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文档简介

6.4.3.1余弦定理在直角三角形中，有对于一个直角三角形来说，它的斜边的平方等于两直角边的平方和。那么对于任一三角形来说，是否也可以根据任一两边和它们的夹角，求出夹角的对边呢？ACBcba如图，过C作CD垂直AB于D，则CABDb已知两边b,c及夹角A，求三角形的a.ca若为钝角三角形（角A是钝角），ABCabcD则高CD在三角形的外部若角A是直角，CABbca则高CD为AC边C点的坐标为()xyB(c,0)Cbc如图，以点A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系Aa(0,0)CBAcab﹚﹚向量法：若△ABC为任意三角形，已知角C，a,b,求边c.设由向量减法的三角形法则得a2=b2+c2－2bccosAb2=a2+c2－2accosBc2=a2+b2－2abcosC余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。cosA=

cosB=

cosC=

余弦定理推论：CABabc变式：CBAbac例2、在△ABC中，已知a=,b=2,c=,解三角形。解：由余弦定理得变式：CBAbac从余弦定理和余弦函数的性质你能推出什么结论吗?（1）若A为直角，则a²=b²+c²（2）若A为锐角，则a²<b²+c²（3）若A为钝角，则a²>b²+c²由a2=b2+c2－2bccosA可得可见，余弦定理可以看作是勾股定理的推广，或者说勾股定理是余弦定理的特例.例3三角形三边长分别为4,6,8，则此三角形为（）Ａ、钝角三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、锐角三角形Ｄ、不能确定A在中，判断的形状。解：acosA=bcosB由余弦定理得：变式：当堂训练1.已知b=8,c=3,A=60°，求a.a²=b²+c²－2bccosA=64+9－2×8×3cos60°=49，a=7.2，在△ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形.（角度精确到1′）解：由余弦定理的推论得A≈56°20′;B≈32°53′；C=180°－（A+B）≈180°－（56°20′+32°53′）＝90°47′.(1)已知b=8,c=3,A=求a；（2）已知a=20,b=29,c=21,求B；（3)已知a=求b;（4）已知a=2,求A。3.在三角形ABC中：解:(1)二.三种证明方法的比较：几何法：通过作高，把一般三角形转化为直角三角形求证（化一般为特殊）解析法：

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