空间向量的运算及应用

空间向量的运算及应用一、基础知识1．空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一个平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的共面向量定理有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理及定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存推论在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序―→―→―→―→实数x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝12．数量积及坐标运算(1)两个空间向量的数量积：① a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝ x2＋y2＋z2.(2)空间向量的坐标运算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b?a＝λb，a＝λb，a＝λb112233(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a1b1＋a2b2＋a3b3夹角公式cos〈a，b〉＝b12＋b22＋b32a12＋a22＋a323．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量 a的有向线段所在直线与直线 l平行或或共线，则称此向量 a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线 l⊥α，取直线 l的方向向量 a，则向量 a叫做平面 α的法向量．4．空间位置关系的向量表示位置关系 向量表示l1∥l2直线l1，l2的方向向量分别为 n1，n2l1⊥l2l∥α直线l的方向向量为 n，平面α的法向量为 ml⊥αα∥β平面α，β的法向量分别为 n，mα⊥β

n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)n1⊥n2?n1·n2＝0n⊥m?n·m＝0n∥m?n＝km(k∈R)n∥m?n＝km(k∈R)n⊥m?n·m＝01．空间向量基本定理的 3点注意(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．(2)由于0与任意一个非零向量共线， 与任意两个非零向量共面， 故0不能作为基向量．(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．2．有关向量的数量积的 2点提醒(1)若a，b，c(b≠0)为实数，则 ab＝bc?a＝c；但对于向量就不正确，即 a·b＝b·c ac.数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)c不一定等于 a(b·c)．这是由于(a·b)c表示一个与 c共线的向量，而 a(b·c)表示一个与a共线的向量，而 c与a不一定共线．3．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一二、常用结论1．证明空间任意三点共线的方法对空间三点 P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：―→―→(λ∈R);(1)PA＝λPB(2)对空间任一点―→―→―→(t∈R)；O，OP＝OA＋tAB(3)对空间任一点―→―→―→(x＋y＝1)．O，OP＝xOA＋yOB2．证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)―→―→―→；MP＝xMA＋yMB(2)对空间任一点―→―→―→―→；O，OP＝OM＋xMA＋yMB(3)―→―→―→―→―→―→)．PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM3．确定平面的法向量的方法(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量．(2)待定系数法：取平面内的两条相交向量 a，b，设平面的法向量为 n＝(x，y，z)，由n·a＝0，解方程组求得．n·b＝0，考点一空间向量的线性运算[1.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若―→―→1＝c，则下列向量中与―→)AB＝a，AD＝b，AABM相等的是(1111A．－2a＋2b＋cB.2a＋2b＋c1111C．－2a－2b＋cD.2a－2b＋c―→―→―→1―→―→1(b－a)＝－11解析：选ABM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋2a＋b＋c.2222.如图所示，在平行六面体―→―→―→＝c，M，N，ABCD-A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：―→(1) AP；(2)―→A1N；―→―→(3)MP＋NC1.解：(1)∵P是C1D1的中点，―→―→―→―→―→1―→＋1―→1∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1＝a＋c2AB＝a＋b＋c.22(2)∵N是BC的中点，―→―→―→―→1―→∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋2BC―→＝－a＋b＋1AD＝－a＋b＋1c.22(3)∵M是AA1的中点，―→―→―→＝1―→―→＝－1111∴MP＝MA＋AP2A1A＋APa＋a＋b＋c＝a＋b＋c，2222―→―→―→1―→―→＝1―→―→1又NC1＝NC＋CC1＝2BC＋AA12AD＋AA1＝a＋c，2―→―→111313∴MP＋NC1＝2a＋2b＋c＋a＋2c＝2a＋2b＋2c.考点二共线、共面向量定理的应用1．若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则m＋n＝________.―→―→解析：∵AB＝(3，－1,1)，AC＝(m＋1，n－2，－2)，―→ ―→且A，B，C三点共线，∴存在实数 λ，使得AC＝λAB.即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，m＋1＝3λ，∴n－2＝－λ， 解得λ＝－2，m＝－7，n＝4.2＝λ，m＋n＝－3.答案：－3―→ 1―→2．已知A，B，C三点不共线，对平面 ABC外的任一点 O，若点M满足OM＝3(OA＋―→ ―→OB＋OC)．―→ ―→ ―→(1)判断MA，MB， MC三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面 ABC内．―→ ―→ ―→ ―→解：(1)由已知OA＋OB＋OC＝3OM，―→―→―→―→―→―→所以OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，―→―→―→―→―→即MA＝BM＋CM＝－MB－MC，―→―→―→所以MA，MB，MC共面．―→―→―→(2)由(1)知MA，MB，MC共面且过同一点M.所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．3.如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足―→―→―→―→―→AM＝kAC1，BN＝kBC(0≤k≤1)．判断向量MN是否与向量―→―→AB，AA1共面．―→―→―→―→解：∵AM＝kAC1，BN＝kBC，―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→∴MN＝MA＋AB＋BN＝kC1A＋AB＋kBC＝k(C1A＋BC)＋AB＝k(C1A＋B1C1)＋―→―→―→―→―→―→―→―→―→AB＝kB1A―→＋AB＝AB－kAB1＝AB－k(AA1＋AB)＝(1－k)AB－kAA1，∴由共面向量定理知向量―→―→―→共面．MN与向量AB，AA1考点三空间向量数量积及应用[典例精析]如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)―→―→；―→―→EF·BA(2)EG·BD.[解]―→―→―→设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.―→＝1―→＝11―→＝－a，(1)因为EF2BD2(AD－AB)＝c－a，BA2―→―→111211所以EF·BA＝2c－2a·(－a)＝2a－2a·c＝4.―→―→―→―→―→―→(2)EG·BD＝(EA＋AG)·(AD－AB)＝－1―→1―→＋1―→―→―→2AB＋AC2AD·(AD－AB)2＝－1a＋1b＋1c·(c－a)222＝－1＋1＋1－1＋1－1＝1.4244242[题组训练]如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线 AC1与A1D所成角的余弦值；(3)求证：AA1⊥BD.―→―→―→＝c，解：(1)设AB＝a，AD＝b，AA1则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.―→―→―→―→―→―→＝a＋b＋c，∵AC1＝AC＋CC1＝AB＋AD＋AA1―→a＋b＋c2∴|AC1|＝|a＋b＋c|＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋b·c＋c·a12＋12＋22＋2×0－1－1＝2.∴线段AC1的长为 2.(2)设异面直线 AC1与A1D所成的角为 θ，―→―→―→ ―→ |AC1·A1D|则cosθ＝|cos〈AC1，A1D〉|＝―→―→.|AC1||A1D|―→―→＝b－c，∵AC1＝a＋b＋c，A1D―→―→∴AC1·A1D＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，―→b－c2＝|b|2－2b·c＋|c|2|A1D|＝12－2×－1＋22＝7.―→―→|－2|＝14∴cosθ＝|AC1·A1D|＝―→―→2×77.|AC1||A1D|14故异面直线 AC1与A1D所成角的余弦值为―→ ―→(3)证明：∵AA1＝c，BD＝b－a，

