西农大信号及系统第二章

信号与系统

信息工程学院二零一四年秋教师——方勇简介信息工程学院教授，博士生导师专业方向：数字通信与信号处理主讲课程：信号与系统等办公室：信息工程学院105QQ：914164095电话：87092619(O)M)e-mail：fangyong@Homepage：/fangyong/

第二章连续时间系统的时域分析

2.1引言时域分析法1.微分/差分方程法2.卷积积分法h(t)——系统的单位冲激响应(已知)y(t)=h(t)*x(t)意义：直观，物理概念清楚，是其他方法（变换域法等）的基础。2.2LTI系统的微分方程表示及响应1.LTI系统的“输入—输出”模型(微分方程模型)1.连续LTI系统模型——常系数微分方程或微分方程的建立(不做要求)力学系统理论依据：牛顿运动定律电路系统理论依据：I

=

U/R、KVL、KCLR、C、L的伏安特性:微分方程的求解2.微分方程的一般形式(1)解的形式:H:homogeneousP:particular微分方程的求解(2)齐次解（自然响应）与特解（受迫响应）先求齐次解:再求特解:完全响应:§2.2LTI系统的微分方程表示及其响应其中yk(t)由特征方程根的模式决定（P.43，表2-1）2.2LTI系统的微分方程表示及其响应(3)零输入响应与零状态响应①零输入响应:由初始条件定出ck

即可微分方程的求解②零状态响应:微分方程的求解和特解:t≥0由初始条件定出ck

即可。微分方程的求解③完全响应:t≥0解的形式举例例：已知某系统的微分方程模型为:初始条件y(0)=1，y(1)(0)=0输入x(t)=5e–3tu(t)求系统的零输入响应y0(t)，零状态响应yx(t)以及完全响应y(t)。举例解一:(a)求零输入响应y0(t)由特征方程λ2+3λ/2+½=0的特征根为λ1=–1，λ2=–1/2，故零输入响应为y0(t)=c1e–t

+c2e–t/2…(1)由初始条件y(0)=1，y(1)(0)=0，解得c1=–1，c2=2故y0(t)=–e–t

+2e–t/2举例(b)求零状态响应yx(t)。特解为yp(t)=Ae-3t，代入微分方程得A=1，零状态响应的特解、奇次解和完全解分别是: yxp

(t)=e-3t yxh(t)=c1e-t+c2e-t/2 yx(t)=yxp(t)+yxh(t)=c1e-t+c2e-t/2+e-3t…(2)将初始条件y(0)

=

y(1)(0)

=

0

(零状态初始条件)，代入上式得c1

=-5，c2

=

4故零状态响应为:yx(t)=yxh(t)+yxp(t)=(-5e-t+4e-t/2+e-3t)u(t)(u(t)表示t>0)举例(c)完全解(全响应)y(t)=y0(t)+yx(t)=[-e-t+2e-t/2-5e-t+4e-t/2+e-3t]u(t) =(-6e-t+6e-t/2)u(t)+e-3tu(t)自然响应受迫响应

解二：若方程(2)代入初始条件由初始条件y(0)=1，y(1)(0)=0会得到怎样的结果？此时，c1=

-6，c2=6，则有 y(t)=yh(t)+yp(t) =(-6e-t+6e-t/2)u(t)+e-3tu(t)全响应自然响应受迫响应举例分析:零状态响应yx(t)=yh(t)+yp(t)=(-5e-t+4e-t/2)u(t)+e-3tu(t)

中第一项表示由输入x(t)诱发的由系统自身特征所决定响应(固有振荡)，是输入能量的一部分，第二项受迫响应是输入能量的另一部分，具有输入信号的频率特征(变化规律)。全响应y(t)=(-6e-t+6e-t/2)u(t)+e-3tu(t)与零状态响应比较，可见自然响应中确包含有全部的零输入响应和零状态响应的一部分。2.3有跃变的零状态响应（不作要求）初始条件有跃变时x(0+)≠0，初始条件应为:y0(k)(0+)=0→yx(k)(0+)=y(k)(0+)不全为0(1)先定初始条件{y(k)(0+)}物理概念法例:以电路系统如右图，对应的微分方程为其中e(t)=u(t)，求零状态响应δ(t)函数匹配法由于信号输入系统时x(t)=f(t)u(t)，方程(1)的右边就会出现最高为m阶的δ导数δ(m)(t)项，因此，(1)的左边Dny(t)中也含有δ(m)(t)项，而其它Dky(t)项含δ(m)(t)的n-k重积分项。通过对方程(1)两边m次积分，利用δ(k)(t)及δ(t)性质和就可定出初始条件例:求系统的零状态响应。δ(t)函数匹配法微分特性法(∵LTI系统)利用： x(t)→y(t)； Dkx(t)→Dky(t)。求的零状态响应yx(t)，可先求，(x(t)不含δ(t)及其导数)的解则：微分特性法微分特性法2.4单位冲激响应x(t)=δ(t)→h(t)——单位冲激响应(零状态响应)x(t)=u(t)→s(t)——单位阶跃响应(零状态响应)2.4单位冲激响应①δ(t)函数匹配法求h(t)先用δ(t)函数匹配法求初始条件：2.4单位冲激响应②微分方程特性法求h(t)：注意：方程(1)中n≤m时，h(t)中包含δ(t)及δ(t)的最高到m

