抛物线及其标准方程

小结：抛物线极其标准方程第一页，共42页。第二页，共42页。第三页，共42页。抛物线的生活实例抛球运动第四页，共42页。当0<e<1时是椭圆当e>1时是双曲线当e=1是？复习、引题：第五页，共42页。画抛物线第六页，共42页。抛物线的定义：定点F叫做抛物线的焦点；定直线L

叫做抛物线的准线．平面内到定点F与到定直线L的间隔相等的点的轨迹叫抛物线.LFKMNF在l上时，轨迹是过点F垂直于L的一条直线。第七页，共42页。注意平面上与一个定点F和一条定直线l〔F不在l上〕的间隔相等的点的轨迹叫做抛物线。F在l上时，轨迹是过点F垂直于L的一条直线。第八页，共42页。二、标准方程··FMlN如何建立直角坐标系？想一想？求曲线方程的基本步骤是怎样的？步骤：〔1〕建系〔2〕设点〔3〕列式〔4〕化简〔5〕证明第九页，共42页。标准方程(1)(2)(3)LFKMNLFKMNLFKMNxxxyyyooo第十页，共42页。二、标准方程xyo··FMlNK设︱KF︱=p则F（，0），l：x=-

p2p2设点M的坐标为〔x，y〕，由定义可知，化简得y2=2px（p＞0）2取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线y轴第十一页，共42页。方程y2=2px〔p＞0〕叫做抛物线的标准方程其中p为正常数，它的几何意义是:

焦点到准线的距离

抛物线及其标准方程一.定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的间隔相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点定直线l叫做抛物线的准线。二.标准方程:yox··FMlNK第十二页，共42页。则F（，0），l：x=-

p2p2

一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.方程y2=2px〔p＞0〕表示抛物线的焦点在X轴的正半轴上 抛物线的标准方程还有几种不同的形式?它们是如何建系的?第十三页，共42页。yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒第十四页，共42页。

根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、准线方程对应关系，如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？想一想:第一：一次项的变量为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上;第二：一次项系数的正负决定了抛物线的开口方向.

第十五页，共42页。例1〔1〕抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；〔2〕抛物线的方程是y=－6x2，求它的焦点坐标和准线方程；〔3〕抛物线的焦点坐标是F〔0，-2〕，求它的标准方程。解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－,０）准线方程为x=-－.3232

112解:方程可化为:x=-－y,故p=－,焦点坐标为(0,-－),准线方程为y=－.161241242解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x=-8y2第十六页，共42页。练习：1、根据以下条件，写出抛物线的标准方程：〔1〕焦点是F〔3，0〕；（2）准线方程是x=；〔3〕焦点到准线的间隔是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y第十七页，共42页。2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

（1）y2=20x（2）x2=y（3）x2+8y=0〔5，0〕x=-5（0，—）18y=-—18y=2(0,-2)第十八页，共42页。例2、求过点A〔-3，2〕的抛物线的标准方程。．AOyx解：当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，得p=当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=x

。第十九页，共42页。考虑题、M是抛物线y2=2px〔P＞0〕上一点，假设点M的横坐标为X0，那么点M到焦点的间隔是

————————————X0+—2pOyx．FM．第二十页，共42页。小结：1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应关系以及判断方法2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、准线、方程3、求标准方程〔1〕用定义；〔2〕用待定系数法第二十一页，共42页。P71考虑：二次函数的图像为什么是抛物线？

当a>0时与当a<0时，结论都为：第二十二页，共42页。范围1、由抛物线y2=2px〔p>0〕有所以抛物线的范围为二、探究新知如何研究抛物线y2=2px〔p>0〕的几何性质?第二十三页，共42页。对称性2、关于x轴对称即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称.那么(-y)2=2px假设点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，第二十四页，共42页。顶点3、定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p>0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p>0)的顶点〔0，0〕.注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。第二十五页，共42页。离心率4、P(x,y)抛物线上的点与焦点的间隔和它到准线的间隔之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p>0)的离心率为e=1.

下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。第二十六页，共42页。〔二〕归纳：抛物线的几何性质lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px〔p>0〕y2=-2px〔p>0〕x2=2py〔p>0〕x2=-2py〔p>0〕x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x轴y轴1第二十七页，共42页。特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;P(x,y)第二十八页，共42页。补充〔1〕通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2P〔2〕焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：BA第二十九页，共42页。例1、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。三、典例精析第三十页，共42页。解法1

F1(1,0),第三十一页，共42页。解法2

F1(1,0),

例1、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。第三十二页，共42页。

解法3

F1(1,0),

|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8ABFA1B1例1、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。第三十三页，共42页。例1、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。小结：第三十四页，共42页。变式1：过〔2，0〕点作斜率为1的直线l，交抛物线于A,B两点，求．过点M〔2，0〕作斜率为1的直线L为:y=x-2FAB第三十五页，共42页。⑴只有一个公共点第三十六页，共42页。⑵有两个公共点⑶没有公共点第三十七页，共42页。第三十八页，共42页。例3,抛物线的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(1，5),求的最小值，并求出取最小值时P点的坐标。A(1,5)FlQOPP第三十九页，共42页。例3,抛物线的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点求的最小值，并求出取最小值时P点的坐标。A(3,2)FlQOPA(3，2),PB第四十页，共42页。1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，假如，那么=〔〕〔A〕10〔B〕8〔C〕6〔D〕42．M为抛物线上一动点，F为抛物线的焦点，定点，那么的最小值为〔〕〔A〕3〔B〕4〔C〕5〔D〕6★3．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，假设线段PF、QF的长分别是p、q，那么=〔〕〔A〕〔B〕