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.―→―→―→―→，即AA1⊥BD.∴AA1·BD＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，∴AA1⊥BD考点四 利用向量证明平行与垂直问题[典例精析]如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.[证明] 以D为坐标原点，射线 DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.设DC＝a.(1)连接AC交BD于点G，连接EG.a a依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E0，2，2.因为底面ABCD是正方形，所以G为AC的中点aa故点G的坐标为2，2，0，―→―→a，0，－a，所以PA＝(a,0，－a)，EG＝22―→―→则PA＝2EG，故PA∥EG.而EG?平面EDB，PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.―→＝(a，a，－a)．(2)依题意得B(a，a,0)，所以PB―→aa又DE＝0，2，2，―→―→22＝0＋a－a＝0，所以PB⊥DE，故PB·DE22所以PB⊥DE.由题可知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.[解题技法]利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．(2)建立空间图形与空间向量之间的关系， 用空间向量表示出问题中所涉及的点、 直线、平面的要素．(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量， 再研究平行、垂直关系．(4)根据运算结果解释相关问题．[提醒] 运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．[题组训练]如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且 AM＝3.试证明平面 AMC⊥平面BMC.证明：(1)以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．―→＝―→于是AP(0,3,4)，BC＝(－8，0,0)，―→―→(·－8,0,0)＝0，所以AP·BC＝(0,3,4)―→―→，即AP⊥BC.所以AP⊥BC(2)由(1)知AP＝5，又AM＝3，且点M在线段AP上，―→3―→9，12―→所以AM＝5AP＝0，55，又BA＝(－4，－5,0)，―→―→―→－4，－1612所以BM＝BA＋AM＝5，5，―→―→＝(0,3,4)－4，－16，12＝0，则AP·BM·55―→―→，即AP⊥BM，所以AP⊥BM又根据(1)的结论知 AP⊥BC，且BC∩BM＝B，所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.又AM?平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC.[课时跟踪检测 ]A级1．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝( )A．9C．－3

B．－9D．3解析：选

B

由题意知

c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴2x－y＝7，x＋2y＝6，－3x＋3y＝λ，

解得λ＝－9.2．若平面 α，β的法向量分别为

n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(

)A．α∥β B.α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确解析：选C ∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，∴n1与

n2不垂直，又n1，n2不共线，∴α与β相交但不垂直．―→―→―→―→―→―→＝()3．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BCA．－1B.0C．1D．不确定解析：选B如图，令―→―→―→AB＝a，AC＝b，AD＝c，―→―→ ―→―→ ―→―→则AB·CD＋AC·DB＋AD·BCa·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a0.4.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量―→―→―→―→―→―→―→―→OA，OB，OC表示向量OA，设OA＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别是()111111A．x＝3，y＝3，z＝3B.x＝3，y＝3，z＝61，y＝1，z＝1D．x＝1，y＝1，z＝1C．x＝363633解析：选D―→―→―→＝c，∵点G分MN―→―→，设OA＝a，OB＝b，OC所成的比为2，∴MG＝2MN3―→―→―→―→2―→―→12111111111∴OA＝OM＋MG＝OM＋3(ON－OM)＝2a＋32b＋2c－2a＝2a＋3b＋3c－3a＝6a＋3b＋1c，即x＝1，y＝1，z＝1.36335.如图，在大小为 45°的二面角 A-EF-D中，四边形 ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.3B.2C．1D.3－2―→―→―→―→―→2―→2―→2―→2―→―→＋解析：选D∵BD＝BF＋FE＋ED，∴|BD|＝|BF|＋|FE|＋|ED|＋2BF·FE―→―→―→―→2＝3－―→2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－2，∴|BD|＝3－2.―→，6.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．用AB―→―→―→―→AD，AA1表示OC1，则OC1＝________________.―→＝1―→＝1―→―→―→―→―→1―→＋解析：∵OC2AC2(AB＋AD)，∴OC1＝OC＋CC1＝(AB2―→ ―→ 1―→ 1―→ ―→AD)＋AA1＝2AB＋2AD＋AA1.1―→ 1―→ ―→答案：2AB＋2AD＋AA17.已知PA垂直于正方形 ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，MN＝________.解析：连接PD(图略)，∵M，N分别为CD，PC的中点，∴MN＝12PD，又P(0,0,1)，D(0,1,0)，PD＝02＋－12＋12＝2，∴MN＝22.2答案：28．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，―→C1N＝―→，则λ的值为________．λNC，且AB1⊥MN解析：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以M为坐标原点，―→―→―→x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角MC，MA，MP的方向分别为坐标系．因为底面边长为1，侧棱长为2，31所以A0，2，0，B1－2，0，2，C1，0，0，C11，0，2，221M(0,0,0)，设N2，0，t，―→―→，所以N12，因为C1N＝λNC，0，21＋λ―→＝－1，－3，2―→＝1，0，2所以AB1，MN1＋λ.222―→―→又因为AB1⊥MN，所以AB1·MN＝0.所以－1＋ 4 ＝0，所以λ＝15.1＋λ答案：159．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．―→―→―→―→解：∵∠ACD＝90°，∴AC·CD＝0.同理AC·BA＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈―→―→〉＝60°或120°.BA，CD―→―→―→―→―→2―→2―→2―→2―→―→―→―→又∵BD＝BA＋AC＋CD，∴|BD|＝|BA|＋|AC|＋|CD|＋2BA·AC＋2BA·CD―→―→―→―→〉．＋2AC·CD＝3＋2×1×1×cos〈BA，CD―→―→―→2＝4；当〈BA，CD〉＝60°时，BD―→―→―→2＝2.当〈BA，CD〉＝120°时，BD―→2，即B，D间的距离为2或∴|BD|＝2或10.如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，底面

