结构力学第三章-扭转课件

第三章扭转材料力学§3–1概述§3–2薄壁圆筒的扭转§3–3传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图§3–4等直圆杆扭转时的应力·强度条件§3–5等直圆杆扭转时的变形·刚度条件§3–6等直圆杆扭转时的应变能§3–7非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形第三章扭转§3–1概述轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA工程实例§3–2薄壁圆筒的扭转略扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。切应变（）：直角的改变量。T=m剪切胡克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。剪切胡克定律：

式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因

无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa

。

剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在关系：

可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。（推导详见后面章节）：§3–3传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图一、传动轴的外力偶矩

传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：其中：P—功率，千瓦（kW）

n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（PS）

n—转速，转/分（rpm）1PS=735.5N·m/s,1kW=1.36PS3扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。二、扭矩及扭矩图

1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。

2截面法求扭矩MMMTx4扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT[例1]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDP2

P3

P1

P4解：①计算外力偶矩nABCDM2

M3

M1

M4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）③绘制扭矩图BC段为危险截面。xTnABCDM2

M3

M1

M44.789.566.37––§3–4等直圆杆扭转时的应力·强度条件等直圆杆横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面1.横截面变形后仍为平面；

2.轴向无伸缩；

3.纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。——扭转角沿长度方向变化率。Ttmaxtmax2.物理关系：剪切胡克定律：代入上式得：3.静力学关系：TOdA令代入物理关系式得：极惯性矩—横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。

Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。单位：m4③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。对于实心圆截面：ddO对于空心圆截面：dDOd④应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。⑤确定最大切应力：由知：当WP—抗扭截面系数（扭转截面系数），几何量，单位：m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：[例]

一个是实心圆截面I轴，一个是空心圆截面II轴，两轴材料、扭转力偶矩和长度l均相等，最大切应力也相等。若空心圆截面内、外直径比为，试求空心圆截面的外径与实心圆截面直径之比以及两轴的重量比。解：带入最大切应力公式：可得：即：两轴重量比即为横截面积比三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此，我们需要研究斜截面上的应力。点M的应力单元体如右图tt´2、斜截面上的应力M1、切应力互等定理：

该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。上式称为切应力互等定理。dxdy´´zOdztt´tt´t´ttasax2、斜截面上的应力t´ttasaxηξ转角规定：轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“–”由平衡方程：解得：分析：当=45°时，当=–45°时，当=90°时，tt´smaxsmin45°

由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的切应力为最大值；在方向角=45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。当=0°时，四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([]

称为许用剪应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：§3–5等直圆杆在扭转时的变形·刚度条件一、扭转时的变形由公式可知：长为

l的一段杆两截面间相对扭转角

为GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。二、单位长度扭转角[]

：或三、刚度条件或[]称为许用单位长度扭转角。刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。[例]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。该轴由45号钢制成，为空心圆截面，内、外半径比为0.5，钢的许用切应力=40Mpa,切变模量G=80Gpa,许可单位扭转角。试根据强度与刚度条件选择轴的半径。nABCDP2

P3

P1

P4dDxT4.789.566.37––解：由扭矩图，可知由强度条件由刚度条件综合强度条件与刚度条件可知由强度条件§3–6等直圆杆在扭转时的应变能一、应变能与应变能密度acddxbdy´´dzzxy单元体微功：应变能密度：等直圆杆在扭转时应变能对只在两端受外力偶矩的等直圆杆的应变能又由§3–7非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。三、矩形杆横截面上的剪应力:1.切应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）

h³bht1T

t

max注意！b2.最大剪应力及单位扭转角其中：相当极惯性矩

h³bht1T

t

max注意！b查表求和时一定要注意，表中