函数概念的演变及其对中学函数教学的启示（初中版）

函数概念的演变及其对中学函数教学的启示

贾随军西北师范大学教育学院jiasuijun@163.com函数概念的演变及其对

中学函数教学的启示引言对函数概念演变的分析对中学函数教学的启示3中学数学的中心数学的核心重要的模型函数引言

引言

函数为数学的灵魂，数学中的许多概念由函数派生，由函数统领。（F．klein，1849-1925）函数是描述运动变化的重要模型引言

20世纪以来，世界各国的中学数学教学内容从以解方程为中心转到以研究函数为中心，1908年，克莱茵首次提出中学数学应当“以函数为纲”，到了20世纪50年代，函数在我国中学数学课程中取得核心地位。

引言

函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终……

引言

引言

本研究依据历史发生原理（即个体对数学概念的认知发展过程与该概念的历史发展过程相似）通过对函数概念演变历史的分析获取函数概念的教学启示。对函数概念演变的分析

◆函数的早期形态

◆函数是曲线

◆函数是解析式

◆函数是对应

函数的早期形态

古希腊根据弧的度数确定弦长的正弦表苏格兰JohnNapier对数巴比伦60进制的平方表、立方表、平方根表、普林顿322数表等各种数表奥雷斯姆(N．Oresme)运用图线表示的速率与时间之间的关系

公元前1700年左右，现藏于哥伦比亚大学稀有图书和手稿图书馆。函数的早期形态

函数是曲线

行星的运动月球的运动地球的运动抛射体的运动单摆的运动

数学从运动的研究中引出了一个基本概念——函数莱布尼兹（Leibniz)的函数概念：任何一个随着曲线上的点变动而变动的量——例如切线、法线、次切线的长度以及纵坐标等。

函数与曲线紧密相关。函数是曲线评价伽利略证明：把物体斜抛向空中时，它的路径是一个抛物线。梅森（Mersenne)把旋轮线（cycloid）定义为当车轮沿地面滚动时轮上一个顶点的轨迹。罗伯瓦(Roberval)把正弦曲线定义为旋轮线的伴侣曲线。函数是曲线在17世纪，函数是常常被当做曲线来研究的。(曲线是动点的轨迹。)函数是解析式莱布尼兹（G.W.Leibniz）于1714年用“函数”一词表示依赖于一个变量的量。这个函数“定义”实质上指出了函数就是两个变量之间的依赖关系。但在17世纪依赖关系的表达常常要借助曲线。把函数看成曲线不利于函数参与运算，函数概念必须由几何形态走向代数形态。函数是解析式从17世纪末到18世纪，由于分析学的发展，数学家对超越函数有了更为深刻的认识。牛顿、莱布尼兹、欧拉（L.Euler）等数学家发现了指数函数、对数函数、三角函数等超越函数的幂级数展式。

数学家为超越函数找到了代数表达函数是解析式欧拉在1748年出版的《无穷分析引论》（第一卷）中就把函数定义为由一个变量与一些常量以任何方式形成的解析表达式。他认为一个函数就是一个解析表达式。虽然18世纪对函数概念还有一些其他认识，但占统治地位的函数概念仍然是：函数是由一个解析式（有限的或无限的）所给出的。函数是对应一个函数就是一个解析表达式一个函数对应一条连续曲线后来数学家发现即便是简单函数也存在着表达式不唯一的情形,如和18世纪后半叶对弦振动问题的讨论使部分数学家接受了函数在不同的区域上有不同的表达式的观点。JeanBaptisteJosephFourier（1768－1830）热传导方程求解的需要促使傅立叶建立了其级数理论函数是对应傅立叶（J.Fourier）把一个“不连续”的曲线（由不同连续曲线拼接起来的曲线）用一个表达式表示。函数是对应一个函数就是一个解析式?一个函数对应一条连续曲线?函数概念必须突破解析式的制约。函数是对应函数代表一系列的值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的，对于无限多个给定的横坐标x值，有同样多个的值，所有值要么为正数，要么为负数，要么是零，无需假设这些纵坐标满足同一法则，它们以任何方式接续，每一个都好象是单个的量。函数是对应1837年狄里克雷(P.G.Dirichlet)给函数下了一个定义:如果对于给定区间上的每一个x的值有唯一的y值同它对应,那么y就是x的一个函数,至于在整个区间上y是否按照一种规律依赖于x,或者y依赖于x是否可用数学运算来表达,那都是无关紧要的。函数是一个解析式函数是变量之间的依赖关系函数是一条连续曲线函数是对应函数是关系函数概念演变的主要动力●天文学、物理学的需要促进了具体函数的产生。●对运动与变化的研究是函数一般概念产生的直接原因。函数是描述运动与变化的重要的数学模型对中学数学教学的启示●挖掘小学教材中的函数思想●注重从不同角度认识函数概念●注重对运动、变化的体现与分析●注重函数与曲线、方程等概念的联系与区别挖掘小学教材中的函数思想图、表正比例函数反比例函数路程=速度时间总价=单价商品数量注重从不同角度认识函数概念变量说几何观念图像表示解析说代数观念解析式表示对应说