2.ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．―→ ―→ ―→ ―→(1)试用向量 AB，AD，AA1表示AG；(2)用向量方法证明平面 EFG∥平面AB1C.―→ ―→ ―→解：(1)设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，―→―→―→―→＝c＋b＋1―→＝1a＋b＋c＝1―→―→―→DG2DC22AB.1故AG＝AB＋AD＋AA1.2―→―→―→(2)证明：AC＝AB＋BC＝a＋b，―→―→―→111―→，EG＝ED1＋D1G＝2b＋a＝2AC2EG与AC无公共点，∴EG∥AC，EG?平面AB1C，AC?平面AB1C，∴EG∥平面AB1C.―→―→―→＋c，又∵AB1＝AB＋BB1＝a―→―→―→1a＝―→，FG＝FD1＋D1G＝1c＋1AB1222∵FG与AB1无公共点，FG∥AB1，FG?平面AB1C，AB1?平面AB1C，∴FG∥平面AB1C.又∵FG∩EG＝G，FG?平面EFG，EG?平面EFG，∴平面EFG∥平面AB1C.B级1．已知空间任意一点O和不共线的三点―→―→―→―→(x，y，A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOCz∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的()A．必要不充分条件B.充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B―→―→―→―→―→―→＝当x＝2，y＝－3，z＝2时，即OP＝2OA－3OB＋2OC.则AP－AO―→―→―→―→―→―→―→―→，根据共面向量定理知，P，A，2OA－3(AB－AO)＋2(AC－AO)，即AP＝－3AB＋2ACB，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设―→―→＋AP＝mAB―→―→―→―→―→―→―→―→―→＋nAC(m，n∈R)，即OP－OA＝m(OB－OA)＋n(OC－OA)，即OP＝(1－m－n)OA―→―→，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3,2.故“x＝2，y＝－3，mOB＋nOCz＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．2．空间四点A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置关系为()A．共线B.共面C．不共面D．无法确定解析：选C―→―→―→AB＝(2,0，－4)，AC＝(－2，－3，－5)，AD＝(0，－3，－4)，由不存―→―→，在实数λ，使AB＝λAC成立知，A，B，C不共线，故A，B，C，D不共线；假设A，B，C―→―→―→0＝2x－2y，D共面，则可设(x，y为实数)，即－3＝－3y，由于该方程组无AD＝xAB＋yAC－4＝－4x－5y，解，故A，B，C，D不共面，故选C.―→―→3．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是________．―→―→―→解析：由题意，设OQ＝λOP，则OQ＝(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，则QA＝(1－λ，―→＝(2－λ，1－λ，2－―→―→2－λ，3－2λ)，QB2λ)，∴QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(324224448－2λ)(2－2λ)＝6λ－16λ＋10＝6λ－3－3，当λ＝3，，3.时取最小值，此时Q点坐标是33448答案：3，3，34．已知四面体―→―→―→P-ABC中，∠PAB＝∠BAC＝∠PAC＝60°，|AB|＝1，|AC|＝2，|AP|―→―→―→＝3，则|AB＋AP＋AC|＝________.―→―→―→解析：∵在四面体P-ABC中，∠PAB＝∠BAC＝∠PAC＝60°，|AB|＝1，|AC|＝2，|AP―→―→1×2×cos60°＝―→―→―→―→|＝3，∴AB·AC＝1，AC·AP＝2×3×cos60°＝3，AB·AP＝1×3×cos60°3―→―→―→―→―→―→2＝，∴|AB＋AP＋AC|＝|AB＋AP＋AC|21＋9＋