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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知椭圆(a>b>0)与双曲线(a>0,b>0)的焦点相同,则双曲线渐近线方程为()A. B.C. D.2.执行如图所示的程序框图,若输出的,则①处应填写()A. B. C. D.3.如图所示,为了测量、两座岛屿间的距离,小船从初始位置出发,已知在的北偏西的方向上,在的北偏东的方向上,现在船往东开2百海里到达处,此时测得在的北偏西的方向上,再开回处,由向西开百海里到达处,测得在的北偏东的方向上,则、两座岛屿间的距离为()A.3 B. C.4 D.4.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图,则它的外接球的表面积为()A.4π B.8π C. D.5.设是虚数单位,则“复数为纯虚数”是“”的()A.充要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件6.若执行如图所示的程序框图,则输出的值是()A. B. C. D.47.已知变量的几组取值如下表:12347若与线性相关,且,则实数()A. B. C. D.8.已知,,则()A. B. C.3 D.49.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查,利用列联表,由计算得,参照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是()A.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星无关”D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星有关”10.已知,则()A.2 B. C. D.311.函数满足对任意都有成立,且函数的图象关于点对称,,则的值为()A.0 B.2 C.4 D.112.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是说:两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设、为两个同高的几何体,、的体积不相等,、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知,是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则__________.14.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为__________.15.已知,,,则的最小值是__.16.函数在的零点个数为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,曲线在点处的切线方程为求a,b的值;证明:.18.(12分)(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系,已知曲线(为参数),在以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)过点且与直线平行的直线交于,两点,求点到,的距离之积.19.(12分)在中,角的对边分别为,若.(1)求角的大小;(2)若,为外一点,,求四边形面积的最大值.20.(12分)在四边形中,,;如图,将沿边折起,连结,使,求证:(1)平面平面;(2)若为棱上一点,且与平面所成角的正弦值为,求二面角的大小.21.(12分)设直线与抛物线交于两点,与椭圆交于两点,设直线(为坐标原点)的斜率分别为,若.(1)证明:直线过定点,并求出该定点的坐标;(2)是否存在常数,满足?并说明理由.22.(10分)在直角坐标系中,直线的参数方程为.(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求的普通方程及的直角坐标方程;(2)求曲线上的点到距离的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
由题意可得,即,代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同,可得:,即,∴,可得,双曲线的渐近线方程为:,故选:A.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法,考查方程思想和运算能力,属于基础题.2.B【解析】
模拟程序框图运行分析即得解.【详解】;;.所以①处应填写“”故选:B【点睛】本题主要考查程序框图,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.B【解析】
先根据角度分析出的大小,然后根据角度关系得到的长度,再根据正弦定理计算出的长度,最后利用余弦定理求解出的长度即可.【详解】由题意可知:,所以,,所以,所以,又因为,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查解三角形中的角度问题,难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.4.B【解析】
由三视图判断出原图,将几何体补形为长方体,由此计算出几何体外接球的直径,进而求得球的表面积.【详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱,底面直角三角形的斜边为2,侧棱长为2且与底面垂直,因为直三棱柱可以复原成一个长方体,该长方体外接球就是该三棱柱的外接球,长方体对角线就是外接球直径,则,那么.故选:B【点睛】本小题主要考查三视图还原原图,考查几何体外接球的有关计算,属于基础题.5.D【解析】
结合纯虚数的概念,可得,再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.【详解】若复数为纯虚数,则,所以,若,不妨设,此时复数,不是纯虚数,所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选:D【点睛】本题考查充分条件和必要条件,考查了纯虚数的概念,理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键,属于基础题.6.D【解析】
模拟程序运行,观察变量值的变化,得出的变化以4为周期出现,由此可得结论.【详解】;如此循环下去,当时,,此时不满足,循环结束,输出的值是4.故选:D.【点睛】本题考查程序框图,考查循环结构.解题时模拟程序运行,观察变量值的变化,确定程序功能,可得结论.7.B【解析】
