【创新设计】2011届高三数学一轮复习 4-3向量的数量积、向量的应用课件 理 苏教版

1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．第3课时向量的数量积、向量的应用【命题预测】向量的数量积是高考命题的重点，主要考查平面向量数量积的性质在向量运算、化简、求值、证明中的应用，考查平面向量平行、垂直的充要条件的应用，以及用向量的数量积解平面几何问题．多出现在填空题与选择题中，难度不会太大．在解答题中，常常与其他章节的内容，例如三角函数、数列、函数等相结合，考查平面向量数量积的综合运用，综合性较强，属于中等偏难的题．【应试对策】1．在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量的夹角． 两向量的夹角描述了两向量的方向差异，求两向量的夹角时一定要注意向量 的方向．例如在△ABC中，向量

的夹角是π－∠B，不是∠B. (1)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b＝0，这是因为任一与a垂直的非零向量b都 有a·b＝0.(2)当a≠0时，由a·b＝a·c也不能推出b＝c.只要b，c在a方向上的投影相等(|b|cos〈b，a〉＝|c|cos〈c，a〉)，都有a·b＝a·c(如图所示，对于直线l上任意点P，

的值都相等)．

(3)数量积运算不满足结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线．2．数量积公式a·b＝|a||b|·cosθ(其中θ为a，b的夹角)的一些简单应用： (1)当θ＝0°时，a·b＝|a||b|，所以求两向量的模的乘积可转化为求向量的 数量积． (2)当θ＝90°时，a·b＝0⇔a⊥b，所以判定两向量垂直常可转化为证明数 量积为零． (3)

＝0⇔点O在以AB为直径的圆上；

>0⇔点O在以AB为直径的圆外⇔∠AOB＜90°.【知识拓展】1.向量积由两向量a和b作一个新向量c，若c满足下列三个条件：(1)向量c的模等于|a||b|sin〈a，b〉；(2)c同时垂直于a和b；；(3)c的方向按“右手法则”确定．则称c为a与b的向量积，记作c＝a×b.1．两个向量的夹角 (1)定义：对于

向量a与b，作 ，则∠AOB=θ， (0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角． (2)特殊情形：当θ=

时，a与b同向；当θ=

时，a与b反向； 当θ=

时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.两个非零180°0°90°2．平面向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量

叫做a与 b的数量积(或内积)，记作a·b，即

，并规定零向量与任 一向量的数量积为

.|a|·|b|·cosθ0a·b＝|a|·|b|·cosθ(2)b在a方向上的投影①定义：设θ是a与b的夹角，则

叫做a在b的方向上的投影，

叫做b在a的方向上的投影，一向量在另一向量的方向上的投影是一个实数，而不是向量，当0°≤θ<90°时，它是

，当90°<θ≤180°时，它是

，当θ＝90°时，它是

.②a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与

的投影|b|cosθ的乘积．|a|cosθ|b|cosθ正数负数b与a的方向上03．向量数量积的运算律 (1)a·b＝

(交换律)．(2)(λa)·b＝

＝

(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝

.(分配律)4．平面向量数量积的坐标表示 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)a·b＝

.(2)|a|＝

，|b|＝

. (3)a⊥b⇔

. (4)若a与b夹角为θ，则cosθ＝

.b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·cx1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0 (5)若c的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则|c|＝

.5．向量方法解决几何问题的步骤 (1)建立几何与向量的联系，用

表示问题中的几何元素，将几何问题转 化为

问题． (2)通过向量的

，研究几何元素之间的关系，如夹角、距离、垂直、 平行等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系．向量运算向量1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是________． ①若a·b＝0，则a＝0或b＝0②若λa＝0，则λ＝0或a＝0 ③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b④若a·b＝a·c，则b＝c 解析：A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0，b＝0. C中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b. D中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c.答案：②2．(2010·江苏通州市高三素质检测)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.

答案：33．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模是________．解析：∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－6b2－a·b＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，解得|a|＝6.答案：64．已知a＝(2,1)，b＝(3，x)，若(2a－b)⊥b，则x的值是________． 解析：∵2a－b＝(4,2)－(3，x)＝(1,2－x)，又∵(2a－b)⊥b， ∴3＋x(2－x)＝0，∴x2－2x－3＝0.解得x＝－1或3. 答案：－1或35．已知力F＝(3,5)，在力F的作用下发生的位移S＝(6,9)， 则F所做的功为________． 解析：W＝F·S＝(3,5)·(6,9)＝18＋45＝63. 答案：631．向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a·b＝|a|·|b|cosθ来计算， 二是利用a·b＝x1x2＋y1y2来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择， 同时要注意数量积运算律的应用．2．数量积中的常用公式: (1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；【例1】已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为，求：(1)(3a－2b)·(a－2b)； (2)|a＋b|. 思路点拨：利用平面向量数量积的定义及运算律，可求出第(1)问； 求|a＋b|可先求(a＋b)2，再开方．解：(1)a·b＝|a|·|b|·cos＝3×4×

a2＝32＝9，b2＝16.∴(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2＝3×9－8×(－)＋64＝91＋48(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×(－)＋16＝25－12∴|a＋b|＝变式1：(1)证明：(a－b)2＝a2－2a·b＋b2； (2)设a、b是夹角为60°的单位向量，求|2a＋b|、|3a－2b|. 解：(1)证明：(a－b)2＝(a－b)·(a－b)＝(a－b)·a－(a－b)·b

