【金教程】高考数学总复习 8.5轨迹问题课件 文 新人教B

最新考纲解读1．了解解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题的方法．2．理解轨迹的概念，能够根据所给条件选择适当的直角坐标系，运用求轨迹的常用方法求曲线的轨迹方程．3．掌握求动点的轨迹方程的几种常见方法．高考考查命题趋势1．求动点轨迹方程是解析几何的基本问题之一，是高考的热点．2．解轨迹问题的出发点有二，一是找出约束动点变动的几何条件，二是找出影响动点变动的因素．3．在2009年高考中全国共有4套试题在此命题主要考查求动点轨迹方程或圆锥曲线方程．如2009湖南20；2009宁夏20，估计2011年求圆锥曲线方程仍是高考的热点，难度偏难.1.动点轨迹看成适合某几何条件的点的集合．2．求动点轨迹方程的方法(1)轨迹类型已确定的，一般用待定系数法．(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．(3)直接法：动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法．(4)相关点法：一动点随另一动点的变化而变化，一般用坐标转移法又叫相关点法．(5)参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但较容易发现这个动点的运动常常受另一个变量的影响，我们称这个变量为参数，根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别表示动点的坐标，间接地把坐标x，y联系起来，得到用参数表示的方程．这种方法叫参数法．如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程．(6)交轨法：求两动曲线的交点的问题，常常通过解方程组得出交点坐标，然后再消去参数求出轨迹方程的方法．(7)几何法：若所求的轨迹满足某些几何条件(如：线段的垂直平分线，角平分线的性质)．根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法．3．直接法求轨迹方程的方法步骤(1)建系：建立适当的直角坐标系．(2)设点：设动点M的坐标为(x，y)．(3)列式：列出几何等式：P＝{M|P(M)}．(4)代换：代入坐标M(x，y)，列出方程F(x，y)＝0.(5)化简：化简成最简方程形式．(6)证明：(略)，注意对特殊情况的讨论．4．体会“设而不求”在解题中的简化运算功能(1)求弦长时用韦达定理设而不求．(2)弦中点问题用“点差法”设而不求．5．体会数学思想方法方程思想、转化思想、数形结合等思想方法在解题中的运用.1.求轨迹方程与求轨迹的区别(1)若是求轨迹方程，我们应选择合适的方法求出其方程，最后“补漏”和“去掉增多”的点即可，若轨迹有不同的情况，应分类讨论，以保证它的完整性．即求轨迹方程就是求得的方程加限制条件．(2)若求轨迹，则不仅要求求出其轨迹方程，而且还需要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚．最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性．2．估计计2011年高高考对求求轨迹方方程仍是是重点(1)对对于求曲曲线(或或轨迹)的方程程这类问问题，高高考常常常不给出出图形或或不给出出坐标系系，以考考查学生生理解解解析几何何问题的的基本思思想方法法和能力力．(2)借借助求轨轨迹方程程，进而而深入考考查与圆圆锥曲线线有关的的最值问问题、参参数范围围问题，，这类问问题的综综合性较较大，解解题中需需要根据据具体问问题、灵灵活运用用解析几几何、平平面几何何、函数数、不等等式、三三角知识识，正确确的构造造不等式式或方程程，体现现了解析析几何与与其他数数学知识识的联系系.一、选择题题1．与两点点(－3,0)，(3,0)距离的平平方和等于于38的点点的轨迹方方程是()A．x2－y2＝10B．x2＋y2＝10C．x2＋y2＝38D．．x2－y2＝38[解析]设动点的坐坐标为(x，y)由题意得得：(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝38，化简得：x2＋y2＝10.[答案]B2．若－－|x－y＋3|＝0，则点M(x，y)的轨迹是是()A．圆B．椭圆C．双曲线线D．抛物物线[答案]C3．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则则动点P的轨迹是()A．双曲线线B．双曲线线左支C．一条射射线D．双曲线线右支[解析]由双曲线的的第一定义义知动点的的轨迹是一一条射线．．