章建跃数学教育之取势明道优术

数学教育之取势明道优术人民教育出版社章建跃zhangjy@一、数学的育人功能在哪里？数学在基础教育课程体系中的特殊地位，在于它是发展学生的智力、培养逻辑思维能力的主要学科。数学学科的最大用处是育人，它在培养学生的几何直观能力、运算能力、逻辑推理能力、数据处理能力，以及锻炼学生的心智、培育理性精神上都是不可替代的。二、如何发挥数学的育人功能？从数学和数学教育的内部寻找。教学中，要以数学地认识问题和解决问题为核心任务，以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会思考。“取势、明道、优术”兼顾

数学教育才能如愿成功！取势、明道、优术就是“明确方向，把握规律，办事有方”。做事首先应看清方向，方向不对则越努力就越坏事，“大势所趋”、“顺势而为”，这就是取势；其次，“道”就是事物发展的规律性，把握好规律，按规律办事，才能保证事业成功；第三，“术”是做事的策略和方法，做任何事情都要有好的方法，这样才能提高办事的效率，确保办事质量。目前的问题是：只追求“术”，把数学搞成解题术——注重雕虫小技，而忘却了数学的根本。三、取势“势”是方向，“取势”是“顺势而为”。“中长期规划纲要”的颁布标志着我国课程改革进入了新阶段。十八大和十八届三中全会提出了教育的立德树人根本任务，要求进一步提升综合育人水平，更好地促进学生全面发展、健康成长。教育部最近发布了《全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，提出“大力弘扬中华优秀传统文化，把培育和践行社会主义核心价值观融入国民教育全过程”的新要求。落实在数学教育中回归数学教育的本来面目，发挥数学的内在力量，实现数学育人的目标，这就是大势所趋。具体而言，就是要为学生的终生发展考虑，着眼于学生的长期利益，充分挖掘数学所蕴含的价值观资源，以培育学生的理性精神、发展学生的逻辑思维能力为核心，使学生在掌握数学知识、学会数学思考的过程中，成为善于认识问题、解决问题的人才。四、明道明即明白、懂得，道即规律、原则。明数学教学之道，归根到底是“理解数学，理解学生，理解教学”。要明白“数学之道”，懂得数学研究的“基本套路”。要理解“思维之道”，知道学生数学思维的一般规律。例

几何研究的“基本套路”背景——定义——表示——分类——性质（判定）——特例——联系和应用如何获得数学研究对象？（从具体事例中抽象出“基本图形”）如何分类？分类标准从哪里来？从哪些角度展开研究？（几何学是研究物体的形状、大小和位置关系的科学。）如何展开对几何体结构特征的研究？如何构建“点、直线、平面的位置关系”的研究线索？为什么把“平行”“垂直”两种位置关系作为研究的主题？——它们反映了空间的本质，是研究物体的形状、大小和位置关系的基础。什么叫性质？性质是指事物所具有的本质，即事物内部稳定的联系。问题：这里的“事物内部”指什么？“稳定的联系”是怎么表现的？到底怎样才能发现这种“联系”？从三角形的“内角和为180°”、“两边之和大于第三边”、“大边对大角”、“等边对等角”等你想到了什么？“内部”可以是“三角形的组成要素”，“稳定的联系”是指“三角形要素之间确定的关系”。几何对象组成要素之间确定的关系就是性质。从“外角等于不相邻两内角的和”、“三条高交于一点”、“等腰三角形三线合一”等又想到了什么？把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些“相关要素”也可以看成是“三角形的内部”。要素、相关要素之间确定的关系也是性质。从两条直线平行，“同位角相等”、“内错角相等”以及“同旁内角互补”，我们又能想到什么？这时的“性质”是借助“第三条直线”，与“两条平行线”构成一些角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系。研究两个几何事物的某种位置关系下具有什么性质，就是探索这种位置关系下的两个几何事物与其他几何事物之间所形成的确定的关系。几何体结构特征的研究棱柱要素、相关要素：面、棱、顶点、面对角线、体对角线、高……要素、相关要素之间的关系：面与面、棱与棱、面与棱……特例：长方体——正方体，平行六面体……直线与平面平行的性质位置关系：直线l

