0）展开为泰勒级数：设：非线性方程为：y=f（x）

设：有：即：——增量线性化方程注意：⑴线性化方程的参数与工作点（平衡状态）有关。⑵应用微偏法，工作范围不能过大，否则误差大。到底多大合适，与非线性曲线形状有关。⑶二元函数的线性化方法与此相似，请课后阅读教材上的相关内容。30§2.3控制系统的结构图及其化简

（Blockdiagrams）

一、结构图的组成U(s),u(t)引出点（分支点）：引出点表示信号引出或分支。在同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。这一点与电路图是不同的。比较点（综合点）：两个以上的信号进行加减运算。输出信号等于所有输入信号的代数和。U(s),u(t)U(s),u(t)U(s),u(t)方框（环节）：把传递函数写到方框的里面。方框的输出等于方框的输入与传递函数的乘积，可视为单向运算的算子。信号线：带箭头的直线，箭头表示信号的流向。U(s),u(t)±R(s),r(t)R(s)±U(s)r(t)±u(t)G(s)R(s),r(t)C(s),c(t)结构图的组成结构图的绘制结构图的等效变换和化简结构图又称方框图或方块图31二、结构图的绘制

绘制结构图的一般方法：（1）考虑负载效应，分别列写系统中各元部件的时域方程或复域方程；代数方程的时域形式和复域形式相同，微分方程则必须写成复域形式。（2）根据信号流向，从前向后(或从后向前)用信号线依次将各方框连接。两个例题32U2K3′－KmKcMc′ΩmΩ(s)Kt与时域形式相同Ui(s)Ut(s)U1－K1例前已求出33双T滤波电路，试绘制该系统结构图。RRC1C2UoUiii2i1解：根据电路原理课列出系统复域方程为：1/sC2UoI21/RI1/RI1-I21/sC1Uc1-UR2Uo-UR1UiUc1例2.634注意：①虽然系统结构是从系统元部件的数学模型得到的，但结构图中的方块与实际的元部件并非一一对应（上例中的电动机）。②方框图的表示不是唯一的。三、结构图的等效变换和化简1、结构图的三种基本运算：——串联、并联、反馈（1）方框的串联（combiningserialblocks）及运算G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)C(s)=G2(s)G1(s)R(s)G(s)=G(s)R(s)G1(s)G2(s)结论：方框串联连接总传递函数等于各个方框传递函数的乘积。

R(s)C(s)?思考：多个环节串联？35（2）方框的并联（combiningparallelblocks）及运算G1(s)+G2(s)U1(s)=G1(s)R(s)U2(s)=G2(s)R(s)C(s)=U1(s)+U2(s)=(G1(s)+G2(s))R(s)=G(s)R(s)结论：并联的总传递函数等于各个方框传递函数的代数和。R(s)C(s)?G1(s)G2(s)R(s)C(s)U1U2++思考：多个环节并联？36（3）反馈（feedback）连接方框的运算“+”表示正反馈；“-”表示负反馈。反馈通路传函H(s)=1称为单位反馈前向通道传函R(s)C(s)？C(s)=G(s)E(s)B(s)=H(s)C(s)记为闭环传函=前向通路传函1±开环传函G(s)H(s)C(s)R(s)E(s)B(s)-+C(s)=G(s)[R(s)H(s)C(s)]-+E(s)=R(s)B(s)-+式中：“+”表示负反馈；“-”表示正反馈。我们称：为闭环传递函数为闭环系统的开环传递函数G(s)H(s)相应的概念：闭环零、极点；开环零、极点；……37说明：（1）在很多情况下，传函为分式，设前向通道传函G(s)=反馈通道传函H(s)=式中：“+”表示负反馈；“-”表示正反馈。即：一个很实用的结论。（2）定义：Φ(s)的分母=0为系统特征方程。特征方程的根称为系统的特征根。38总结对照这三种基本运算：串联：G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)并联：G1(s)G2(s)R(s)C(s)U1U2++G1(s)+G2(s)R(s)C(s)反馈：G(s)H(s)C(s)R(s)E(s)B(s)±R(s)C(s)G

(s)1G(s)H(s)－＋可以发现：他们的共同特点是消除了中间变量，使结构图简化。

方框图变换就是要通过移动引出点、求和点等，使结构图中出现串联、并联或反馈，以便化简结构图。2、结构图变换39常用的几种结构图变换（1）引出点前移：G

(s)R(s)C(s)C(s)G

(s)R(s)C(s)C(s)G

(s)●（2）引出点后移：G

(s)R(s)C(s)R(s)●G

(s)R(s)C(s)R(s)1/G

(s)（3）比较点前移：G

(s)R(s)C(s)Q(s)±±G

(s)1/G

(s)R(s)C(s)Q(s)40(5)比较点易位及合并R1(s)C(s)R2(s)±R3(s)±E(s)R1(s)C(s)R2(s)±R3(s)±R1(s)C(s)R2(s)±R3(s)±(6)交换比较点或引出点（极少采用）R1(s)C(s)R2(s)C(s)---R1(s)R2(s)R2(s)C(s)C(s)（4）比较点后移：±G