[答案]C4．(辽宁高考考卷)已知知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足＝x2，则点P的轨迹是()A．圆B．．椭圆C．双曲线线 D．．抛物线[解析]∵P(x，y)满足＝x2，∴(x＋2)(x－3)＋y2＝x2，化简得：y2＝x＋6.即点点P的轨迹是一一条抛物线线．[答案]D5．过椭圆圆4x2＋9y2＝36内一一点P(1,0)引动弦AB，则AB的中点M的轨迹方程程是()A．4x2＋9y2－4x＝0B．4x2＋9y2＋4x＝0C．4x2＋9y2－4y＝0D．4x2＋9y2＋4y＝0[答案]A二、解答题6．已知抛物物线C：y2＝4x，若椭圆左焦焦点及相应的的准线与抛物物线C的焦点F及准线l分别重合，试试求椭圆短轴轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程．．[解题思路]探求动点满足足的几何关系系，在转化为为方程．[解]由抛物线y2＝4x，得焦点F(1,0)，，准线l：x＝－1.设P(x，y)，则B(2x－1,2y)，设椭圆中心为为O′，则|FO′|∶|BF|＝e，又设点B到l的距离为d，则|BF|d＝e，∴|FO′|∶|BF|＝|BF|∶d，即(2x－2)2＋(2y)2＝2x·(2x－2)，，化简简得得P点轨迹方方程为y2＝x－1(x>1).例1(1)在在直角坐坐标平面面内，已已知两点点A(－2,0)和和B(2,0)，Q为该平面面内的一一动点且且线段BQ的垂直平平分线交交AQ于点P.|AQ|＝6.证明|PA|＋|PB|为常数数，并写写出点P的轨迹T的方程．．[证明]如图所示示：连结PB.∵线段段BQ的垂直平平分线与与AQ交于点P，∴|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，，∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PQ|＝|AQ|＝6(常数)．又|PA|＋|PB|>|AB|，从而而P点的轨迹迹T是中心在在原点，，以A、B为两个焦焦点，长长轴在x轴上的椭椭圆，其中，2a＝6,2c＝4，∴∴a＝3，c＝2，b2＝5.(2)若若点P到直线x＋2＝0的距离离比它到到点(3,0)的距离离小1，，则点P的轨迹为为()A．圆B．椭椭圆C．双曲曲线D．抛物物线[解析]把P到直线x＝－2向向左平移移一个单单位，两两个距离离就相等等了，它它就是抛抛物线的的定义．．[答案案]D[解]若将原原方程程平方方，化化简后后并不不能直直接判判断出出轨迹迹是什什么曲曲线，，注意意式子子结构构的特特点，，左边边可看看成点点M到点(2,0)的距距离，，从而而可联联想右右边可可化为为点M到直线线x＋y－2＝＝0的的距离离，即即有，，由此联联想到到椭圆圆的第第二定定义，，就很很简单1．定定义法法：如如果动动点的的轨迹迹满足足某种种已知知曲线线的定定义，，则可可依定定义写写出轨轨迹方方程．．2．借借助圆圆锥曲曲线的的定义义求某某些轨轨迹问问题，，如：：椭圆圆、双双曲线线、抛抛物线线的定定义是是经常常考查查的内内容，，除了了在大大题中中考查查轨迹迹时用用到外外，经经常在在选择择题、、填空空题中中也有有出现现，属属中等等偏易易题．．3．在在例1(2)中中考查查抛物物线的的定义义，将将点P到x＝－2的距距离，转化化为点P到x＝－3的距距离，体现现了数学上上的转化与与化归的思思想．思考探究1(春季季高考题)已知椭圆的的焦点是F1、F2，P是椭圆上一一个动点，，如果延长长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动动点Q的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线线一支D．抛抛物线[解析]因为|PQ|＝|PF2|，所以|QF1|＝|PQ|＋|PF1|＝|PF2|＋|PF1|.由椭圆第一一定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，故|QF1|＝2a，根据圆的定定义知点Q的轨迹是圆圆．[答案]A思考探究2一动圆与圆圆x2＋y2＋6x＋5＝0外外切，同时时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求求动圆圆心心M的轨迹方程程，并说明明它是什么么样的曲线线．