求出,把坐标代入方程可求得.【详解】据题意,得,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查线性回归直线方程,由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值.8.A【解析】
根据复数相等的特征,求出和,再利用复数的模公式,即可得出结果.【详解】因为,所以,解得则.故选:A.【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模,属于基础题.9.B【解析】
通过与表中的数据6.635的比较,可以得出正确的选项.【详解】解:,可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”,故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题,属于基础题.10.A【解析】
利用分段函数的性质逐步求解即可得答案.【详解】,;;故选:.【点睛】本题考查了函数值的求法,考查对数的运算和对数函数的性质,是基础题,解题时注意函数性质的合理应用.11.C【解析】
根据函数的图象关于点对称可得为奇函数,结合可得是周期为4的周期函数,利用及可得所求的值.【详解】因为函数的图象关于点对称,所以的图象关于原点对称,所以为上的奇函数.由可得,故,故是周期为4的周期函数.因为,所以.因为,故,所以.故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性,一般地,如果上的函数满足,那么是周期为的周期函数,本题属于中档题.12.A【解析】
由题意分别判断命题的充分性与必要性,可得答案.【详解】解:由题意,若、的体积不相等,则、在等高处的截面积不恒相等,充分性成立;反之,、在等高处的截面积不恒相等,但、的体积可能相等,例如是一个正放的正四面体,一个倒放的正四面体,必要性不成立,所以是的充分不必要条件,故选:A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定,意在考查学生的逻辑推理能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据的展开式中第项与第项的二项式系数相等,得到,再利用组合数公式求解.【详解】因为的展开式中第项与第项的二项式系数相等,所以,即,所以,即,解得.故答案为:10【点睛】本题主要考查二项式的系数,还考查了运算求解的能力,属于基础题.14..【解析】分析:由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.详解:由题意可知了,比赛可能的方法有种,其中田忌可获胜的比赛方法有三种:田忌的中等马对齐王的下等马,田忌的上等马对齐王的下等马,田忌的上等马对齐王的中等马,结合古典概型公式可得,田忌的马获胜的概率为.点睛:有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏,可借助“树状图”列举.(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.15..【解析】
因为,展开后利用基本不等式,即可得到本题答案.【详解】由,得,所以,当且仅当,取等号.故答案为:【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值,考查学生的转化能力和运算求解能力.16.【解析】
求出的范围,再由函数值为零,得到的取值可得零点个数.【详解】详解:由题可知,或解得,或故有3个零点.【点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)见解析【解析】分析:第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上,从而建立关于的等量关系式,从而求得结果;第二问可以有两种方法,一是将不等式转化,构造新函数,利用导数研究函数的最值,从而求得结果,二是利用中间量来完成,这样利用不等式的传递性来完成,再者这种方法可以简化运算.详解:(1)解:,由题意有,解得(2)证明:(方法一)由(1)知,.设则只需证明,设则,在上单调递增,,使得且当时,,当时,当时,,单调递减当时,,单调递增,由,得,,设,,当时,,在单调递减,,因此(方法二)先证当时,,即证设,则,且,在单调递增,在单调递增,则当时,(也可直接分析显然成立)再证设,则,令,得且当时,,单调递减;当时,,单调递增.,即又,点睛:该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题,在求解的过程中,涉及到的知识点有导数的几何意义,有关切线的问题,还有就是应用导数证明不等式,可以构造新函数,转化为最值问题来解决,也可以借用不等式的传递性,借助中间量来完成.18.(1)曲线:,直线的直角坐标方程;(2)1.【解析】试题分析:(1)先根据三角函数平方关系消参数得曲线化为普通方程,再根据将直线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)根据题意设直线参数方程,代入C方程,利用参数几何意义以及韦达定理得点到,的距离之积试题解析:(1)曲线化为普通方程为:,由,得,所以直线的直角坐标方程为.(2)直线的参数方程为(为参数),代入化简得:,设两点所对应的参数分别为,则,.19.(1)(2)【解析】
(1)根据正弦定理化简等式可得,即;(2)根据题意,利用余弦定理可得,再表示出,表示出四边形,进而可得最值.【详解】(1),由正弦定理得:在中,,则,即,,即.(2)在中,又,则为等边三角形,又,-当时,四边形的面积取最大值,最大值为.【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的应用,属于基础题.20.(1)证明见详解;(2)【解析】
(1)由题可知,等腰直角三角形与等边三角形,在其公共边AC上取中点O,连接、,可得,可求出.在中,由勾股定理可证得,结合,可证明平面.再根据面面垂直的判定定理,可证平面平面.(2)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,由点F在线段上,设,得出的坐标,进而求出平面的一个法向量.用向量法表示出与平面所成角的正弦值,由其等于,解得.再结合为平面的一个法向量,用向量法即可求出与的夹角,结合图形,写出二面角的大小.【详解】证明:(1)在中,为正三角形,且在中,为等腰直角三角形,且取的中点,连接,,,平面平面平面..平面平面(2)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,设.则设平面的一个法向量为.则,令,解得与平面所成角的正弦值为,整理得解得或
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