(s)G

(s)R(s)C(s)Q(s)G

(s)R(s)C(s)Q(s)±41应该说，结构图的变换是手段；结构图的化简才是目的。变换与化简的基本原则是：等效原则。

在结构图变换与化简过程中，我们只能减少（或增加）一些中间变量，但各变量之间的数学关系不能改变。3、结构图变换与化简看两个例题42P63例2-21

已知系统结构图如下图所示，求C(s)/R(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H3(s)H1(s)H2(s)－－－R(s)C(s)解：分析如何解除回路之间的交叉？●G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H3(s)H1(s)H2(s)－－－R(s)C(s)G4(s)43G1(s)G2(s)G4(s)H1(s)H2(s)－－R(s)C(s)G1(s)G4(s)H1(s)－R(s)C(s)44G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H3(s)H1(s)H2(s)－－－R(s)C(s)仔细观察发现什么规律？想一想：有没有其它的变换方法？对照比较：45§2.4信号流图与Mason公式一、信号流图——表示信号之间相互关系的又一种图示方法。信号流图有两种符号——节点和支路。支路——两节点之间的定向线段，相当于乘法器节点——以小圆圈表示，用来表示信号，同时兼做求和号例如：○○○○x1x2x3x42－51○x5混合节点所代表的信号是所有指向它的信号的代数和。x5=x4又有输入支路，又有输出支路的节点为混合节点；称：只有输出支路的节点为源节点(sourcenodes)，又称输入节点；只有输入支路的节点为阱点(sinknodes)

，又称输出节点；显然，46二、信号流图的绘制信号流图可由系统复域方程绘制，也可由系统结构图绘制而成。例

网络如图。试绘制系统的信号流图。C2R1R2uiuoC1ii1i2解：列出系统方程为共8个变量UR1UiUC1II21/R111/C1s-1UR2I1Uo1/R21/C2s-1-111U0说明：本例直接写出的是复域模型，如果不便，也可以先写微分方程，再取拉氏变换，得到复域模型。47例2-24已知系统框图，试绘制其信号流图。(P69)解：先选取节点输入量R输出量C引出点通常还包括求和号的输出（例13)ee1e2共5个变量Ree1e2C1-HG11G2G3G4G1G4G2G3RH_C﹢﹢——非唯一的48三、梅森增益公式（Masongainrule）

梅森增益公式：P——系统总传递函数；n——前向通路总条数；pk——第k条前向通路总增益；Δ——特征式单独回路增益每两个互不接触回路增益乘积每三个互不接触回路增益乘积Δk—特征式的余子式。即特征式中去掉与第k条前向通路相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项）后的余式。这里：49例：利用梅森增益公式求总增益。X4X1X2X3abc-def-g解：系统有3条回路：L1与L2为互不接触回路：系统有2条前向通路:于是总增益X4/X1为：50P71例2-25：已知系统结构图如下图，用Mason公式求C(s)/R(s)——P63例2-21G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H3(s)H1(s)H2(s)－－－R(s)C(s)解：回路有：L1=-G1G2G3G4H1L2=

-

G2G3H2L3=-

G3G4H3无不接触回路前向通路有：P1=G1G2G3G4△1=1于是总传函：51G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H3(s)H1(s)H2(s)－－－R(s)C(s)○R○○○○○C﹣H1G1-H2G2﹣H3G3G4○1C52§2.5典型反馈控制系统传递函数的几个基本概念(P73)REG1G2N-HECC系统外作用：典型的反馈控制系统如下图R(s)——系统输入N(s)——扰动信号系统输出：C(s)系统误差：E(s)G1G2HREB_CN＋531.输入R(s)作用下的闭环传递函数2.扰动N(s)作用下的闭环传递函数

令R(s)=03.两输入同时作用下，系统总输出当时，有：

令N(s)=0G1G2HREB_CN＋544.误差传递函数是指以误差E(s)作为输出量的传递函数G1G2HREB_CN＋G1G2HREB_G1＋NG2HB－1E可由Mason公式得到55归纳：输入R(s)作用下的闭环传递函数:扰动N(s)作用下的闭环传递函数

:两输入同时作用下，系统总输出:误差传递函数：56代入消元，得到微分方程或传递函数本章小结：实际系统分析法方程组绘出结构图结构图变换与化简Mason公式绘出信号流图Mason公式控制系统传递函数获得途径：由系统各元部件运动方程由结构图由信号流图第三章线性系统的时域分析法

数学模型建立以后，可用多种方法分析系统的性能指标。时域分析法是在典型输入作用下，直接在时间域分析系统性能的方法。其特点是：直观、准确；并且可以提供系统时间响应的全部信息。本章主要内容包括：1.典型输入信号及控制系统性能指标2.一阶系统的时域分析3.二阶系统时域分析4.高阶系统时域分析5.线性系统稳定性6.稳态误差计算§3-1系统的时域性能指标数学模型典型输入作用下求解微分方程时域响应性能指标3-1-1典型输入信号

