【走向高考】高三数学一轮复习 132坐标系与参数方程课件（北师大）

知识梳理1．极坐标系在平面内取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线

，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以

为始边，OM为终边的角度，ρ叫作点M的

，θ叫做点M的

，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ、θ)．OxOx极径极角当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值；当ρ＜0时，点M(ρ、θ)的位置可以按下列规则确定：作射线OP，使∠xOP＝θ，在OP的反向延长线上取一点M，使|OM|＝|ρ|，这样点M的坐标就是(ρ，θ)．平面内一点的极坐标可以有无数对，当k∈Z时，

表示同一个点．(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)2．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ、θ)，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除原点外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的．点M的极坐标(ρ，θ)和直角坐标(x，y)的关系式为：

.θ所取值要由(x，y)所在象限确定．3．柱坐标在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z轴，这样就建立了柱坐标系，设M(x，y，z)为空间一点并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r、θ)则这样的三个数r，θ，z构成的有序数组(r，θ，z)就叫做点M的柱坐标，这里规定r，θ，z的变化范围为0≤r＜＋∞0≤θ＜2π－∞＜z＜＋∞特别地，r＝常数，表示的是

；θ＝常数，表示的是

；z＝常数，表示的是

．显然点M的直角坐标与柱坐标的关系为

.以z轴为轴的圆柱面过z轴的半平面与xOy平面平行的平面特别地r＝常数，表示的是

；φ＝常数，表示的是

；θ＝常数，表示的是

．点M的直角坐标与球坐标的关系为：

.以原点为球心的球面原点为顶点，z轴为x轴的圆锥面平行于z轴的半平面5．直线的参数方程经过点P(x0，y0)，倾斜角是α的直线的参数方程为经过过两两个个定定点点Q(x1，y1)P(x2，y2)(其其中中x1≠x2)的的直直线线的的参参数数方方程程为为6．．圆圆的的参参数数方方程程7．．圆圆锥锥曲曲线线的的参参数数方方程程(1)椭椭圆圆的的参参数数方方程程[点点评评]注意意转转化化时时两两边边同同乘乘以以ρ的技技巧巧．．结结合合圆圆的的位位置置关关系系及及两两圆圆长长度度的的最最大大值值在在何何时时取取得得，，即即可可解解得得．．[例例2]O为已已知知圆圆O′外外的的定定点点，，点点M在圆圆O′上上，，以以OM为边边作作正正三三角角形形OMN，当当点点M在圆圆O′上上移移动动时时，，求求点点N的轨轨迹迹方方程程(O，M，N逆时时针针排排列列)．．[解解析析]以O为极极点点，，以以O和已已知知圆圆圆圆心心O′所所在在射射线线为为极极轴轴，，建建立立极极坐坐标标系系，，如如图图5所所示示，，设设OO′＝＝ρ0，圆圆的的半半径径为为r，由余余弦弦定定理理得得圆圆O′的的极极坐坐标标方方程程为为ρ2－2ρ0ρcosθ＋ρ02－r2＝0.设N(ρ，θ)，，M(ρ1，θ1)，，∵点M在圆圆上上，，∴ρ12－2ρ0ρ1cosθ1＋ρ02－r2＝0.①因为为△OMN为正正三三角角形形．．[点点评评]对于于有有些些几几何何图图形形，，选选用用极极坐坐标标系系可可以以使使建建立立的的方方程程更更加加简简单单．．本本题题涉涉及及角角度度、、长长度度，，选选用用极极坐坐标标系系则则更更易易将将已已知知的的几几何何条条件件转转化化为为数数量量关关系系．．⊙O1和⊙O2的极极坐坐标标方方程程分分别别为为ρ＝4cosθ，ρ＝－－4sinθ.(1)写写出出⊙O1和⊙O2的圆圆心心的的极极坐坐标标；；(2)求求经经过过⊙O1和⊙O2交点点的的直直线线的的极极坐坐标标方方程程．．(2)以以极点为为原点，，极轴为为x轴正半轴轴，建立立平面直直角坐标标系，两两坐标系系中取相相同的长长度单位位．x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ.所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐坐标方程程．同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐坐标方程程．[例3]已知知直线l经过点A(1,2)，倾倾斜角为为(1)求求直线l的参数方方程；(2)求求直线l和圆x2＋y2＝9的两两个交点点到点A的距离之之积．[分析]根据直线线参数方方程中参参数t的几何意意义，运运用一元元二次方方程根与与系数的的关系求求解．[例4]在圆圆x2＋y2－4x－2y－20＝＝0上求求两点A和B，使它们们到直线线4x＋3y＋19＝＝0的距距离分别别最短和和最长．．[分析]利用圆的的参数方方程求解解．1．关于于平面直直角坐标标系中的的伸缩变变换函数y＝f(ωx)(x∈R)(其中中ω＞0，且且ω≠1)的的图像，，可以看看作把f(x)图像上上所有点点的横坐坐标缩短短或伸长长为原来来的(纵坐坐标不变变)而得得到的．．函数y＝Af(x)(x∈R)(其中中A＞0且A≠1)的的图像，，可以看看作f(x)图像上上所有点点的纵坐坐标伸长长(当A＞1时)或缩短短(当0＜A＜1时)到原来来的A倍(横坐坐标不变变)而得得到的．．2．关于于极坐标标系(1)极极坐标系系的四要要素：①极点；②极轴；③长度单位位；④角度单位位和它的的正方向向，四者者缺一不不可．(2)由由极径的的意义知知ρ≥0，当当极角θ的取值范范围是[0,2π)时时，平面面上的点点(除去去极点)与极坐坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建建立一一一对应关关系，约约定极点点的极坐坐标是极极径ρ＝0，极极角可取取任意角角．(3)极极坐标与与直角坐坐标的重重要区别别：多值值性．在在直角坐坐标系中中，点与与直角坐坐标是““一对一一”的关关系；在在极坐标标系中，，由于终终边相同同的角有有无数个个，即点点的极角角不唯一一，因此此点与极极点是““一对多多”的关关系．但但不同的的极坐标标可以写写出统一一的表达达式．如如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作为为点M的极坐标．3．参数方程程和普通方程程的互化(1)化参数数方程为普通通方程：消去去参数．常用用的消参方法法有代入消去去法、加减消消去法、恒等等式(三角的的或代数的)消去法．(2)化普通通方程为参数数方程：引入入参数，即选选定合适的参参数t，先确定一个个关系x＝f(t)〔或y＝φ(t)〕，再代入入普通方程F(x，y)＝0，求得得另一关系y＝φ(t)〔或x＝f(t)〕．(3)消参后后应将原参数数的取值范围围相应地转化化为变量x(或y)的取值范围围．4．直线与圆圆锥曲线的参参数方程的应应用(1)根据直直线的参数方方程的标准式式中t的几何意义，，有如下常用用结论：①直线与圆锥曲曲线相交，交交点对应的