∥平面α；其他事物：直线、平面；命题：（1）如果

a∥l，那么a

∥α

；（2）如果

a

∥α

，那么a

∥l；（3）如果a

⊥l，那么a⊥α；（4）如果a⊥α，那么a⊥

l；（5）如果β∥l，那么β∥α；（6）如果β∥α，那么β∥l；（7）如果β⊥l，那么β⊥α；（8）如果

β⊥

α

，那么β

⊥l。（9）与“公理”相联系，直线l与平面α

内任意一点A确定一个平面β

，α

∩

β=m

，那么

m∥l；（10）l∥α

，所以l∩α=Φ。如果m在α

内，则或者m∥l，或者m与l是异面直线。（11）直线m与直线l异面，则过直线m有且只有一个平面与直线l平行。（12）l∥α，β∩γ=l，α∩β=l1，α∩γ=l2，那么l1∥l2。培养学生的系统思维把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法……系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现。每一个数学概念都可看成一个小系统。研究数学对象的系统结构定义——表示——分类（以要素为标准）——性质（要素、相关要素的相互关系）——特例（性质和判定）——联系（应用）；定性研究（平直性、对称性等）——定量研究（角、距离、面积、体积等等）。数学实践活动中，只要紧紧抓住这一结构，再通过横向或纵向的类比与联系，引导学生去认识和把握具体数学对象的要素和功能的关系，就能使他们建立起研究数学对象的结构，并形成完整的认识。培养系统思维，使学生养成全面思考问题的习惯，避免“见木不见林”，进而使他们在面对数学问题时，能把解题目标、实现目标的过程、解题过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样，“使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才”就能落在实处。学生的数学思维之道数学教学还要掌握学生的“思维之道”，按学生的认知规律教学。例如，“数列”的学习应该按照这种“认知的规律”，为学生构建一个研究“一列数”的“基本套路”，使学生经历研究一个数学对象的基本过程，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养认识和解决问题的能力。等差数列的理解与教学数列的概念和表示——注意从函数的研究中得到启发；等差数列：概念、表示（通项公式）、性质（等差中项等），等差数列的“原型”就是自然数列{n}；等差数列的前n项和公式：从概念和性质中推出的自然结果；应用——作为知识的联结点。等差数列的概念和通项公式如何教概念？问题：观察下列数列，你有什么发现？（1）0，5，10，15，……；（2）5.5，7.5，9.5，11.5，……；（3）0，2.5，5.0，7.5，……追问：是相邻两项的差吗？从第二项起……这个过程存在哪些问题？为什么？如何改进？问题：没有“如何思考”的引导，源于：（1）对概念理解不到位——“等差”是由运算引发的！等差数列是一类特殊的数列，“考察特例”是一种“基本套路”；（2）对教材不理解——教材是这样开头的：初中学了实数及其运算、性质。现在我们面对一列数（数列），能不能也像研究实数一样，研究它的项与项的关系、运算和性质呢？我们先从一些特殊的数列入手；（3）对学生不理解——这些数列的共同特征不只是“等差”，没有从关系、运算等作必要引导，学生的观察没有方向。如何教通项公式？什么叫“通项公式”？——研究一个数学对象的“基本套路”是：获得对象（下定义）—表示对象—研究性质—建立与相关知识的联系。“通项公式”——等差数列的一种表示，就像函数的解析式一样，要回答的是“第n项an与序号n的关系”。“求通项公式”——从定义出发。等差数列的性质运算中出现的规律性——有了运算，数的力量无限。最简单的等差数列：三项——“等差中项”；如何看“等差中项”？——平均数！当m+n=p+q时，am+an=ap+aq