信号名称时域表达式复域表达式函数曲线单位阶跃函数r(t)=l(t),t≥0R(s)=1/s单位斜坡函数r(t)=t,t≥0R(s)=1/s2tr(t)单位加速度函数r(t)=1/2t2t≥0R(s)=1/s3tr(t)单位脉冲函数r(t)=δ(t),t=0R(s)=1tr(t)tr(t)正弦函数r(t)=AsinωtR(s)=Aω/(s2+ω2)tr(t)3-1-2动态过程和稳态过程

1.动态过程

(过渡过程或瞬态过程)——在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。当r(t)=1(t)时，系统响应可能为：稳定系统不稳定系统不稳定系统2.稳态过程(稳态响应)——在典型输入作用下，当t→∞时的系统输出。它表征系统输出最终复现输入量的程度，用稳态性能指标描述。3-1-3性能指标的定义1动态指标：在阶跃输入作用下，测定或计算系统的动态性能。th(t)h(∞)th(t)h(∞)⑴上升时间tr：振荡——第一次上升到终值所需时间；非振荡——从终值的10%上升到终值的90%所需的时间；tr0.1h(∞)0.9h(∞)tr⑵延迟时间td：第一次达到其终值一半所需的时间；0.5h(∞)td⑶峰值时间tp：超过其终值后，到达第一个峰值所需的时间；tphmax⑷调节时间ts：到达并保持在[终值±5%终值](或±2%)内所需的最短时间。ts误差带±2%或±5%ts误差带±2%或±5%若h(tp)<h(∞),则响应无超调。实际中，常用tr,ts和σ%。tr(tp)——评价系统起始段的响应速度；σ%——评价系统的阻尼程度；ts——评价系统整个过渡过程的响应速度，是速度和阻尼程度的综合指标。⑸超调量σ%：2.稳态指标：描述系统稳态性能的一种性能指标通常在典型输入作用下进行测定或计算。单位阶跃输入下的稳态误差也称为余差。th(t)h(∞)tr0.5h(∞)tdtphmaxts误差带±2%或±5%显然，h(tp)=hmax注意：性能指标是就稳定系统而言的。§3-2一阶系统的时域分析可以用一阶微分方程描述的控制系统3-2-1一阶系统数学描述例如，RC电路RCr(t)c(t)其微分方程为：其中：T=RC为时间常数其传递函数为:——惯性环节典型一阶系统：传递函数相应于单位反馈系统的结构图为：R(s)C(s)-等效开环传递函数为：3-2-2一阶系统单位阶跃响应

R(s)C(s)-系统输出：系统输入：拉氏反变换，得：tc(t)10.632T63.2%2T86.5%3T95.0%4T98.2%5T99.3%阶跃响应的特点：3）c(t)的终值为1，即系统在阶跃输入作用下，稳态误差为零。2）动态性能与时间常数T有关，其指标为：1）在t=0时的斜率最大，为：ts=4T(2﹪误差带)3-2-3一阶系统的单位脉冲响应

系统输入：L反变换，得：系统输出：R(s)＝1脉冲响应记作g(t)，即：tc(t)1/T0.368/TT脉冲响应的特点：1）响应曲线的斜率为：

在

t=0时最大：2）c(t)的终值为0，即系统在脉冲输入作用下，稳态误差为零。动态响应过程由T决定0.368=e-1拉氏反变换，得：误差：一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为：②可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。3-2-4一阶系统的单位斜坡响应

系统输入：系统输出：结论：tc(t)r(t)ess减少时间常数T①可以加快瞬态响应的速度3-2-5一阶系统的单位加速度响应

跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能跟踪加速度输入。系统输入：系统输出：拉氏反变换，得：误差：1.

典型输入信号的响应2.等价关系:3-2-6一阶系统时域分析小结

系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；注意：积分常数由零初始条件确定。该结论可推广至高阶系统。3.动态特性:T↑→响应速度↓，即响应时间↑，反之亦然4.跟踪能力:阶跃输入：无稳态误差，即能够跟踪阶跃信号，跟踪速度取决于T；斜坡输入：有位置误差，且稳态误差等于时间常数T；加速度输入：稳态误差无穷大，即一阶系统不能跟踪加速度信号。由时间常数T决定。t1(t)1输出响应输入信号图中4条一阶系统阶跃响应曲线，时间常数分别为0.5，1，2，5，图示两系统有何异同？R(s)C(s)-R(s)C(s)-思考题1思考题2请标在对应的曲线上。§3-3二阶系统的时域分析1.标准二阶系统微分方程2.标准二阶系统传递函数——自然频率（无阻尼自然振荡频率）

——阻尼比（相对阻尼系数）

3.标准二阶系统结构图（单位反馈）R(s)C(s)_开环传递函数：3-3-1二阶系统的数学描述可用二阶系统微分方程描述的控制系统4.非标准二阶系统的标准化例如，某单位反馈系统的开环传函为：对照标准二阶的开环传函：有：5.

