离散型随机变量分布列

热烈欢迎各位老师莅临指导Xx1x2....xi....xnPp1p2....pi....pn2、离散型随机变量的分布列指出了什么？离散型随机变量的分布列从概率的角度指出了随机变量的分布规律3、离散型随机变量分布列能否反映随机变量取值的平均水平？思考：某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的三种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？

2.3.1离散型随机变量的均值思考：如果混合糖果中的每一颗的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗？实质：根据古典概型，这里的权数是每一种糖果被抽到的概率如果用X表示这颗糖果的价格，则可以得到其分布列为这样合理价格就可以表示为18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(x=36）=23一般地，如果离散型随机变量X的分布列为则称EX=x1p1+x2p2+.......xipi+......xnpn

为随机变量X的均值或数学期望X182436PXx1x2....xi....xnPp1p2....pi....pn

离散型随机变量的性质:

若Y=aX+b,其中ab为常数，则E(aX+b)=aEX+b

证明：因为P(Y=aXi+b)=P(X=xi),i=1，2，3......,n

所以Y的分布列为于是EY=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+.....(axi+b)pi+.......(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+....+xipi+....xnpn)+b(p1+p2+......+pi+....pn)aEX+b即Yax1+bax2+b....axi+b....axn+bpp1p2....pi....pnE(aX+b)=aEX+b

例1、在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分。如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？

分析：1、随机变量X服从两点分布2、根据定义计算均值解：因为P(X=1)=0.7，P(X=0)=（1-0.7）=0.3所以

EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.7+0×0.3=0.7

一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么EX=1×P+0×（1-P)=P

两点分布和二项分布有何联系？两点分布是一种特殊的二项分布，即n=1时的二项分布，二项分布可以看作两点分布的一般形式

若X服从两点分布，则EX=P如果X~(n，p)，则EX=np证明过程如下：思考：随机变量的均值与样本的平均值有何联系和区别？区别：随机变量的均值是常数，而样本的均值是随着样本不同而变化，却是随机变量。联系：二者的计算方法实质上是一样的，都能反映各自取值的平均水平。例2、一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分。学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选一个。分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值分析：学生甲每做一道题，相当于进行一次随机试验，该试验只有两个结果，即“对”和“错”回答了20道题相当于做了20次独立试验，这样学生甲做对的题数X1服从二项分布B(20，0.9)，从而他的得分为5X1

同理，学生乙做对的题数X2服从二项分布B(20，0.25)

解：设学生甲、乙做对的分别为X1和X2，则X1~(20，0.9），X2~(20，0.25）所以EX1=20×0.9=18，EX2=20×0.25=5所以，甲、乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2，因此他们在测验中的成绩的期望分别是E(5X1)=5EX1=5×18=90E(5X2)=5EX2=5×5=25思考：学生甲在这次单元测试中的成绩一定是90分吗？他的均值为90分的含义是什么？结论：学生甲在这次测试中成绩当然不一定会是90分，实际上他的成绩是一个随机变量，可能取值为0，5，10，...，95，100.一次测试只是相当于做了一次试验。其含义是甲在多次类似这样的考试中，他的平均分大约是90分。

例3、根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遭遇大洪水时要损失60000元，遭遇小洪水时要损失10000元，为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水。方案3：不采取措施，希望不发生洪水。试比较哪一种方案好分析：这是一个决策问题。决策的原则应该是平均损失最小。这里的平均损失指的就是损失的随机变量的均值。解：用X1

、X2、

X3

分别表示三种方案的损失采用第一种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即

X1=3800采用第二种方案，遇到大洪水时，损失2000+60000=62000元，没有大洪水时，损失2000元，即同样，采用第三种方案，有

所以，

EX1=3800EX2=62000×P(x2=62000)+2000×p(x2=2000)

=62000×0.01+2000×（1-0.01)=2600EX3

=60000×p(x3=60000)+10000×p(x3=10000)+0×p(x3=0)

=60000×0.01+10000×0.25=3100采用方案2的平均损失最小，所以可选择方案2思考：方案2一定是最好吗？一般地，我们应该这样理解“平均损失”，假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减小到最小程度，由于洪水是否发生及发生的大小都是随机的，所以一次决策采用方案2也不一定是最好的小结：1、离散型随机变量的定义

2、二点分布和二项分布的均值计算方法

3、离散型随机变量的价值与样本平均值联系与区别

4、离散型随机变量均值的含义与应用