[解解法法一一]设动动圆圆圆圆心心为为M(x，y)，，半半径径为为R，设设已已知知圆圆的的圆圆心心分分别别为为O1、O2，将圆圆方方程程分分别别配配方方得得：：(x＋3)2＋y2＝4，，(x－3)2＋y2＝100，，当⊙⊙M与⊙⊙O1相切切时时，，有有|O1M|＝＝R＋2，，①①当⊙⊙M与⊙⊙O2相切切时时，，有有|O2M|＝＝10－－R，②②将①①②②两两式式的的两两边边分分别别相相加加，，得得|O1M|＋＋|O2M|＝＝12，，[解解法法二二]由解解法法一一可可得得|O1M|＋由以上方程知，动圆圆心M(x，y)到点O1(－3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为O1(－3,0)、O2(3,0)，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，∴2c＝6,2a＝12，∴c＝3，a＝6，∴b2＝36－9＝27，∴圆心轨迹方程为 ＝1.轨迹是椭圆.1．．当当动动点点所所满满足足的的集集合合条条件件已已知知时时，，就就可可用用直直接接法法求求此此动动点点的的轨轨迹迹方方程程．．2．．在在求求动动点点轨轨迹迹方方程程时时应应注注意意它它的的纯纯粹粹性性和和完完备备性性，，防防止止遗遗漏漏点点和和混混杂杂点点．．3．．常常见见的的求求轨轨迹迹方方程程的的方方法法：：单动动点点的的轨轨迹迹问问题题————直直接接法法＋＋待待定定系系数数法法，，如如本本题题就就只只有有一一个个动动点点．．例3已知知△△ABC的顶顶点点A，B的坐坐标标分分别别为为A(0,0)，，B(6,0)，，顶顶点点C在曲曲线线y＝x2＋3上上运运动动，，求求△△ABC重心心的的轨轨迹迹方方程程．．[解解]设G(x，y)为为所所求求轨轨迹迹上上任任一一点点，，顶顶点点C的坐坐标标为为(x0，y0)，，则则由由重重心心坐坐标标公公式式得得：：因为为顶顶点点C(x0，y0)在在曲曲线线y＝x2＋3上上，，所所以以有有3y＝(3x－6)2＋3，，整理理得得：：y＝3(x－2)2＋1，，即即为为所所求求轨轨迹迹方方程程1．．本本例例是是求求轨轨迹迹方方程程中中的的常常见见题题型型，，难难度度适适中中，，本本题题解解法法称称为为代代入入法法(或或相相关关点点法法)，，此此法法适适用用于于已已知知一一动动点点的的轨轨迹迹方方程程，，求求另另一一动动点点轨轨迹迹方方程程的的问问题题．．即即双双动动点点的的轨轨迹迹问问题题——代代入入法法．．2．．用用代代入入法法求求轨轨迹迹方方程程时时，，要要注注意意对对动动点点所所满满足足的的条条件件进进行行等等价价转转化化．．如如本本例例中中曲曲线线y＝x2＋3上上没有有与A、B共线的的点，，因此此，整整理就就得到到轨迹迹方程程；若若曲线线方程程为y＝x2－3，，则应应去掉掉与A、B共线时时所对对应的的重心心坐标标．3．．若若题题中中没没有有给给出出坐坐标标系系，，一一定定要要根根据据题题中中的的数数据据选选择择合合适适的的坐坐标标系系，，这这样样能能使使所所求求轨轨迹迹方方程程简简单单．．思考探究4已知双曲线－－y2＝1有动点P，F1，F2是曲线的两个个焦点，求△△PF1F2的重心M的轨迹方程．．例4抛物线x2＝4y的焦点为F，过点(0[解]

设直线AB：y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x，y)，由题意得：F(0,1)．又AB和RF是平行四边形形的对角线，，∴x1＋x2＝x，y1＋y2＝y＋1.而y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝4k2－2，，消去k得x2＝4(y＋3)．由于直线和抛抛物线交于不不同两点，∴Δ＝16k2－16>0，，∴k>1或k<－1，∴x>4或x<－4.∴顶点R的轨迹方程为为x2＝4(y＋3)，且|x|>4.1．如果求动动点P(x，y)中x、y的关系不易找找到，也没有有相关信息可可用时，则可可先考虑将x，y用一个或几个个参数来表示示，消去参数数得轨迹方程程，此法称为为参数法．2．参数法中中常选变角、、变斜率等为为参数．注意意参数的取值值范围对方程程中的x和y范围的影响．．思考探究5已知点A在椭圆上上运运动，点B(0,9)、、点M在线段AB上，且，，试求动动点M的轨迹方程．．[解]由题意知B(0,9)，，设A(12cosα，6sinα)，并且设M(x，y)．1.△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长为2a，边BC上的高为b，边BC沿一条定直线线移动，求△△ABC外心的轨迹方方程．[解]以BC所在定直线为为x轴，过A作x轴的垂线为y轴，建立直角角坐标系，则则A点的坐标为(0，b)，设△ABC的外心为M(x，y)．2．(广东高考，，18)设函数f(x)＝－x3＋3x＋2分别在x1、x2处取得极小值值、极大值，，xOy平面上点A、B的坐标分别为为(x1，f(x1))、(x2，f(x2))．该平面面上动P满足，，点Q