标准二阶系统的特征方程和特征根特征方程：特征根：显然，的取值决定特征根在s平面的位置：特征根：实部为负S平面ReIm一对共扼复根两个相等的实根×﹢两个不相等的实根××实部为零，即纯虚根，即：s1,2=±jωn××实部为正一对共扼复根××××两个相等的实根×﹢两个不相等的实根××称：——欠阻尼——临界阻尼——过阻尼——无阻尼瞬态分量稳态分量二阶系统单位阶跃响应1.欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应

拉氏反变换，得：欠阻尼：单位阶跃作用下，其输出：其中：1tC(t)1包络线ReIm××s1-σωdωnβcosβ=ζ其中：——衰减系数——阻尼振荡频率

稳态值为1的衰减振荡过程3-3-2其中：ωn——无阻尼振荡频率自然振荡频率过渡过程为等幅振荡过程。此时：s1,2=±jωn无阻尼单位阶跃作用下，其输出：拉氏反变换，得：tC(t)1进一步考虑：

2.临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应

——稳态值为1的无超调的单调上升过程3.过阻尼二阶系统的单位阶跃响应

临界阻尼即：s1=s2=-ωn过阻尼即：其中：——两个不相等的实根显然，T1>T2,s1比s2更靠近虚轴。——稳态值为1的无超调的单调上升过程标准二阶系统的单位阶跃响应曲线（P109）ζ=0ζ=0.1ζ=0.2ζ=1ζ=2标准二阶系统的动态过程分析及计算1.欠阻尼：

(1)（上升时间）

求得

响应速度越快

一定，即一定，ReIm×s1-σωdωnβcosβ=ζtrtC(t)13-3-3注意：式中β以“弧度”记。(2))(峰值时间pttC(t)1cosβsinβtp根据峰值时间定义，应取：一定时，

（闭环极点离负实轴的距离越远）

思考：二阶系统的初始斜率——二阶系统的初始斜率为零。(3)（超调量）tC(t)1-sinβ=-进一步整理得：时，时，时，%3.16%=s时，时，%=s4.3%%=s时，1.5%工程常用说明：(4)(调节时间)令为实际响应与稳态输出之间的误差，则有：

tC(t)1包络线±5%可近似得到：在分析时，常取：在分析时，常取：（1）ts与闭环极点（特征根）到虚轴的距离成反比。离虚轴越远，ts越小。说明：（2）ts的计算公式是近似公式，从定义上看，ts与ζ的关系曲线是不连续的。标准二阶系统欠阻尼过程性能指标公式汇总：

上升时间:峰值时间:延迟时间:超调量：调节时间:（5%的误差带）（2%的误差带）σ%只与ζ有关，ζ越大，超调量越小系统快速性越好一定时，

nw越大，——式中超调量σ用小数表示。例3.1

系统如图所示，要求超调量σ%=20%，峰值时间tp=1s，试确定参数K及τ，并计算单位阶跃响应的ts及tr。(P113)R(s)C(s)_解：由由由结构图，得：有：另外，调节时间

当

3）调节时间

2过阻尼

1）上升时间2）延迟时间

3临界阻尼

这里T1>T2二阶系统的单位斜坡响应

系统对斜坡输入的响应等于该系统对阶跃输入响应的积分：欠阻尼过程：瞬态分量稳态分量临界阻尼过程：过阻尼过程：3-3-4对于单位反馈系统，误差响应为：

e(t)=r(t)-c(t)当时间t趋于无穷时，误差响应e(t)

的稳态值称为稳态误差。实际中，ζ不宜太小，所以要减小ess，就要有足够大的ωn思考：对于单位阶跃响应，稳态误差？对于单位斜坡响应，其稳态误差为：分子分母同除Td二阶系统性能改善1比例-微分控制（PD控制）R(s)_C(s)其中：Kd=1带有实零点的标准二阶传函微分作用的引入ωn不变（在Kd不变的情况下）ζ→——提高了阻尼比，对σ%↓有利若Kd↑→ωn

↑微分对系统性能的影响较为复杂，要具体分析，指标计算公式见P107,108注意：输入端噪声较强时，不宜使用增加了一个闭环实零点——通常会使σ%上升R(s)C(s)_KdTds3-3-52测速反馈控制R(s)C(s)_Kts_G(s)对照标准二阶的开环传函：测速反馈控制不变→ζ——提高了阻尼比σ%↓形式完全相同课后阅读：P110例3-5——性能比较3PD控制与测速反馈控制比较RC_Kts_PD控制测速反馈控制1）附加阻尼的来源：PD：误差微分测速：输出微分2）使用环境：输入端噪声较大时，应采用测速反馈控制。3）对开环增益K的影响：PD：开环增益K与比例微分中的Kd成正比测速：等效开环增益减小，会使斜坡作用下的ess提高。4）对自然振荡频率的影响：PD：Kd↑→ωn

