【讲座】《数学核心素养：从直观到推理-以曲线与方程为例》

数学核心素养：

从直观到推理——以《曲线与方程》为例一、数学直观与数学抽象

最初的抽象是基于直观的，正如康德所说：人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。数学直观，人们又常说成直观想象。直观是抽象的基础，抽象是直观的升华。根据数学逐级抽象的特征，我们认为数学的直观与抽象是相对的，低一级的抽象是高一级抽象的直观，“旧知识”可以看成“新知识”的直观。主要表现：建立形与数的联系；利用几何图形描述问题；借助几何直观理解问题；运用空间想象认识事物。“直观想象”素养内涵与主要表现素养内涵：通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力；增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力；形成数学直观直觉，在具体的情境中感悟事物的本质。主要表现：获得数学概念和规则；提出数学命题和模型；形成数学方法与思想；认识数学结构与体系。“数学抽象”素养内涵与主要表现素养内涵：通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。

学科核心素养学科知识学科活动1.1数学概念形成过程的从直观到抽象

《曲线与方程》教学中，首先引导学生思考：在直角坐标系中，几何图形“点”的代数形式是什么？让学生初步形成对于“一一对应”的认识。进一步类比到直线、圆等其他曲线，逐渐形成任意曲线和方程之间“一一对应”关系的理解。

从特殊到一般的思想表现在从简单情形去认识复杂事物，这能使抽象的数学命题变得具体而简单。1.1数学概念形成过程的从直观到抽象

体会：1、概念教学要强调让学生经历概念的概括过程；

2、“曲线的方程”与“方程的曲线”的关系

是本节的核心问题，从多个角度分析这个问

题，有助于学生更好地理解概念的内涵。

数形对应关系、集合、充要条件等二、数学直观与逻辑推理

数学直观毕竟只是直观，任何从实践观察中总结提炼出来的数学结论或猜想可能是不正确的，此时就需要严格的逻辑推理论证。

因此，在数学的学习中，我们总是先从具体事物中抽象出“数”和“形”的概念，并将其定量，而后严格的逻辑推理逐渐成为主角，学生们将完成从简单到复杂、从特殊到一般、从已知到未知的推理过程。逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。“逻辑推理”素养内涵与主要表现

素养内涵：通过高中数学课程的学习，学生能提出和论证数学命题，掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；发现和提出数学命题；探索和表述论证过程；能够在比较复杂的情境中把握事物理解事物命题之间的关联，把握事物发展的脉络，把握知识结构；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力。

主要表现：掌握推理基本形式和规则；发现问题和提出命题；探索和表述论证过程；理解命题体系；有逻辑地表达与交流。2.1数学概念形成过程中的逻辑推理本节是学习了必修二直线与方程、圆与方程的基础上，学生有了一定的感性认识。这一节的主要目的是使得学生对曲线与方程的关系有一个更加系统、完整的认识。

首先，曲线的方程这个概念的形成过程本身就是一个是从特殊到一般的推理。

其次，不论是从数形对应关系、集合关系还是充要条件等角度，都是要求学生综合运用所学数学知识从不同的情境中把握命题之间的关联。2.2概念形成后的简单推理及应用

例1证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.

反思：1、培养学生从基本概念、基本原理出发思考

问题的习惯；

2、为后续学习“累加法求通项”埋下伏笔。2.2概念形成后的简单推理及应用三、坐标法

坐标法在本节之前就已出现，《必修二》中求直线的点斜式方程就是学生经历“几何问题代数化”的一次重要过程.本节重复了这一过程，意在强调这一重要思想。

解析几何教学中培养学生的数学素养，就是使他们树立自觉应用坐标法解决问题的意识.

坐标法是研究几何问题的重要方法，它通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。四、信息技术是直观想象的好帮手

4.1信息技术为数学教材提供了一种可操作的环境。在这种环境里，抽象的数学概念和关系是“可视的”，并且可以被具体操作。4.2信息技术让数学教材“生动”起来

数学抽象素养的培养需要直观素材的支撑，更重视从直观到抽象的过程，信息技术在这些方面都具有独特的优势。信息技术具有的文字、图表、动画等多种表述方式可以从不同角度提供直观素材，为数学对象建立“多元联系表示”，它的交互性实验环境又可以提供探索的空间，让学生经历从直观到抽象的过程，让数学教材生动起来，也让数学学习更加有趣。双曲线定义变式五、数形结合是直观想象的源泉

应该说，整节课始终贯穿着数形结合思想方法.

例2（P36例3）已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.l

.F2

如何建立适当的直角坐标系？为什么？五、数形结合是直观想象的源泉

练习2(P37.3)已知点C（2,2），过点C的直线CA与x轴交于