–

n的导数项(即，在h(t)中要加相应的项)。2.4单位冲激响应例：求由方程

决定的系统的单位冲激响应。解：令①由得r1=–2，r2=–32.4单位冲激响应②仍先求(1)式的解，（不作要求）2.5卷积积分1．用冲激函数表示的任意函数位移脉冲：物理意义：任意信号x(t)可以由单位冲激函数(基函数)的加权积分表示 2.5卷积积分有δ(t)→h(t);x(τ)δ(t–τ)→x(τ)h(t–τ);结论：LTI系统对于任意信号x(t)零状态响应可以由该信号与系统的单位冲激响应的卷积得到：或

h(t)是系统特性的描述和表征因果系统：h(t)=0，t<0稳定系统：2.卷积积分及意义 2.5卷积积分的运算和图解卷积的图解步骤：①令t=τ，→h(τ)，x(τ)，并画示意图；②画h(–τ)图；③画h(t–τ)图(h(–τ)向右平移t)；④将x(τ)与h(t–τ)相乘：⑤将x(τ)h(t–τ)对τ

积分，即得t时刻的卷积结果。例1：x(t)=e–atu(t)，a>0，h(t)=u(t)，求系统的零状态响应。2.5卷积积分的运算和图解t<0时，y(t)=0对于全部t，

2.5卷积积分的运算和图解例2：求系统的零状态响应。解：2.6卷积积分的性质1．卷积的代数运算

A.交换率： x1(t)*x2(t)=x2(t)*x1(t); y(t)=x(t)*h(t)=h(t)*x(t) B.结合律： x1(t)*(x2(t)*x3(t))=(x(t)*x2(t))*x3(t); y(t)=w(t)*h2(t))=[x(t)*h1(t)]*h2(t)=x(t)*[h1(t))*h2(t)]=x(t)*h(t)结论：级联系统的单位冲激响应子系统冲激响应的卷积；级联系统的单位冲激响应与子系统联结顺序无关。§2.6卷积积分的性质C.分配律：

x1(t)*(x2(t)+x3(t))=x1(t)*x2(t)+x1(t)*x3(t) y(t)=x(t)*(h1(t)+h2(t))=x(t)*h1(t)+x(t)*(h2(t) =x(t)*h(t); h(t)=h1(t)+h2(t).结论：系统的并联，单位冲激响应等于并联接中各个子系统冲激响应之和；§2.6卷积积分的性质2.卷积的微积分性质(要求带限时间函数)A.微分性质x(1)(t)=x1(1)(t)*x2(t)=x1(t)*x2(1)(t)；证明略…推广：x(n)(t)=x1(n)(t)*x2(t)=x1(t)*x2(n)(t)B.积分性质

x(-1)(t)=x1(-1)(t)*x2(t)=x1(t)*x2(-1)(t)；证明略…推广：①x(–m)(t)=x1(–m)

(t)*x2(t)=x1(t)*x2(–m)(t)；②x(n–m)(t)=x1(n)

(t)*x2(–m)

(t)=x1(–m)(t)*x2(n)(t).利用卷积的微积分性质可化简运算。§2.6卷积积分的性质3．任意函数与冲激函数的卷积，m为整数，x0(t)如下图求例1．单位冲激串(或梳状函数comb(t))§2.6卷积积分的性质解：(1).(2).§2.6卷积积分的性质例1.求卷积解：(1)图解辅助法。§2.6卷积积分的性质§2.6卷积积分的性质§2.6卷积积分的性质例2.信号如下图所示，试计算二者的卷积解：此题x2(t)为时限信号，它在t→∞时不趋于零。看有两种解法有什么结果。解法一.利用微分积分性质计算卷积。先对x1(t)积分、对x2(t)求导其图形如下(a)，(b)所示。ab§2.6卷积积分的性质于是解法二.利用图解法计算卷积。§2.6卷积积分的性质上述两结果