自动控制基础-第三章课件

第三章控制系统的时域分析法（一）一阶系统的时间响应及动态性能

（二）二阶系统的时间响应及动态性能

（三）线性系统的稳定性分析（劳斯判据）（四）线性系统的稳态误差分析

主要问题：一、时域分析法概述建立系统的数学模型后，便可对系统进行分析和设计。分析和设计是自动控制原理课程的两大任务。（a）系统分析是由已知的系统模型确定系统的性能指标。（b）设计是根据需要在系统中加入一些机构和装置并确定相应的参数，用以改善系统性能，使其满足所要求的性能指标。系统分析的目的在于“认识”系统，系统设计的目的在于“改造”系统。系统的分析设计方法一般有时域法、根轨迹法和频域法。（1）时域法常用的典型输入信号主要包括单位脉冲函数，单位阶跃函数，单位速度（斜坡）函数，单位加速度函数。（2）时域性能指标：稳、准、快延迟时间：阶跃响应第一次达到终值的50％所需的时间。上升时间：阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间。峰值时间：阶跃响应越过终值达到第一个峰值所需的时间。调节时间：阶跃响应到达并保持在终值误差带内所需的最短时间。有时也用终值的2％误差带来定义调节时间。超调量:峰值超出终值的百分比，即

在上述动态性能指标中，工程上最常用的是调节时间（描述快”），超调量（描述“匀”）以及峰值时间二、一阶系统的时间响应及动态性能

（1）一阶系统传递函数标准形式及单位阶跃响应

其中T=1/K称为一阶系统的时间常数。

系统单位阶跃响应的拉氏变换为:一阶系统的单位阶跃响应如右图所示，响应是单调的指数上升曲线。依调节时间的定义有：时间常数是一阶系统的重要特征参数。时间常数越小，系统极点越远离虚轴，过渡过程越快。（2）一阶系统动态性能指标计算

r(t)R(s)C(s)=F(s)R(s)c(t)一阶系统典型响应d(t)11(t)

t（3）一阶系统的典型响应例：原系统传递函数为现采用如图3-5所示的负反馈方式，欲将反馈系统的调节时间减小为原来的0.1倍,并且保证原放大倍数不变，试确定参数和的取值。

其中，，和分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。三、二阶系统的时间响应及动态性能

（1）二阶系统传递函数标准形式及分类标准形式：

、二阶系统的分类：注意：二阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应与闭环极点分布关系数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征根决定，代表自由响应运动。如果微分方程的特征根是,且无重根，则把函数，称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。如果特征根中有多重根，则模态是具有，形式的函数。如果特征根中有共轭复根，则其共轭复模态与可写成实函数模态与。每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。，

√ξ2-1S1,2=-ξωn±ωnS1,2=-ξωn-ωn=S1,2=±jωn0＜ξ＜1ξ＝1ξ＝0ξ＞1j0j0j0j0-±j√1-ξ2ωnS1,2=ωnξh(t)=1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)=1-(1+ωnt)e-ω

tnh(t)=1-cosωntj0j0j0j0T11T21ξ＞1ξ＝10＜ξ＜1ξ＝0sin(ωdt+β)e-ξωth(t)=√1-ξ211n过阻尼临界阻尼欠阻尼零阻尼二阶系统单位阶跃响应(2)二阶过阻尼系统的时间响应及动态性能

（临界阻尼，过阻尼）时系统动态性能指标的计算(3)二阶欠阻尼系统的时间响应及动态性能二阶欠阻尼系统极点的两种表示方法：(a)直角坐标表示：

(b)极坐标表示：

二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应：

对上式做拉氏反变换：

二阶欠阻尼系统动态性能指标计算:

（a）峰值时间

即有

根据峰值时间定义可得

（b）超调量

将峰值时间代入c(t)，整理后可得（c）调节时间

按阶跃响应的包络线进入5％误差带的时间计算调节时间。令可得：

可见，典型欠阻尼二阶系统超调量只取决于阻尼比，而调节时间则与阻尼比和自然频率均有关。典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数及极点分布之间的关系当固定，增加（减小）时，系统极点在平面按下图中圆弧轨迹（I）移动，对应系统超调量减小；同时由于极点远离虚轴，增加，调节时间减小。当固定，增加时，系统极点在平面按下图中的射线轨迹（II）移动，对应系统超调量不变；由于极点远离虚轴，增加，调节时间减小。一般实际系统中，时间常数T是系统的固定参数，不能随意改变，而开环增益K是各环节总的传递系数，可以调节。K增大时，系统极点在平面下图中的垂直线（III）移动，阻尼变小，超调量会增加。例：二阶系统的结构图及单位阶跃响应分别如下图(a),(b)所示。试确定系统参数的值。

例：控制系统结构图如下图所示，求解：（1）开环增益K=10时，求系统的动态性能指标；（2）确定使系统阻尼比为0.707的K值。改善二阶系统动态性能的措施

:

