【学海导航】高三数学第一轮总复习 9.9 棱柱课件

第九章直线、平面、简单几何体19.9棱

柱考点搜索●棱柱及其底面、侧面、侧棱、高等概念，斜棱柱、直棱柱、正棱柱的概念●棱柱的基本性质，平行六面体的有关概念和性质高2高考猜想1.以小题形式考查棱柱的有关概念和性质.2.有关棱柱的棱长、高、面积等几何量的计算.3.以棱柱为背景的线面位置关系、角和距离的分析与求解.31.如果一个多面体有①________互相平行,而其余每相邻两个面的②______互相平行,这样的多面体叫做棱柱,两个互相平行的面叫做棱柱的③______，其余各面叫做棱柱的④______,两侧面的公共边叫做棱柱的⑤______,两个底面所在平面的⑥__________叫做棱柱的高.2.侧棱⑦__________底面的棱柱叫做斜棱柱，侧棱⑧________底面的棱柱叫做直棱柱，底面是⑨__________的直棱柱叫做正棱柱.两个面交线底面侧面侧棱公垂线段不垂直于垂直于正多边形4

3.

棱柱的各个侧面都是⑩____________；所有的侧棱都

______;直棱柱的各个侧面都

______;正棱柱的各个侧面都是

___________.

4.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的

______________.

5.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是

____________.

6.底面是

___________的四棱柱叫做平行六面体,_________________的平行六面体叫做直平行六面体,底面是______的直平行六面体叫做长方体.___________的长方体叫做正方体.111213141516171819平行四边形相等矩形全等的矩形全等的多边形平行四边形平行四边形侧棱垂直于底面矩形棱长都相等5

7.平行六面体的对角线___________,并且在_____处互相平分.

8.长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的_______.

9.设直棱柱的底面周长为c，侧棱长为l则其侧面积S侧=____.

10.设棱柱的底面积为S，高为h，则其体积V=_____.2021222324交于一点交点平方和clSh6

盘点指南：①两个面；②交线；③底面；④侧面；⑤侧棱；⑥公垂线段；⑦不垂直于；⑧垂直于；⑨正多边形；⑩平行四边形；相等；矩形；全等的矩形；全等多边形；平行四边形；平行四边形；侧棱垂直于底面；矩形；棱长都相等；交于一点；交点；平方和；cl;Sh11121314151617181920212223247

1.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部

解：由AC⊥AB，AC⊥BC1，知AC⊥平面ABC1，从而平面ABC1⊥平面ABC，因此，C1在底面ABC上的射影H必在两面的交线AB上.A8如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为

，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点，EF∩BD=G.则点D1到平面B1EF的距离为()A.B.C.D.

解：在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H.9

因为平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，所以D1H⊥平面B1EF.所以点D1到平面B1EF的距离d=D1H.

