中考相似三角形专题

中考中的相似三角形

第一部分知识梳理一、相似的性质1、对应角相等，对应变成比例2、对应边上的中线、高之比，对应角平分线之比等于相似比3、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。二、相似三角形的判定1、平行于三角形一边的直线，截三角形两边或延长线，所得三角形与原三角形相似2、两角对应性等的两三角形相似3、两边对应成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似4、三边对应成比例，两个三角形相似第二部分中考链接一、相似三角形的性质TOC\o"1-5"\h\z（2018•重庆）制作一块3mx2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A.360元B.720元C.1080元D.2160元（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3,则其面积之比是（）A.6：B.2：3C.4：9D.8：27（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为（）A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm（2018•内江）已知AABC与AA#1cl相似，且相似比为1：3,则4ABC与1cl的面积比为（）A.1：IB.1：3C.1：6D.1：9（2018•铜仁市）已知△ABCs^DEF,相似比为2,且^ABC的面积为16,则4DEF的面积为（）A.32B.8C.4D.16（2017•重庆）已知△ABCs^DEF,且相似比为1：2,则AABC与4DEF的面积比为（）A.1：4B.4：1C.1：2D.2：1（2018•广东）在AABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则^ADE与^ABC的面积之比为（）A.B.C.D.（2018・自贡）如图，在4ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若^ADE的面积为4,则△ABC的面积为（）A.8B.12C.14D.16AA.B.C.D.TOC\o"1-5"\h\zRc8题图11题图12题图（2019•常州）若△ABC〜△AB'。，相似比为1：2,则△ABC与△ABC'的周长的比为（）A.2：1B.1：2C.4：1D.1：4（2019•兰州）已知＞48=8,AB'=6,贝I];二,=（）A.2B.;C.3D..BC39（2019・重庆）如图，AABO^ACDO,若BO=6,DO=3,CD=2,贝IjAB的长是（）A.2B.3C.4D.5（2019•常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC,图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为A4BC的面积为42,则四边形DBCE的面积是（）A.20B.22C.24D.26二、相似三角形的判定（一）利用平行线证三角形相似（2018•枣庄）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE1BD,垂足为F,则tanNBDETOC\o"1-5"\h\z的值是（）A.B.C.D.1题图2题图3题图（2018・枣庄）如图，在Rt^ABC中，NACB=90°,CD,AB,垂足为D,AF平分/CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为（）A.B.C.D.（2018・东营）如图所示，已知4ABC中，BC=12,BC边上的高h=6,D为BC上一点，EF〃BC,交AB于点E,交AC于点F,设点E到边BC的距离为x.则^DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）A.A.6B.8C.10D.12（2018•崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1,连接AE交BD于点F,则4DEF的面积与4BAF的面积之比为（A.3：4B.9：16C.9：1D.3：14题图54题图5题图6题图7题图TOC\o"1-5"\h\z（2018•随州）如图，平行于BC的直线DE把AABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A.1B.C.1D.（2018•哈尔滨）如图，在^ABC中，点D在BC边上，连接AD,点G在线段AD上，GE〃BD,且交AB于点E,GF〃AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是（）A.=B.=C.=D.=（2018•遵义）如图，四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为（）A.5B.4C.3D.2（2018•贵港）如图，在AABC中，EF〃BC,AB=3AE,若S四边形"£二16,则Sybc=（）A.16B.18C.20D.248题图9题图10题图11题图（2018•泸州）如图,正方形ABCD中，E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则的值是（）A.B.C.D.（2018•临安区）如图，在AABC中，DE〃BC,DE分另U与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE：BC的值为（）A.B.C.D.11、（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为（（2018•香坊区）如图，点D、E、F分别是AABC的边AB、AC、BC上的点，若DE〃BC,EF〃AB,则下列比例式一定成立的是（）A.--=B.=C.=D.=DB（2018•荆门）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G,则S:SARr=（）A.1：3B.3：1C.1：9D.9：1△匕卜U△ABU12题图13题图12题图13题图14题图15题图（2018•达州）如图，E,F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC.连接DE,DF并延长，分别交AB,BC于点G,H,连接GH,则的值为（）A.B.C.D.1（20184临沂）如图.利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6mBC=12.4m则建筑物CD的高是（）A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m（2019•杭州）如图，在△ABC中，点D,E分另U在么3和AC上，DE//BC,M为3c边上一点（不与点3,C重合），连接AM交DE于点M则（）A-ADANANAEB-BDMN.MNCEA-ADANANAEB-BDMN.MNCEc-DNNE.D.DNNEBMMCMCBM16题图17题图18题图19题图（2019•凉山州）如图，在△A3C中，。在AC边上，AD：DC=1：2,。是3。的中点，连接AO并延长交BC于E,贝I]BE：EC=（）A.1：2B.1：3C.1：4D.2：3（2019•玉林）如图，/3〃EF〃DC,WBC,EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（）A.3对B.5对C.6对D.8对19.（2018・济宁）如图，点A是反比例函数y=（x>0）图象上一点，直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B,C,过点A作AD，x轴，垂足为D,连接DC,若^BOC的面积是4,则ADOC的面积是..（2018・邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE,交CDTOC\o"1-5"\h\z于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形：^20题图21题图22题图23题图24题图.（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,贝UCF的长为..（2018•包头）如图，在々ABCD中，AC是一条对角线，EF〃BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若Saef=1，则SAdf的值为.△AEF△ADF.（2018•资阳）已知：如图，4ABC的面积为12,点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为..（2019•淮安）如图，11〃l2〃l3,直线a、b与11、12、13分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=3,DE=2,BC=6,则EF=.（2018镇江）如图1,平行四边形ABCD中，AB±AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的。P与对角线AC交于A,E两点.（1）如图2,当。P与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当。P与边CD相切时，。P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，。P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的值的取值范围^55题图.6题图7题图8题图27.（2019•荷泽）如图，5。是的直径，是的弦，过点£作。0的切线，交。5的延长线于点G,过点5作5G£于点F交的延长线于点A.（1）求证：ZABG=2ZC；（2）若GF=3解,GB=6,求的半径.（二）两角对应相等两三角形相似（2018•聊城）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC绕着点。逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的名处，则点C的对应点q的坐标为（）A.（-,）B.（-,）C.（-,）D.（-,）（2018•永州）如图，在AABC中，点D是边AB上的一点，NADONACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为（）A.2B.4C.6D.82题图32题图3题图4题图（2019・淄博）如图，在△ABC中，AC=2,BC=4,。为BC边上的一点，且NC4D=NB.若△/WC的面积为a,D.则△ABD的面积为（）A.2aB.2aC.3aD.（2019•赤峰）如图，D、E分另lj是△ABC边八B,AC上的点，ZADE=ZACB,若/W=2,>48=6,AC=4,贝ljAE的长是（）的长是（）A.1B.2C.3D.4（2018滨州）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上，若AE=，/EAF=45°,则AF的长为(2018盐城)如图，在直角AABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,P、Q分别为边BC、AB上的两个动点,若要使△APQ是等腰三角形且^BPQ是直角三角形，则AQ=.(2019•南京)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线M/V交八B于点D,8平分乙4cB.若4)=2,80=3,则AC的长.(2019•宜宾)如图，已知直角△ABC中，CD是斜边上的高，AC=4,BC=3,贝lj4)=.(2018•济宁)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边AD,BC的中点，连接DF,过点E作EHLDF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；(2)过点H作MN〃CD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点，求4PDC周长的最小值.(2018•杭州)如图，在^ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线，DELAB于点E.(1)求证：△BDEs^CAD.(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.(2018镇江)如图，一次函数y=kx+b(k=0)的图象与x轴，y轴分别交于A(-9,0),B(0,6)两点，过点C(2,0)作直线I与BC垂直，点E在直线I位于x轴上方的部分.(1)求一次函数户kx+b(k/0)的表达式；(2)若4ACE的面积为11,求点E的坐标；(3)当NCBE=NABO时，点E的坐标为^（2018•滨州）如图，AB为。0的直径，点C在。。上，ADLCD于点D,且AC平分NDAB,求证：（1）直线DC是。。的切线；（2）AC2=2AD*AO.（2018日照）如图所示，。。的半径为4,点A是。。上一点，直线I过点A；P是。。上的一个动点（不与点A重合），过点P作PBL于点B,交。。于点E,直径PD延长线交直线I于点F,点A是的中点.(1)(2)求证：直线I(1)(2)若PA=6,求PB的长.（2018•东营）如图，CD是。0的切线，点C在直径AB的延长线上.（1）求证：ZCAD=ZBDC；（2）若BD=AD,AC=3,求CD的长.（2018黄冈）如图，AD是。。的直径，AB为。0的弦，0P±AD,0P与AB的延长线交于点P,过B点的切线交0P于点C.（1）求证：ZCBP=ZADB.（2）若0A=2,AB=1,求线段BP的长.