↑测速：ωn

不变非零初始条件对系统响应有什么影响？思考：——影响初始相角和幅值，但不影响解的振型（运动形态）。RC_TdsKd本节小结：二阶系统分析数学描述标准二阶系统微分方程标准二阶系统传递函数标准二阶系统结构图非标准二阶系统的标准化标准二阶系统的特征方程和特征根单位阶跃响应：欠阻尼、临界阻尼、过阻尼性能分析及计算：欠阻尼（tr,tp,ts,σ%）临界阻尼（ts）过阻尼（ts）单位斜坡响应：——是单位阶跃响应的积分二阶系统性能改善PD控制测速反馈控制3-4高阶系统的时域分析

高阶系统闭环传递函数的一般形式为：其中：-zi

—i=1,2,…,m

闭环实数零点-pj

—j=1,2,…,q

闭环实数极点Ζk和ωnk

—k=1,2,…,r

决定闭环r对共轭复数极点q+2r=n3-4-1高阶系统数学描述描述振荡过渡过程描述非振荡过渡过程1）高阶系统时域响应可以看成一阶、二阶系统的响应的叠加2）特征根实部为正，相应分量的过渡过程为发散的（不稳定的）3）特征根实部为负，相应分量的过渡过程为收敛的（稳定的）4）衰减或发散的速度取决于根的实部的值。

3-4-2动态过程分析当已知高阶系统的各个闭环极点后，可以将其化为部分分式和的形式：设某三阶系统单位阶跃作用下的输出为：结论：实部为负的极点，越靠近虚轴，衰减速度越慢，对过渡过程的影响越大；越远离虚轴，衰减速度越快，对过渡过程的影响越小。s2s3s1s2s3s1闭环极点位置对系统的影响靠近虚轴，且附近没有闭环零点，而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上的闭环极点称为高阶系统的闭环主导极点。其中：对上式进行反L变换：上式考虑了闭环零点及非主导极点对过程的影响，与欠阻尼二阶系统不完全一样。3-4-3闭环主导极点定义：工程上往往要求高阶系统有一对共轭复数的主导极点。应用主导极点的概念，可得高阶系统单位阶跃响应的近似表达式：设这对共轭复数主导极点为：±jωdS=0(通常K0=1);K1和K2可用待定系数法求得注意：§3-5线性系统的稳定性分析

如果在扰动消失后，系统仍能自动恢复到原平衡状态，称系统是稳定的。稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。系统稳定limt→∞暂态分量=03-5-1线性定常系统稳定的充要条件回忆：标准一阶：Tteth--=1)(标准二阶：欠阻尼:临界阻尼:过阻尼:高阶呢？系统稳定的充要条件：系统的全部特征根都具有负实部系统的全部特征根都位于[s]的左半平面当特征根位于虚轴——

