专题05 棋盘摆米问题

良棋盘摆米问题※知识精要棋盘摆米问题是用方程思想解决求和问题。此方法还可以解决循环小数化分数问题。※要点突破解题的关键是根据题意发现规律，再用方程思想解决求和问题。※典例精讲例：棋盘摆米：古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国家象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求。大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧。第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒 一直到第64格。”“你真傻!就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”你认为国王的国库里有这么多米吗？事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的64个格子需要1+2+22+23+ 263=（264—1）粒米，264-1到底多大呢？借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个20位数：18446744073709551615.【解析】设5=1+2+22+23-24 253①则2j=2+23+23+24 2s4②（g_®得：归7※课堂精练1.为了求1+2+22+23+ +22016的值，可令S=1+2+22+23++22016，则2S=2+22+23+ +22017，因此匕2S—S=22017—1，所以1+2+22+23+ +22016=22017—1，请仿照以上推理计算出1+5+52+53++52016的值是（ ）52017—1A. 52017一1 B・C.5C.52016—14D. 52016—1【答案】B【解析】°•.设S=1+5+52+53+...+52°i6,贝y5S=5+52+53+...+52016+52017，4S二5201=1,5201=14故选B.求1+2+22+，求1+2+22+，+…+2^2的值，可令s=1+2+2?+2?+…+2^^^^,则2s=2+22+23+24+...+22018,因此2s-s=22018-l,即s=丹丄1,仿照以上推理，计算出1+3+3^+3^+...+的值为护19_]【答案】——【解析】■$■5=1+3-护一沪 3201%则35=3+32+33 320-%：3S-S=^---\?解得后竺宁•故答案为故答案为3.观察下列运算过程:=1+3+32+3°+•••+32012+3201°①运用上面计算方法计算：1+5+L+53+…+5?013= .52“4—1【答案】—【解析】首先根据已知设S=1+5+52+53+...+524+525①，再将其两边同乘5得到关系式②，②-①即可求得答案.设S=1+5+52+53+...+52013①,则5S=5+52+53+54...+520i4②,5_52014-1②-①得：4S=520i4-l,所以S=4 ,5_52014-1故答案为：' 44．阅读材料：计算3l＋32＋33＋34＋35＋36.解：设S=31+32+33+34+35+36,①则3S=32+33+34+35+36+37,②37-3由②一①，得3S-S=37-31，则S=237-3即31+32+33+34+35+36= 2 .仿照以上解题过程,计算：5l＋52＋53＋54＋55＋.＋520l8.【答案】—【解析】设£=5】+齐+即+于+亍+...+匚工3①贝ij5S=52+5:+54+5-+...+5-0]?；②由②-①，得4S=5-'3]?-5,即孚+爭+戸+爭+矣+…+牛）]』=兰宁5•阅读材料：求1+2+22+23+24+...+22013的值.解：设S=1+2+22+23+24+.+22012+22013，将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+25+.+22013+22014将下式减去上式得2S-S=22014-1即S=22014-1即1+2+22+23+24+.+22013=22014-1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+.+210（2）1+3+32+33+34+...+3n（其中n为正整数）.【答案】见解析.【解析】（1）设S=1+2+22+23+24+...+21°,两边乘以2后得到新的等式，与已知等式相减，变形即可求

出所求式子的值；（2）类比题目中的方法即可得到所求式子的值．（1） 设S=l+2+22+23+24+...+2io,将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+...+210+211,将下式减去上式得：2S-S=211-1，即S=211-1,则1+2+22+23+24+.+210=211-1；（2） 设S=1+3+32+33+34+...+3n①，两边乘以3得：3S=3+32+33+34+.+3n+3n+1②，1②-①得：3S-S=3n+1-1，即S=—（3n+1-1），1则1+3+32+33+34+...+3n=-（3n+1-1）.6．在求1＋6＋62＋63＋64＋65＋66＋67＋68＋69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前610-15—个加数的6倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①，然后在①式的两边都乘以6,得6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②，②一①得6S—S=610—1，即5S=610—1，所以S=得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”（a^O且a^l）,求1+a+a2+a3+a4610-15a2017-1【答案【解析】设3=1+应+胪+胪+/+...+胪工$①；在等式两边同乘以圧得血=&+圧+川+E+…-胪皿+尿川②,②-①得11111—+ + + +■■■+ 7.在数学活动中，小明为了求 的值（结果用n表示），设计如图所示的几何图形.11111—+ + + +■■■+ 请你利用这个几何图形求 的值.i-A【答案】1【解析】方法1•把一个面积为1的正方形分成两个面积为2的长方形，接着把面积为2的长方形分成两111个面积为°的正方形，再把面积为°的正方形分成两个面积为'的三角形，…，由图形揭示的规律进行解答即可得.1 1—=1——由图可知2 2,111—+——=1 1111-+——+——=1 22223231111++・・・+——1 2222"2"，111111——- -J- -|- -■■ 1— 所以方法2此题也可以用以上方法解决设5=1+±一丄一亠一…一丄®---¥②一©得：^=1-—8．阅读理解题：你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法（1）阅读下列材料：•问题：利用一元一次方程将0.7化成分数．设0.7=x.由0.7=0.777，可知10X0.7=7.777 =7+0.7,即7+x=10x.（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）7 •7可解得x=9，即0.7=9.•填空：将0.4直接写成分数形式为 ・2）请仿照上述方法把小数0.25化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程.4【答案】（1）9（2）见解析【解析】（1）根据0-7转化井数的方法，设0-4=x,仿照例题的解法即可得出结论；（2）①根据0一7转化分数的方法，设0.25=x,仿照例题的解法（幻0换成xlOO）即可得出结论⑴设CH=x.方程两边都乘以W,可得10x0.4=10x.由0.4=