空间点直线平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系[A级 基础题——基稳才能楼高 ]1．下列命题中，真命题的个数为 ( )①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.A．1 B．2C．3 D．4解析：选 B 根据公理 2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面 (如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为 2.2．已知异面直线 a，b分别在平面 α，β内，且α∩β＝c，那么直线 c一定( )A．与a，b都相交B．只能与 a，b中的一条相交C．至少与 a，b中的一条相交D．与a，b都平行解析：选C如果c与，都平行，那么由平行线的传递性知，平行，与异面矛盾．故abab选C.3．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲： A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线 AC和不相交，则甲是乙成立的()BDA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若，，，D四点不共面，则直线和不共面，所以和不相ABCACBDACBD交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．4．(2019·银川一中模拟 )已知P是△ABC所在平面外的一点， M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝43，则异面直线PA与MN所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选A如图，取AC的中点，连接，，由已知条件可得DDNDMDN＝2 3，DM＝2.在△MND中，∠DNM为异面直线 PA与MN所成的角，则16＋12－4 3cos∠DNM＝ ＝ ，∴∠DNM＝30°.2×4×23 21[B级 保分题——准做快做达标 ]1．下列说法错误的是 ( )A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行解析：选 D 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内， A正确，排除 A；过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直， B正确，排除 B；如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直， C正确，排除 C；如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行， D错误，选D.2．(2019·长春质检 )平面α，β的公共点多于两个，则①α，β平行；②α，β至少有三个公共点；③α，β至少有一条公共直线；④α，β至多有一条公共直线．以上四个判断中不成立的个数为 ( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选 C 由条件知，当平面 α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相交；若公共点不共线，则 α，β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立．3．(2019·云南大理模拟 )给出下列命题，其中正确的两个命题是 ( )①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥直线m，则n∥α；④a，b是异面直线，则存在唯一的平面 α，使它与a，b都平行且与 a，b的距离相等．A．①与② B．②与③C．③与④ D．②与④解析：选D 直线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线 m⊥平面α，直线m⊥直线n，则直线n可能平行于平面 α，也可能在平面 α内，因此①③为假命题．4．(2019·成都模拟 )在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，平面 α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：2①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确的命题有 ( )A．①② B．②③C．①③ D．①②③解析：选 C 由题意画出草图如图所示，因为 AA1∥平面α，平面α∩平面 AA1B1B＝EH，所以 AA1∥EH.同理 AA1∥GF，所以 EH∥GF.又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知 EH＝GF＝AA1，所以四边形 EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BCC1B1，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由 AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH?平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．综上可知，故选 C.5.(2019·广州模拟 )如图是一个几何体的平面展开图， 其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的个数是 ( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B 画出该几何体，如图所示，①因为 E，F分别是PA，PD的中点，所以 EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；②直线 BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；③由E，F分别是PA，PD的中点，可知 EF∥AD，所以EF∥BC，因为EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故③正确；④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确．所以正确结论的个数是2.6．(2019·常德期末)一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为 60°3解析：选D 如图，把展开图中的各正方形按图①所示的方式分别作为正方体的前、 后、左、右、上、下面还原，得到图②所示的直观图，可得选项 A、B、C不正确．图②中， DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠ CDE＝60°.∴正确选项为 D.7．(2019·成都检测 )在我国古代数学名著 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑 ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线 AC与BD所成角的余弦值为()11A.2B．－233C.2D．－2解析：选A如图，分别取，，，的中点，，，，ABADBCBDEFGO连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．易知FO∥AB，因为AB⊥平面BCD，所以FO⊥OG，设AB＝2a，则EG＝EF＝2a，FG＝a2＋a2＝2a，所以∠FEG＝60°，1所以异面直线 AC与BD所成角的余弦值为 2，故选A.8．(2019·福州质检)在三棱柱-111中，，F分别为棱1，1的中点，则在空ABCABCEAACC间中与直线AB，EF，BC都相交的直线()11A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条解析：选D在EF上任意取一点M，直线AB与M确定一个平面，11这个平面与 BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与 BC有不同的交点 N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中CF CG2点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且 ＝ ＝，则下列说法中正确CBCD3的是________(填序号)．EF与GH平行；4EF与GH异面；EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；④EF与GH的交点M一定在直线AC上．解析：连接EH，FG(图略)，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E，F，G，1 2H共面．因为EH＝2BD，FG＝3BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．答案：④10．(2019·南京模拟)已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．①若α∥β，m?α，则m∥β；②若m∥α，n?α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.解析：由α∥β，m?α，可得m∥β，所以①正确；由m∥α，n?α，可得m，n平行或异面，所以②不正确；由α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，可得m与β相交或m?β，所以③不正确；由n⊥α，n⊥β，可得α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，所以④正确．综上，正确命题的序号是①④ .答案：①④11．(2019·广东百校联盟联考 )如图，E是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成角的余弦值为________．解析：不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，连接BC1，设B1C∩BC1＝O，连接EO，如图所示，在△BC1D1中，当点E为C1D1的中点时，BD1∥OE，则BD1∥平面B1CE，据此可得∠OEC为直线BD1与CE所成的角．在△中，边长＝5，＝2，＝3，由余弦定理可得cos∠OECECOCOEOEC＝3＋5－215.即异面直线BD1与CE所成角的余弦值为1523×5＝55.15答案：512．(2019·广西南宁二中、柳州高中联考 )如图，在直角梯形 ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形 ADE沿AE折起，下列说法正确的是 ________(填上所有正确的序号 )．5①不论D折至何位置(不在平面内)都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有 MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.解析：如图，①易证 ABCE为矩形，连接 AC，则N在AC上，连接CD，BD，易证在△ACD中，MN为中位线，MN∥DC，又MN?平面DEC，∴MN∥平面DEC.①正确．②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，ED∩EC＝E，AE⊥平面CED，又CD?平面CED，AE⊥CD，∴MN⊥AE，②正确．MN与AB异面．假若MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE?平面MNBA，AD?平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾．③错误．答案：①②在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1＝a.(1)求a的值；求三棱锥B1-A1BC的体积．解：(1)∵BC∥BC，∴∠ABC就是异面直线AB与BC所成的角，即∠ABC＝60°.又11111111⊥平面，＝，则1＝1，∴△1为等边三角形，由＝＝1，∠＝90°AAABCABACABACABCABACBAC?BC＝2，∴AB＝2?2aa1113211111111＝1.6如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．求证：直线EF与BD是异面直线；若AC⊥