；……前n项和公式的教学设计作为自然数列性质的自然延伸、一般化——将a1=1，d=1一般化。如何看1+2+3+…+n=

？有多种角度：“平均数”，不同数求和化归为相同数求和，等；“平均数”本质上是等差数列的性质：am+an=ap+aq

，当m+n=p+q时——这是“倒序求和”技巧的源头。教科书的设计思路总体思想：希望学生领悟到“倒序求和”技巧的来源。问题1高斯是如何求出1+2+…+100的？问题2如果从数列的角度看，你认为他利用了数列1，2，3，……的什么特性？问题3你能用高斯的方法求1+2+…+101吗？问题4如何用高斯的方法求1+2+…+n？追问：能否避免奇偶讨论？问题5一般地，设公差为d的等差数列{an}，你能求出Sn=a1+a2+…+an吗？（什么叫求Sn？）回到概念去，回到基本性质去——返璞归真，至精至简，以简驭繁，大巧若拙。“倒序求和”是雕虫小技！加强认识和解决问题方法的教学如何获得研究对象；构建研究数学对象的基本线索；发现和提出值得研究的具体问题；掌握研究问题的基本方法。例解析几何课程的整体设计思路1．“课标”对解析几何内容的安排坐标法为核心，依“直线与方程——圆与方程——圆锥曲线与方程——极坐标系与参数方程”螺旋上升地展开内容。解析几何是方法论——代数方法研究几何。直线与圆——基础，强调与平面几何研究方法的比较，坐标法的体验。圆锥曲线——体现坐标法的威力（有限接触）坐标系与参数方程——充分展示坐标法的综合性：坐标系的多样性、曲线方程的多样性、联系方式的多样性等。局限：缺少直观形象支撑（数缺形时少直观）——《几何证明选讲》中用综合法进行了研究。2．坐标法为核心，体现数形结合思想形式上：“三步曲”；经历用坐标法解决问题的完整过程：先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决。平面直角坐标系中的点，可以讨论哪些问题？一点的坐标；两个点之间的距离；三个点——定比分点；等。直线与方程的结构在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何要素——平面几何是”两点确定一条直线”；这里要发挥直角坐标系的力量，因此引入倾斜角和斜率的概念。斜率：概念、公式（不同条件下的不同形式）、性质（特例、关系）直线的方程：“一点和一个方向，或两点，唯一确定一条直线”的代数化。求解的过程是“同一事物的两种表示等价”。从哪些角度讨论直线方程？不同的条件下的不同形式——可以问学生：你认为可以从哪些角度确定一条直线？与直线相关的几何问题有哪些？如何利用直线方程进行讨论？——平面几何的经验，讨论“相交线与平行线”，“相交线”中有交点坐标、交角、点到直线的距离等，特例是垂直；“平行线”中，平行的条件，平行线间的距离。还可以讨论哪些问题？二元一次不等式表示平面区域如何提出问题？如何获得猜想？从具体到抽象、从特殊到一般——强调归纳的过程。直角坐标系中，方程x－y－6=0的解为坐标的点在直线l上；同时，直线l上的点的坐标都是方程x－y－6=0的解——由此你能提出什么新问题？(x0,y0)不在直线l上，则x0－y0－6≠0——x0－y0－6＞0或x0－y0－6＜0。坐标平面被直线x－y－6=0分成三个部分，它们与x－y－6＞0，x－y－6=0，x－y－6＜0有什么关系呢？任意取点，代入，找规律——发现“同侧同号”。如何证明“同侧同号”点P0(x0,y0)在直线Ax+By+C=0的“左上方”、“右下方”如何用数量关系表达？y

P(x0,y0)·

O

x获得证明思路的关键对解析几何的基本思想（坐标法）的理解深度；对“先用平面几何眼光观察，再用代数方法解决”的认识；在直角坐标系中，几何方位的代数化——以坐标轴为基准，用不等式表示“上下左右”的关系。所以，归根到底是对直角坐标系、点的坐标等概念的认识和应用。五、优术“术”的基本解释是方法、技艺，如技术、艺术、学术、战术、心术等，是知识、经验、技术、方法、手段等的集合体，也是解决问题的流程和策略。“术”是“明道”后转化而来的具体操作方法，是可以提高办事效果和效率的技巧。“优术”即提升方法、技艺的水平，积累实用的策略，总结经验并从中发现规律（经验之中有规律）等等。例如何“解三角形”教学设计中，加强思想方法、解决问题的策略等方面的思考：如何发现问题；从定性到定量地研究问题；将新问题化归为旧问题；从知识的相互联系性思考问题；等等。如何研究一个数学对象（问题）数学中，往往是在定性研究问题后，希望得到定量的结果。一个三角形有六个要素，由全等三角形的“基本事实”——SSS，SAS，ASA，你能提出什么新的问题？六个要素中，只要知道三个（其中至少有一个是边），三角形就唯一确定。也就是说，其余三个要素可以由这三个要素唯一确定。从定量角度，由这三个要素可以求出其余三个要素。解直角三角形问题的引出关于解一般三角形对于“解三角形”，你会哪些知识？——会解直角三角形，对于一般三角形，只有“内角和定理”。给定两边一夹角，求其他边、角——化归为直角三角形。还有没有其他方法？——从知识的联系性出发，与解三角形相关的知识还有哪些？怎么用？你还能提出哪些问题？对于一个确定的三角形，其外接圆是唯一确定的，因此外接圆的半径可以用三角形的边、角来表示。怎样用三角形的边、角来表示它的外接圆半径？对于一个确定的三角形，它的高、中线、角平分线、面积等都是唯一确定的，怎样用三角形的边、角来表示它们的度量？研究性学习课题——“解三角形”一个三角形包含的各种几何量，如三边的边长、三个内角的度数、面积、外径、内径、高、中线长、角平分线长等，这是三角形这个整体中的各种要素。对它们之间存在的各种函数关系的研究中，可以体现出