结构动力学ch2-1课件

第二章

单自由度体系的振动

Single-Degree-of-FreedomSystems2主要内容§2.1运动方程的建立§2.2无阻尼自由振动§2.3有阻尼自由振动§2.4对简谐荷载的响应§2.5对周期荷载的响应§2.6对冲击荷载的响应§2.7对一般动力荷载的响应§2.8阻尼理论与阻尼比的量测3第二章单自由度体系的振动单自由度体系动力分析的重要性：②具有实际应用价值，或进行初步的估算。很多实际动力问题可按单自由度体系计算。③多自由度体系动力分析的基础。①单自由度体系包括振动分析中涉及到的所有物理量和基本概念。§2.1运动方程的建立1、水平振动

作用在质量块上有三个真实力、一个虚拟的力：荷载、弹簧弹性力和阻尼力;惯性力根据力的平衡条件得:左边的三个力都是位移y(t)或y(t)对时间t导数的函数，正向与位移y(t)的负方向相对应，与外荷载p(t)的方向相反。坐标y的坐标原点取在弹簧自然放松的位置。5§2.1运动方程的建立单自由度体系的运动方程弹性力等于弹簧刚度k与位移y(t)的乘积：惯性力是质量与加速度的乘积：阻尼为粘滞阻尼，则阻尼力是阻尼系数与速度的乘积:62、竖向振动

质量块沿垂直方向上下振动，建立振动微分方程，考虑重力的影响。§2.1运动方程的建立7根据平衡条件，体系的振动方程：§2.1运动方程的建立

是由重力W产生的静力位移，是不随时间变化的，即：

是动力位移，由静力平衡位置开始计算。

质量块m的总位移分解为两部分：8弹簧力部分可写成：§2.1运动方程的建立

相对于静力平衡位置所写出的振动方程不受重力影响，即重力对动力位移无影响。

振动方程：1、位移以静力平衡位置作为基准的，而这样确定的位移即为动力响应。2、在求总挠度和总应力时，要把动力分析的结果与静力分析结果相加。93、支座运动(激励）的影响

结构的动位移和动应力既可以由动荷载引起，也可以由结构支座的运动而产生。

§2.1运动方程的建立1）由地震引起建筑物基础的运动；2）由建筑物的振动而引起安置在建筑物内的设备基底的运动等等。10

1、地震动问题的简化模型§2.1运动方程的建立

假定：

（1）刚架内水平横梁是刚性的，且包含了结构所有的运动质量，（2）柱假定无重量且在轴向不能变形，抵抗刚架侧向位移的恢复力由两根柱的侧向刚度来提供。地震导致的地面水平运动用相对于固定参考轴的结构基底位移表示。11§2.1运动方程的建立一个自由度即可描述刚架的运动情况。刚架体系的平衡方程可写为：表示质量相对于参考轴的总位移，即：弹性力和阻尼力与前相同，而惯性力则由下式计算：12

运动方程：或：

§2.1运动方程的建立

：等效荷载，即在地面加速度影响下，结构的响应就和在外荷载作用下的响应一样，只是外荷载等于质量和地面加速度的乘积。

负号表示等效力的方向和地面加速度方向相反。13§2.2无阻尼自由振动

自由振动(freevibration)

：无外界干扰的体系振动形态称为自由振动（freevibration）。振动是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。无阻尼自由振动：如果阻尼系数等于零，则这种自由振动称为无阻尼自由振动（undampedfreevibration）。假设由于外界干扰，质点离开平衡位置，干扰消失后，质点将围绕静力平衡点作自由振动。14..1）自由振动微分方程的建立(依据原理：达朗伯原理)mky(t)y(t)a、刚度法(stiffnessmethod)kmymky从力系平衡建立的自由振动微分方程：....(D’Alember’sprinciple)§2.2无阻尼自由振动1、运动方程建立及其解的形式15§2.2无阻尼自由振动令齐次微分方程，其通解为：系数C1和C2可由初始条件（initialcondition）确定。设在初始时刻t=0时，有初始位移y0和初始速度v0，即：