临界稳定状态在经典控制理论中，临界稳定也归为不稳定。ReIm[s]稳定区临界稳定不稳定区只要求出系统的全部特征根，便可确定其稳定性。设n阶系统特征方程为：稳定的必要条件：不失一般性3-5-2控制系统稳定的必要条件3-5-3劳斯稳定判据设n阶线性系统的闭环特征方程为：1劳斯表（劳斯阵列）逐行计算下去算法：注意：n阶系统的劳斯表共有n+1行2劳斯稳定判据对于特征方程：我们可以算出其劳斯表劳斯稳定判据的结论是：系统稳定劳斯表的第一列系数全部大于零而且：劳斯表中第一列元素符号改变的次数就等于正实部根的个数。这里：正实部根的个数就是S右半平面根的个数劳斯稳定判据说明了两方面的问题：（1）给出了系统稳定的判断方法（2）给出了不稳定情况下判断右根个数的方法例3-5-1已知系统特征方程：试用劳斯稳定判据判断其稳定性。解：首先我们看到：特征方程中各项系数>0满足稳定的必要条件列劳斯表:17182110?15?10?49/3?10规律?说明：在计算劳斯表的过程中，某行同乘或同除一个正数，结果不变。稳定性?——稳定已知系统特征方程：试用劳斯稳定判据判断其稳定性。解：特征方程中各项系数>0——满足稳定的必要条件列劳斯表：第一列元素符号变化两次，1215-35由“+”到“－”符号变化1次由“－”到“+”符号变化1次例3-5-2有2个特征根在右半平面。系统不稳定24135P119例3-7已知系统特征方程：试用劳斯稳定判据判断其稳定性。解：特征方程中各项系数>0——满足稳定的必要条件列劳斯表：例3-5-31310150？26首先应该肯定的是：此种情形下系统不稳定。若想进而判断导致系统不稳定的根的位置，则应采取特殊方法。情形1：劳斯表中某行第一个元素等于零，而该行不全为零处理方法：以很小的正数ε代替零项，继续计算劳斯表。再令：ε→0，检验劳斯表第一列元素符号的变化，符号变化次数为正实部根的个数——系统不稳定情形2：劳斯表中出现了全为零的行处理方法：1）用全零行的上一行各元素构造辅助多项式；2）对辅助多项式求导，用其系数代替全零行，继续算完劳斯表；3）检验劳斯表第一列元素符号的变化，符号变化次数为正实部根的个数——系统不稳定劳斯表的第一列中出现了零元素，则劳斯表没法算完，怎么办？若想进一步了解导致系统不稳定的根的情况，可以求解辅助方程，辅助方程的根也是系统的特征根。再看例3-5-3已知系统特征方程：试用劳斯稳定判据判断其稳定性。解：特征方程中各项系数>0——满足稳定的必要条件列劳斯表：131015026ε2.5——属情形11515令ε→0：－∞2.5由“+”到“－”符号变化1次由“－”到“+”符号变化1次第一列元素符号变化两次，有2个特征根在右半平面。系统不稳定，例3-5-4已知系统特征方程，试用劳斯稳定判据判断其稳定性。解：特征方程中各项系数>0——满足稳定的必要条件列劳斯表：11241724163683272001494829-109第一列元素符号变化两次，有2个特征根在右半平面。由辅助方程F(s)=0容易得到：即：在右半平面有一对共扼复根已知系统特征方程，试确定不稳定特征根。解：1-2-7-41-3-41-3-4004-6-1.5-4-25/1.5-4例3-5-5即：在右半平面有一正实根，虚轴上，有一对共扼虚根。判断系统稳定性确定给定系统参数范围——给定稳定度问题相对稳定性问题例3-5-6系统如图，其中：ζ=0.2，ωn=86.61）确定满足系统稳定的K1。2)如果要求闭环极点位于s=-1垂线之左，K1=?R(s)C(s)_K1/s1解：1）确定K1闭环传递函数：3-5-4劳斯稳定判据的应用(P122例3-9)闭环特征方程：劳斯表：1750034.67500K1

7500K1

根据系统稳定的充要条件：34.6-K1>0K1>0∴0<K1<34.60劳斯表：17433.831.67500K1-7466.47500K1–7466.4根据稳定充要条件：∴1<K1<32.3[s]-1[s1]即令：s=s1-1，代入闭环特征方程，得：2）如果要求闭环极点位于s=-1垂线之左，K1=?把纵轴平移1.稳定的概念从数学上讲:从实际意义上讲：2.稳定的充要条件:系统的全部特征根都具有负实部系统的全部特征根都位于[s]的左半平面3.稳定的必要条件:4.劳斯判据:(1)计算劳斯表(2)计算过程中，一旦发现第一列元素为零或小于零，即可判断系统不稳定(3)对于第一列元素出现零的情况，如需进一步判断根的位置，可先行处理，在把劳斯表算完后判断。6.两个实用的结论：本节小结:limt→∞暂态分量=0受扰后仍能恢复到原平衡状态。G(s)H(s)_R(s)C(s)1/H(s)E’(s)R’(s)G(s)_R(s)C(s)H(s)E(s)1两种误差的定义定义1：从输入端定义误差：E(s)=R(s)-H(s)C(s)（给定-反馈）定义2：从输出端定义误差：E’(s)=R’(s)-C(s)（希望的输出-实际输出）应指出：E(s)是有实际意义的，而E’(s)只有数学意义。2两种误差的关系对单位反馈系统，有：3-6-1误差定义§3-6线性系统稳态误差计算3误差传递函数及稳态误差计算G(s)_R(s)C(s)H(s)E(s)注意：L变换终值定理应用条件：sE(s)在虚轴和[s]的右半平面解析。即：sE(s)的全部极点都位于[s]的左半平面。瞬态分量稳态误差对于稳定系统，有：显然，利用L变换终值定理只能求出误差终值，无法获得ess(t)(p124例3-10)某单位反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts，输入信号r(t)=1(t)，t，t2/2以及r(t)=sinωt（t>0），求系统稳态误差ess解：1)满足终值定理的应用条件，2)1/Ts_R(s)C(s)E(s)标准一阶系统例3-6-1满足终值定理的应用条件，3)4)不满足终值定理的应用条件，不能求终值。不满足终值定理的应用条件，但用终值定理所得结论也是正确的。设系统开环传递函数为：其中：K为开环增益；Τi和τj为时间常数；为开环传函中包含的积分环节个数（即原点处开环极点的个数）3-6-2系统类型此时，定义：开环传递函数包含积分环节的个数称为系统的型别（类型）

——零型系统；

——Ⅰ型系统；

——Ⅱ型系统

s→0G(s)_R(s)C(s)H(s)E(s)3-6-3典型输入作用下的稳态误差及静态误差系数1阶跃输入Kp定义为静态位置误差系数。结论：0型系统能跟踪阶跃输入但有位置误差;Ⅰ型及以上系统能完全跟踪阶跃输入.考虑到：2.斜坡输入Kv定义为静态速度误差系数。