实际应用中常采用测速反馈和比例＋微分控制方式改善二阶系统的动态性能。例：在如下图所示系统中分别采用测速反馈和比例+微分控制，其中。分别写出它们各自的开环传递函数、闭环传递函数，计算出动态性能指标，并进行对比分析。系统结构图图(a)图(b)图(c)开环传递函数闭环传递函数系统参数0.1580.50.53.163.163.16开环零点—-4.63-4.63极点0，－10，－10，－1闭环零点——-4.63极点-0.5±j3.12-1.58±j2.74-1.58±j2.74动态性能1.011.151.0560％16.3％23％72.22.1

图(b)系统引入速度反馈，相当于增加了系统的阻尼，使系统的振荡性得到抑制，超调量减小；图(c)系统采用了比例加微分控制，微分信号有超前性，相当于系统的调节作用提前，阻止了系统的过调。相对于原系统而言，两种方法均可以改善系统的动态性能。比较图(a)和(b)两系统的开环传递函数可以看出，后者比前者多一个开环零点，因而影响了系统的闭环特征多项式，改变了闭环极点的位置（改变模态）。比较图(b)，(c)两系统有相同的开环传递函数，只是闭环传递函数中后者较前者多一个闭环零点。附加闭环零点不会影响闭环极点，因而不会影响单位阶跃响应中的各模态。但它会改变单位阶跃响应中各模态的加权系数，由此影响系统的动态性能。

四、高阶系统的阶跃响应及性能估算（1）高阶系统单位阶跃响应高阶系统传递函数一般可以表示为：其中：。由于均为实系数多项式，故闭环零点、极点只能是实根或共轭复数。设系统闭环极点均为单极点，系统单位阶跃响应的拉氏变换可表示为：对上式进行拉氏反变换可得

可见，除常数项外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组合，组合系数即部分分式系数。模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点分布有关，所以，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。当所有闭环极点均具有负的实部，即所有闭环极点均位于左半s平面时，随时间的增加所有模态均趋于零（对应瞬态分量），系统的单位阶跃响应最终稳定在。很明显，闭环极点负实部的绝对值越大，相应模态趋于零的速度越快。在系统存在重根的情况下，以上结论仍然成立。（2）闭环主导极点

对稳定的闭环系统，远离虚轴的极点对应的模态只影响阶跃响应的起始段，而距虚轴近的极点对应的模态衰减缓慢，系统动态性能主要取决于这些极点对应的响应分量。此外，各瞬态分量的具体值还与其系数大小有关。根据部分分式理论，各瞬态分量的系数与零、极点的分布有如下关系：①若某极点远离原点，则相应项的系数很小；②若某极点接近一零点，而又远离其他极点和零点，则相应项的系数也很小；③若某极点远离零点又接近原点或其他极点，则相应项系数就比较大。系数大而且衰减慢的分量在瞬态响应中起主要作用。因此，距离虚轴最近而且附近又没有零点的极点对系统的动态性能起主导作用，称相应极点为主导极点。（1）稳定性的概念

稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。四、线性系统的稳定性分析

根据系统稳定的定义，若,则系统是稳定的。（2）稳定的充要条件系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部，或所有闭环特征根均位于左半s平面。闭环系统特征方程：（1）必要条件：（2）劳斯（Routh）判据：劳斯表满足必要条件的一、二阶系统一定稳定，满足必要条件的高阶系统未必稳定，因此高阶系统的稳定性还需要用劳斯判据来判断。判据：劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数例：四阶系统特征方程：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0，判断稳定性。解:建立劳斯表s4s3s2s1s01710521010

劳斯表第一列元素变号2次，有2个正根，系统不稳定。

例：系统结构如图所示，(1)确定使系统稳定的参数(K,ξ)的范围;(2)当ξ=2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。解：当

x=2

时，进行平移变换：五、线性系统的稳态误差分析

对稳定的系统研究稳态误差才有意义，所以计算稳态误差应以系统稳定为前提。通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统；而把有原理性稳态误差的系统称为有差系统。（1）误差与稳态误差按输入端定义的误差，即把偏差定义为误差。

按输出端定义的误差:

计算稳态误差的一般方法（1）判定系统的稳定性

（2）求误差传递函数（3）用终值定理求稳态误差

例：系统结构图如图所示，已知r(t)=n(t)=t，求系统的稳态误差。例：系统结构图如图所示，求r(t)分别为A·1(t),At,At2/2时系统的稳态误差。解．综上可知，影响系统稳态误差的因素主要包括：系统自身的结构参数，外作用的类型（控制量，扰动量及作用点），外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等）(1)时域分析法是根据系统传递函数直接分析系统稳定性、动态和稳态性能的一种方法。(2)稳定是自动控制系统能否正常工作的首要条件。系统的稳定性取决于系统自身的结构和参数，与外作用的大小和形式无关。线性系统稳定的充要条件是其特征方程的根均位于左半s平面(即系统的特征根全部具有负实部)。(3