（2018•张家界）如图，点P是。。的直径AB延长线上一点，且AB=4,点M为标上一个动点（不与A,B重合），射线PM与。。交于点N（不与M重合）（1）当M在什么位置时，4MAB的面积最大，并求出这个最大值；（2）求证：△PANs^pmB.17、（2019•淄博）如图，在中，N5=90°,NA4C的平分线4。交5。于点。，点£在AC上，以为直径的经过点D（1）求证：①5。是的切线；②CQ』C£・CA；（2）若点尸是劣弧4。的中点，且。£=3,试求阴影部分的面积.=2ZC,AC与BD交于点H,与0£交于点E（1）求证：是的切线；（2）=2ZC,AC与BD交于点H,与0£交于点E（1）求证：是的切线；（2）若。8=9,tanC=，求直径45的长.（2019•滨州）如图，在△A5C中，AB=AC,以45为直径的分别与5C,AC交于点。，E,过点。作DF±AC,垂足为点E（1）求证：直线。尸是的切线；（2）求证：BC2=4CF«AC；（3）若的半径为4,ZCDF=15°,求阴影部分的面积.（2019•聊城）如图，△A5C内接于45为直径，作交AC于点。，延长5C,0。交于点F过点。作的切线交Ob于点£.(1)求证：EC=ED；(2)如果04=4,EF=3,求弦AC的长.（三）、三边对应成比例（2018•临安区）如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与4ABC相似的是（）A.B.C.D.（2019•连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A.①处B.②处C.③处D.④处（四）、两边成比例，夹角相等1、（2018徐州）如图，AB为。。的直径，AB=4,C为半圆AB的中点，P为菽上一动点，延长BP至点Q,使BP・BQ=AB2.若点P由A运动到C,则点Q运动的路径长为2.（2018宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D,过其顶点C作直线CP，x轴，垂足为点P,连接AD、BC.（1）求点A、B、D的坐标；（2）若^AOD与ABPC相似，求a的值；（3）点D、0、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由.三、相似三角形的应用.（2018・长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺.（2018・绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕0点旋转到AC位置，已知AB±BD,CDLBD,垂足分别为B,D,A0=4m,AB=1.6m,CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m标标阡1题图2题图3题图4题图5题图.（2018*泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在〃勾股〃章中有这样一个问题：〃今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？〃用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（〃步〃是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步..（2018・岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步.（2018•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D,NB=NC=90°,测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽AB=m.（2019•吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为m.（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上八处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O,A,B,C,D在同一条直线上），测得AC=2m,BD=2.1m,如果小明眼睛距地面高度BF,DG为1.6m,试确定楼的高度OE.四、综合题（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M.对于下列结论：①△BAEs^CAD；②MP・MD=MA・ME；③2CB2=CP・CM.其中正确的是（）A.①②③B.①C.①②D.②③