考虑到：0型系统不能跟踪斜坡输入；Ⅰ型系统能跟踪斜坡输入，但有稳态误差；Ⅱ型及以上系统，能准确跟踪斜坡输入信号，无稳态误差结论：3.加速度输入Ka定义为静态加速度误差系数。

0,Ⅰ型系统不能跟踪加速度输入；Ⅱ型系统能跟踪加速度输入，但有稳态误差；Ⅲ型及以上系统，能准确跟踪加速度输入，无稳态误差；结论：考虑到：表3-1典型输入作用下的稳态误差系统型别(ν)0ⅠⅡ静态误差系数典型输入作用下的稳态误差K∞∞0K∞00K00∞0∞∞①系统型别越高，跟踪信号能力↑但稳定性↓，动态性能↓；②静态误差系数定量描述系统对各种典型输入的跟踪能力，在设计时，在输入形式及容许误差确定后，可根据静态误差系数确定系统型别和开环增益K。注：(p129例3-12)系统如图。计算r(t)=1(t)，t，t2/2时系统稳态误差。R(s)C(s)_50.8s_1s(5s+1)E(s)解：开环传递函数G(s)即本系统为K=1的Ⅰ型系统，其静态误差系数及稳态误差为：例3-6-23-6-5控制系统在扰动作用下的稳态误差R(s)C(s)_++G1(s)G2(s)H(s)N(s)考虑系统结构图为：R(s)=0,系统的理想输出为零,于是，L-1变换其中：为稳态分量，——定义为扰动作用下的稳态误差为暂态分量，对于稳定系统当t→∞时，同样，===可见，控制系统在扰动作用下的稳态误差与在输入作用下的稳态误差相比，除误差传函不同外，计算方法完全相同。可用定义求，可用终值定理求，只要把误差传函换一换即可。需要注意的是，扰动作用下“型”的概念与输入作用下“型”的概念是不同的。不能再在开环传函上看积分环节的个数，而应从扰动作用下的误差传函上来确定扰动作用下“型”，以便判断扰动作用下的误差是0？是常数？还是∞？若为常数，其具体数值要用终值定理确定。例3-6-4R(s)C(s)_++K110

(0.1s+1)(0.2s+1)(0.5s+1)N(s)n(t)=1(t)，试问是否可以选择合适的K1值，使系统在扰动作用下的稳态误差值为enss=-0.1。解：

欲使：例3-6-4（补）?此时特征方程：10000不稳定欲使系统稳定，此时，即：不能选择合适的K1值，使enss=-0.1。例3-6-5(P147例3-13）K1R(s)N(s)C(s)－＋r(t)=R0·1(t)n(t)=n0·1(t)求两个信号同时作用下，系统的总误差。解：1）r(t)作用：2)n(t)作用：s→03)总误差为：（1）增大增益（2）提高“型”3-3-6减少或消除稳态误差的措施需注意：这两种措施都容易导致系统不稳定，要小心。（3）采用串级控制抑制内回路扰动

R(s)C(s)_++Gc2(s)G2(s)H2(s)N(s)G1(s)Gc1(s)H1(s)_（4）采用复合控制（P259,261）

R(s)C(s)_+Gr(s)G

(s)E(s)R(s)C(s)_+G1(s)Gn(s)H(s)N(s)G2(s)+按扰动补偿（只要Gn=－1/G1）按输入补偿（只要Gr=1/G）本节小结（1）1基本概念：E(s)=R(s)-H(s)C(s)1）误差：2）稳态误差（终值）3)“型”的确定：输入作用下的型与扰动作用下的型是不同的。各自如何确定？4）开环增益：s→05）静态误差系数：叫做？——静态速度误差系数——静态位置误差系数——静态加速度误差系数本节小结（2）2稳态误差的计算：1）用终值定理计算2）用型和开环增益的概念快速计算ess——表3-1======仅限于r(t)或n(t)为1(t)、t、t2……或其线性组合的形式。

特别注意当外作用信号为sinωt时不能应用终值定理。——最基本的计算方法特点：方便、实用1948年，伊文思(w．R．Evans)，提出了根轨迹法——第四章线性系统的根轨迹法本章主要内容包括：基本概念根轨迹图的绘制根轨迹图分析180°根轨迹的绘制0°根轨迹的绘制参量根轨迹的绘制这是一种由开环传递函数间接判断闭环特征根的概略图解法，从而避免了直接求解系统闭环特征根的困难。从第三章的学习我们知道：系统的动态特性和稳定性主要取决于系统闭环特征方程的根的分布。但是，求解高阶系统的特征根非常困难。问题的引入：§4-1根轨迹法的基本概念例4.1已知某单位反馈系统的开环传递函数为：试分析K*从0→∞时特征根的变化情况。解：此系统的特征方程式可写为：解得：时，分析：时，=ReIm-1-2××××s1与s2为两个不相等的实根；图中箭头所指为K*增大的方向。根轨迹图一、根轨迹的定义1.稳定性：当参数变化时，若根轨迹是否进入S平面的右半平面？参数为何值时进入？当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。2.稳态性能：回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统的稳态误差要求,确定闭环极点位置的容许范围。3.动态性能：回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点