＝a2－b·a－(a·b－b2)＝a2－2a·b＋b2. (2)∵|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4|a||b|cos60°＋1＝7， ∴|2a＋b|＝.同理可求|3a－2b|＝.1．非零向量a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2．当向量a与b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线的向量表示．【例2】已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时， 向量ka－b与a＋2b垂直？思路点拨：由(ka－b)⊥(a＋2b)⇒(ka－b)·(a＋2b)＝0， 展开求解即可．解：∵(ka－b)⊥(a＋2b)，∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，∴k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，∴k＝即k为时，向量ka－b与向量a＋2b垂直．在△ABC中，

＝(2,3)，

＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角,求k的值．解：(1)当∠A＝90°时，∵

＝0,2×1＋3k＝0，∴k＝(2)当∠B＝90°时，

＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)．∵

，∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0，∴k＝(3)当∠C＝90°时，∵

＝0，∴－1＋k(k－3)＝0，k2－3k－1＝0，∴k＝∴k的取值为变式2：用向量解决应用问题，首先要把实际问题中的条件和要求(或证)的问题用向量表示出来，然后通过向量的运算求出结果，并把求出的结果解释为实际要求的问题．【例3】在△ABC内求一点P，使AP2＋BP2＋CP2的值最小． 思路点拨：AP2＋BP2＋CP2可转化为向量模的平方来表示，而模的平方又可转化为数量积，所以，可选定一组基底来解决最小值问题．解：设

，则

，于是

＝(p－a)2＋(p－b)2＋p2＝3p2－2(a＋b)·p＋a2＋b2＝∴当p＝(a＋b)时，

取最小值．记D为AB的中点，则a＋b＝2

，于是

∴C，P，D三点共线，且P点是△ABC的重心时，

取最小值，即AP2＋BP2＋CP2的值最小．若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.证明：设

，则a＝e＋c，b＝e＋d，∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2－d2＋2e·c－2e·d①由已知，a2－b2＝c2－d2，②由①②，可得e·c－e·d＝0，即e·(c－d)＝0.∵

＝d－c，∴

＝0，∴AD⊥BC.变式3：1．平面向量a与b的数量积|a|·|b|·cosθ，它是一个实数，而不是向量， 它的值等于两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，其中θ的取值范围是 0°≤θ≤180°.2．向量数量积a·b与实数a、b乘积a·b不同．由a·b＝0，并不能得出a＝0或 b＝0，因为两非零向量夹角为90°时，数量积也为0.【规律方法总结】3．向量的数量积不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，在(a·b)·c与a·(b·c) 中，由于a·b与b·c都是一个实数，设a·b＝λ1，b·c＝λ2，则(a·b)·c＝ λ1c，a·(b·c)＝λ2a，它们分别是与c共线和与a共线的向量，由于a与c不一 定共线，那么λ1c与λ2a的方向不一定相同，故一般情况下， (a·b)·c≠a·(b·c)．4．数量积的消去律不成立，即a·b＝c·b不一定得到a＝c.5．可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题，但要注意两种公式 的灵活运用．6．利用向量垂直的充要条件研究几何中线与线垂直的问题，若易建立适当 的坐标系，得到简单的向量坐标表示，则可以减少运算量，实现了平面几 何问题转化为数量的运算.

【例4】已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|a－kb|＝|ka＋b|，其中k>0. (1)试用k表示a·b，并求出a·b的最大值及此时a与b的夹角θ的值； (2)当a·b取得最大值时，求实数λ，使|a＋λb|的值最小，并对这一结果作出几何解释.

本题可以通过对已知条件两端平方解决，容易出现的问题是对向量模与数量积的关系不清导致错误，如认为|a－kb|＝|a|－|kb|或|a－kb|2＝|a|2－2k|a||b|＋k2|b|2等都会得出错误的结果．第二个易错之处就是在得到a·b＝－后，忽视了k>0的限制条件，求错最值

【错因分析】解：(1)|a－kb|＝|ka＋b|⇒(a－kb)2＝3(ka＋b)2⇒a·b＝－(k>0)．∴a·b＝ ，a·b的最大值为－

此时cosθ＝－，θ＝.∴a·b＝－(k>0)，a·b的最大值为－

此时a与b的夹角θ的值为.【答题模板】(2)由题意，a·b＝－，故|a＋λb|2＝λ2－λ＋1＝

∴当λ＝时，|a＋λb|的值最小，此时·b＝0，这表明⊥b.向量的运算法则有相同的，也有不同的，在命题中千万不要进行盲目类比，特别是关于向量的数量积的运算法则和实数的乘法运算法则完全不同，一定要把这些运算法则分清楚.

【状元笔记】1．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b， 若|a|＝1，求|a|2＋|b|2＋|c|2. 分析：把条件化简整理，根据“向量垂直等价于向量的数量积为零”，寻找向量a，b，c的内在联系．解：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．∵(a－b)⊥c，∴(a－b)·c＝－(a－b)·(a＋b)＝0，∴a2＝b2，∴|b|＝1.∵a⊥b，∴a·b＝0，∴|c|2＝c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2，∴|a|