求得：16比较两式得：§2.2无阻尼自由振动简谐振动的标准形式a：振幅，：初相位角。Amplitudeofvibrationinitialphaseangle（a）没有初始速度，仅由初始位移引起的振动按的规律变化；（b）没有初始位移，仅由初始速度引起的振动按的规律变化：（c）既有初始位移，又有初始速度引起的振动形态按方程进行。17y(t)ty0－y0y(t)tv0/ω－v0/ωTta－aTα/ω§2.2无阻尼自由振动18§2.2无阻尼自由振动当时间t

增加一个时，上式保持不变，即：

2、结构的自振周期T:自由振动的周期，单位为秒（s）。:频率，表示单位时间内的振动次数，单位为1/秒（1/s），或称为赫兹（Hz）。:圆频率或角频率，表示在个单位时间内的振动次数,单位为rad/s。

经过一个周期T后，质点又回到了原来的位置，因此周期T称为自振周期或固有周期（naturalperiold）。19§2.2无阻尼自由振动计算自振周期的几种形式：（1）由周期和圆频率的定义可知：（2）将代入上式，得：（3）将代入上式，得：（4）令，得：20

圆频率也仅与结构参数k和m有关，即仅与结构体系本身的固有性质有关，而与初始干扰无关，故称为固有频率或自振频率（naturalfrequency）。

§2.2无阻尼自由振动圆频率计算公式的几种形式：21结构自振动周期重要性质：（1）自振动周期与结构的质量和刚度有关，而且只与这两者有关，与外界的干扰因素无关。干扰力的大小只能影响振幅A的大小，而对结构自振周期T的大小没影响。§2.2无阻尼自由振动（2）自振周期与质量平方根成正比，质量越大，则周期越大；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，则周期越小。要改变结构的自振周期，只有改变结构的质量或刚度。22（4）自振周期是结构动力性能的一个重要的数量标志。

a、两个外表相似的结构，如果周期相差很大，则动力性能相差很大；

b、两个外表看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下其动力性能基本一致。地震中常出现这样的现象。§2.2无阻尼自由振动（3）把集中质点放在结构上产生最大位移的地方，则可以得到最低的自振频率和最大的振动周期。23例2-1

悬臂梁长度L=1米，其末端装一重量Q=1221N的电动机，梁为钢梁，弹性模量E=2.1×1011N/m2，惯性矩I=78×10-8m4，与电动机重量相比梁的重量可以略去。求结构的自振圆频率及周期。

§2.2无阻尼自由振动解：悬臂梁在竖向力Q作用下，端部的竖向位移为:自振周期：自振频率：24例2-2

：求刚架的自振频率，不考虑横梁的变形。§2.2无阻尼自由振动解：使横梁发生单位位移所需外力k为:自振频率：

25例2-3：图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求δP=13l/165l/32P=1l/2§2.2无阻尼自由振动26l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm据此可得：结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。§2.2无阻尼自由振动27l/2l/2ml/2l/2k1ACBQCAQCB§2.2无阻尼自由振动用刚度法：28例2-4:求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。EIEIEI1=∞mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h3§2.2无阻尼自由振动解：2911l/32l/3m例2-5§2.2无阻尼自由振动解：30l/2lm1§2.2无阻尼自由振动解：例2-631h1θ例2-7解法1：求kθ=1/hMBA=kh=MBCk1hmI=∞EIBAC1解法2：求δ§2.2无阻尼自由振动32例2-8lEImk1k11k11k解：求k§2.2无阻尼自由振动33对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方便。一端铰结的杆的侧移刚度为：两端刚结的杆的侧移刚度为：§2.2无阻尼自由振动mky1)c不存在0y(t)tmky=0c2)c存在阻尼是客观存在的振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，称为阻尼。