从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地确定动态性能随着参数的变化情况。定义：当开环系统的某一参数从零到无穷变化时，闭环特征根在s平面上形成的轨迹，叫做根轨迹。二、根轨迹与系统性能常规根轨迹——增益(K*)变化所对应的轨迹广义根轨迹——其它参数变化所对应的轨迹对于右图，特征方程为：设开环传函为标准形式，即：则特征方程为：——根轨迹方程之一注意应用条件负反馈系统开环传函为标准形式思考：若正反馈?——根轨迹方程之二注意应用条件正反馈系统开环传函为标准形式则特征方程为：三、根轨迹方程由根轨迹方程一可推知：模值条件相角条件同理，由根轨迹方程二可推知：模值条件相角条件180°根轨迹0°根轨迹四、绘制根轨迹的两个基本条件对照比较这两组方程，可以发现：模值条件相同，但相角条件不同。1.

判断根轨迹是0°根轨迹还是180°根轨迹，不能仅看反馈极性，还要看G(s)H(s)是否为标准形式。当G(s)H(s)不是标准形式时，应先整理特征方程。相角条件是绘制根轨迹的充要条件，模值条件通常用于求给定点对应的增益。说明：作业（补充题）：已知某负反馈系统的开环传递函数为：试用相角条件绘出K*从0→∞变化时的根轨迹。2.根轨迹的连续性和对称性§4.2180°根轨迹图的绘制适用条件：且从变化。特征方程可整理为根轨迹的分支数整理特征方程可得：+=0分支数——即根轨迹的条数，取决于特征方程的阶次，即特征根的个数。规则1:根轨迹的分支数=Max(n,m),通常情况下为开环极点个数n规则2:根轨迹的每一条分支都是连续的；根轨迹对称于实轴。另一方面，特征根的值或为实数，或为共轭复数——根轨迹对称于实轴首先，当参量K*有一微小的增量时，其特征根也会有一个微小的增量；——根轨迹是连续的起点：时,特征根终点：特征根时,整理特征方程可得：根轨迹起始于开环极点

根轨迹终止于开环零点

分两种情况分析：当n>m时,终点数目不够，其余终点位于s∞处。当m>n时,起点数目不够，其余起点位于s∞处。规则3:根轨迹起始于n个开环极点，终止于m个开环零点，当时,用补充，即:当n>m时,另n-m条根轨迹终止于∞处当m>n时,另m-n条根轨迹起始于∞处3.根轨迹的起点和终点渐近线给定了趋于（或始于）无穷远处的根轨迹的方向。规则4：

当n>m时，有n-m条根轨迹趋于无穷远处,即有n-m条渐近线,它们交实轴于,与实轴正方向之夹角为。且:其中：观察：当n-m=1时，当n-m

=2时，当n-m

=3时，当n-m

=4时，思考：n-m为不同数值时，渐近线与复平面有什么关系？规律是：渐近线把复平面等分为n-m份。思考：当n<m

时，又如何呢？只要把n-m换成m-n就可以了。4.根轨迹的渐近线

已知某负反馈系统的开环传递函数为:概略绘制K*从0→∞变化时的根轨迹。解：首先判断其属于1800根轨迹。①与标准形式比较，得:m=0n=3:p1=0,p2=-1,p3=-2把开环零点和开环极点标在s平面上，零点用“o”;极点用“×”。ReIm×××0-1-2②求渐近线：显然，n-m=3下面的问题是：从三个开环极点出发的根轨迹如何趋向于三条渐近线？我们来看下面的规则。︱︱︱––––-312-1-2例4.2回忆相角条件：设：s1是实轴上的一点，显然，若s1满足相角条件，则该点是根轨迹上的点。分两种情况进行分析：⑴我们以为例，⑵s1+=00结论：当s1是实轴上的点时，只有其右边的开环实极点和开环实零点对应的角度为1800，其余全为零。5.实轴上的根轨迹设系统有m1个开环零点、n1个开环极点在s1的右边，=m11800=n11800代入相角条件，得：—=m11800_n11800即：如果s1是根轨迹上的点，则：m1_n1应为奇数m1+

n1应为奇数归纳总结，得：规则5：实轴上的开环零、极点把实轴分为若干个区段，若某段右边的开环零、极点数目之和为奇数，则该段就是根轨迹；否则不是。××××××××××××××○ReIm×××-1-20︱︱︱––––-312-1-2③实轴上的根轨迹：

已知某负反馈系统的开环传递函数为:概略绘制K*从0→∞变化时的根