方法1：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1·sin∠D1B1H.因为D1B1=A1B1==4，sin∠D1B1H=sin∠B1GB==，所以d=D1H=.10方法2：因为△D1HB1∽△B1BG，所以D1HB1B=D1B1B1G.所以d=D1H=方法3：连结D1G，则△D1GB1的面积等于正正方形DBB1D1面积的一半，，即所以11在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边及其内部部运动，则M只需满足条件件_________时，就有MN⊥AC.解：本题答案不唯唯一，当点M在线段FH上时均有MN⊥AC.121.在直平行六面面体ABCD-A1B1C1D1中，已知△BDC1和△ACD1都是正三角形形.求证：这个直直平行六面体体是正方体.证明：由已知BC1=DC1，∠BCC1=∠DCC1=90°，CC1=CC1，所以△BCC1≌△DCC1，所以BC=DC，从而底面ABCD为菱形.题型1判断或证明棱棱柱的类型13因为△ACD1为正三角形，，所以AC=AD1.又BC1=AD1，所以AC=BC1.因为BD=BC1，所以AC=BD，从而底面ABCD为正方形，所所以直平行六六面体ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱.因为AC=BC1，BC=BC，∠ABC=∠C1CB=90°，所以△ABC≌△C1CB，所以AB=CC1.故该直平行六六面体为正方方体.14点评：棱柱、直棱柱柱、正棱柱等等之间具有一一定的包含关关系，而正方方体又是特殊殊的正四棱柱柱，判断或证证明一个棱柱柱为特殊的棱棱柱，找齐定定义中的条件件即可.15已知正四棱柱柱ABCD—A1B1C1D1中，面对角线线A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.求证：此四棱棱柱为正方体体.证明：设AB=a，B1B=b，过点B作BO⊥B1C于O，连结A1O.由A1B1⊥平面BCC1B1，得BO⊥A1B1，所以BO⊥平面A116所以又因为为BB1·BC=BO··B1C，所以，所以以即(a-b)2=0，，则a=b，即AB=BB1.所以以此四四棱柱柱为正正方体体.172.如图，，在斜斜三棱棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AC=∠ACB=，∠AA1C=，侧棱棱BB1与底面面所成成的角角为，AA1=，BC=4.求斜三三棱柱柱的底底面积积和高高.解:在Rt△△AA1C中，AC=AA1·tan∠∠AA1C==4.所以S△ABC=××4××4=8.题型型2棱柱柱中中的的有有关关计计算算18作B1H⊥平面ABC，垂足为H，则∠B1BH=.在Rt△B1BH中，B1H=BB1·sin∠B1BH=AA1·sin==6.点评：棱柱的性性质是解解决棱柱柱有关计计算的基基础，而而合理地地将条件件及所求求转化到到某些三三角形中中则是关关键.空间中的的计算问问题大多多是转化化到一些些三角形形中，运运用边角角关系去去解.19正三棱柱柱ABC-A1B1C1的底面边边长为，高为2.过点B作平行于棱AC的截面，，使截面面与底面成成60°的二面角角，求这个截截面的面面积.解：连结A1B、C1B，取A1C1的中点D，连结BD、B1D，则BD⊥A1C1，B1D⊥A1C1.20由已知，，B1D=sin60°=3，BB1=2，所以在Rt△BB1D中，tan∠∠BDB1=所以∠BDB1＜60°，从而截截面与上上底面A1B1C1相交，设设分别与与A1B1、C1B1相交于E、F，交B1D于M，连结BM.因为A1C1∥平面BEF，所以A1C1∥EF，所以B1M⊥EF，BM⊥EF，所以∠BMB1为截面与与底面所所成的角角.21由已知∠BMB1=60°.在Rt△BB1M中，在Rt△B1ME中，EM=B1Mtan30°=，所以EF=，所以S截=EF·BM=.223.如图，斜三棱棱柱ABC-A1B1C1中，两个侧面面AC1和AB1的面积之比为5∶8，它们所成的的二面角为60°.棱柱的侧面积积为60cm2，体积为cm3，求棱柱的侧侧棱长.解：考虑斜三棱柱柱的一个直截面DEF.如图.因为DF⊥AA1，DE⊥AA1，所以∠EDF为题中所述的二面角的的平面角，即即∠EDF=60°，题型3有关棱柱侧面面积和体积的的分析与计算算23且=DF∶DE=5∶8.设DE=8x，，DF=5x，则在△EDF中，由余弦定定理得EF=7x.再设侧棱长为为l，则有方程组解得l=6.即棱柱的侧棱棱长为6cm.24点评：棱柱的侧面积积、底面积及及体积的计算算是立体几何何中常见的计计算题，对一一些常见结论论须熟悉.如如棱柱的体积积等于底面积积乘以高，也也可是直截面面(即垂直侧侧棱的截面)乘以侧棱长长；三棱柱三三个侧面面积积满足余弦定定理等.25平行六面体相相交于一个顶顶点的三条棱棱的长分别是是a、b、c，三条棱中每每两条的夹角角都是60°°，求它的体体积.解：如图，取AA1=c，AB=a，AD=b.因为∠A1AD=∠A1AB，所以A1在底面上的射射影O在∠DAB的平分线上.作作OE⊥AB于E，连结A1E.由三垂线定理知A1E⊥AB.26因为∠A1AE=60°，所以以AE=c.在Rt△OAE中，由已知得得∠OAE=30°，所以OA=c.所以所以平行六面面体的体积为为271.有两个面互相相平行，其余余各面都是平平行四边形的的多面体不一一定是棱柱.2.斜棱柱与直棱棱柱是并列概概念，正棱柱柱是直棱柱的的子概念，即即“欲正先直直”.3.从集合观点分分析，{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体体}{平行六