（1）产生阻尼的原因1)结构与支承之间的外摩擦2)材料之间的内摩擦3)周围介质的阻力

（2）阻尼力的确定1)与质点速度成正比2)与质点速度平方成正比3)与质点速度无关粘滞阻尼§2.3有阻尼的自由振动

35§2.3有阻尼的自由振动

如果体系内存在阻尼，单自由度体系的自由振动微分方程为:令：则方程可改写为：ykykmP(t)y.(阻尼比dampingratio

）36特征方程的解为：§2.3有阻尼的自由振动

设方程解的形式为：特征方程：(characteristicequation)37§2.3有阻尼的自由振动的通解为：

所对应的阻尼系数c称为临界阻尼系数，记为ccr，其计算公式为：

C1和C2为两个积分常数，由初始条件确定。有阻尼自由振动的特性与根式（）的符号有关。38§2.3有阻尼的自由振动

阻尼比(dampingratio

）

称为阻尼比（dampingratio）,反映了阻尼系数与临界阻尼系数之比。一般材料的阻尼比都很小，例如钢（0.004~0.03）,木材（0.04），混凝土（0.05-0.08）等。对一般建筑结构，其阻尼比约在0.01-0.1之间。39

体系的阻尼系数小于临界阻尼系数，称为低阻尼体系（underdamping）。式可写为:§2.3有阻尼的自由振动

振动微分方程:其中，称为阻尼固有频率。（1）当＜1时

解为：40§2.3有阻尼的自由振动

或：其中：A1及A2或A及由初始条件确定。设当t=0时，初始位移和初始速度分别为：将此初始条件代入方程解，可得：41

表示低阻尼下的自由振动，不是一个严格的周期振动，是一个减幅的往复运动，可称为准周期振动，其往复一次的周期时间为：衰减因子阻尼对周期影响？§2.3有阻尼的自由振动

或：42§2.3有阻尼的自由振动

tyty低阻尼y-t曲线

其衰减简谐运动如图所示。在有阻尼自由振动中，由于阻尼不断消耗能量又没有外界能量补充，因此结构系统总能量不断减少，振幅不断衰减。43§2.3有阻尼的自由振动

（a）、阻尼对固有频率的影响

有阻尼和无阻尼的固有频率和间的关系式:在＜1的低阻尼情况下，恒小于

，而且随的增大而减小。但一般材料的阻尼比都很小，例如钢（0.004~0.03）,木材（0.04），混凝土（0.05-0.08）等。对一般建筑结构，其阻尼比约在0.01-0.1之间。如果＜0.2则0.96＜＜1，即与的值很接近。所以说阻尼对固有频率的影响很小.一般可认为:阻尼对固有频率基本无影响！44

§2.3有阻尼的自由振动

值愈大，振幅衰减速度愈快。经过一个周期T后，相邻两个振幅与比值为：（b）、阻尼对振幅的影响振幅为，阻尼比出现在指数项，对振幅有较大影响。45两边进行对数变换后可得：§2.3有阻尼的自由振动

如果＜0.2，则，46§2.3有阻尼的自由振动

对数衰减率与阻尼比只差一个常数倍。工程中常用此方法测定阻尼

称为对数衰减率（logarithmicdecrement），表征系统的阻尼情况，用表示，定义为两个相邻的同号位移值之比的自然对数，即:47

§2.3有阻尼的自由振动

对于阻尼较小的体系，取相隔几周的响应峰值来计算阻尼比，可以获得更高的精度。当＜0.2时，即时，用和表示两个相隔n个周期的振幅，可得：48§2.3有阻尼的自由振动

（2）当=1时体系阻尼等于临界阻尼（criticaldamping）。临界阻尼是在自由振动响应中不出现振动所需的最小阻尼值。方程的特解为:设初始条件：

t=0时初始位移为，初始速度为，则：49

运动不呈振动形式，按指数规律随时间t的增大而逐渐衰减以至消失。§2.3有阻尼的自由振动

因此：tyy0θ0这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。50§2.3有阻尼的自由振动

相应的通解为:（3）当＞1时体系的阻尼大于临界阻尼时，称为超阻尼体系（overdamping）。这时方程的特征根为:51

§2.3有阻尼的自由振动

故：设t=0时，初始位移称为，初始速度为，待定系数为:52§2.3有阻尼的自由振动

运动也不再呈振动形式，而是按指数规律随时间t的增