E2题图3题图E2题图（2018•孝感）如图，4ABC是等边三角形，4ABD是等腰直角三角形，ZBAD=90°,AE±BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH1CD交BD于点H.则下列结论：①NADO15。；②AF=AG；③AH=DF；©AAFG^ACBG；⑤AF=（-1）EF.其中正确结论的个数为（）A.5B.4C.3D.2（2018•南充）如图，正方形ABCD的边长为2,P为CD的中点，连结AP,过点B作BELAP于点E,延长CE交AD于点F,过点C作CHLBE于点G,交AB于点H,连接HF.下列结论正确的是（）A.CE=B.EF=C.cosZCEP=D.HF2=EF*CF（2019•安徽）如图，在《△ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=12,点。在边BC上，点E在线段4）上，EFLAC于点F,£3，£下交48于点3.若EF=EG,则CD的长为（）A.3.6B.4C.4.8D.54题图5题图（2018常州）如图，在^ABC纸板中，AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与4ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是.6、（2018盐城）如图，在以线段AB为直径的。O上取一点，连接AC、BC.将^ABC沿AB翻折后得到△ABD.（1）试说明点D在OO上；（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC.求证：BE为OO的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4,求线段EF的长.

(2019•凉山州)如图，ZABD=ZBCD=90°,DB平分N/WC,过点B作BM〃C。交八。于M.连接CM交DB于N.(1)求证：BD2=AD•CD；(2)若8=6,>40=8,求M/V的长.D(2019•安徽)如图，笈△ABC中，ZACB=9Q°,AC=BC,"为△ABC内部一点，AZAPB=ZBPC=135°.(1)求证：八PABs八PBC；(2)求证：PA=2PC；(3)若点户到三角形的边小B,BC,C4的距离分别为力仔h2,h3,求证%2=为♦%.五、位似(2019•邵阳)如图，以点。为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△ABC,以下说法中错误的是()A.AABC^AA'B'CB.点C、点。、点。三点在同一直线上C.AO：AA'=1：2D.AB//A'B'1题图21题图2题图3题图OCDOCD90，Z°(2018菏泽)如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4,AA

AOB60,若点B的坐标是(6,0),则点。的坐标是「如图,在直角坐标系中，正方形的边长均为1个单位长度，△AB。的顶点坐标分别为X(-2,-1),B(-2,-3),0(0,0),△.B］。］的顶点坐标分别为&(1,-1),B］(1,-5),.(5,1),AAB。与△&B］。］是以点户为位似中心的位似图形，则户点的坐标为.4.(2019•河池)如图，以点。为位似中心，将△04B放大后得到△08,OA=2,AC=3,则::=.本(2019•本溪)在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是A(4,2),B(5,0),以点。为位似中心,相似比为：，把^ABO缩小，得到△A1B1。，则点A的对应点A1的坐标为.6.(2019•巴中)△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示.①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C,使其位似比为1：2.且4A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标.②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形aA2B2c.③在②的条件下求出点B经过