【课件】6.4.3.4余弦定理、正弦定理应用举例-高度、角度问题高一下学期人教A版2019必修第二册课件　

第4课时余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题

必备知识·自主学习常用概念(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线_____时叫仰角,目标视线在水平视线_____时叫俯角,如图所示.上方下方(2)方位角:从正北方向_______转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α(如图所示).方位角的取值范围:___________.(3)本质:仰角、俯角、方位角等都是在生产、生活中为方便使用而人为定义的.(4)应用:仰角、俯角、方向角、方位角等经常用于求距离、高度和角度的题目中.顺时针0°～360°【思考】方位角的范围为什么不是0°～180°?提示:方位角的概念表明,“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”,显然方位角的范围应该是0°～360°.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)若P在Q的北偏东44°方向,则Q在P的东偏北44°方向. (

)(2)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,其范围均是. (

)(3)方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致. (

)××√提示:(1)因为若P在Q的北偏东44°方向,则Q应在P的南偏西44°方向.(2)因为方向角的范围为0°～90°,而方位角的范围为0°～360°.(3)由方位角与方向角的定义知正确.2.若从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系是 (

)A.α>β B.α+β=90°C.α=β D.α+β=180°【解析】由仰角与俯角的水平线平行可知α=β.C3.(例题改编)已知两座建筑A,B与规划测量点C的距离相等,A在C的北偏东40°,B在C的南偏东60°,则A在B的 (

)A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东10° D.南偏西10°B【解析】如图,由题意可知△ABC为等腰三角形,∠ACB=80°,所以∠CBA=(180°-80°)=50°,又60°-50°=10°.所以A在B的北偏西10°.关键能力·合作学习类型一利用余弦定理、正弦定理求高度问题(数学建模)【题组训练】1.如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于 (

)

A.10m B.5mC.5(-1)m D.5(+1)mD2.在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那么这座塔吊的高是 (

)A.20m B.20(1+)mC.10(+)m D.20(+)mB3.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为 (

)

A.500m B.200mC.1000m D.1000mD【解析】1.方法一:设AB=xm,则BC=xm.所以BD=(10+x)m.所以tan∠ADB=解得x=5(+1).所以A点离地面的高AB等于5(+1)m.方法二:因为∠ACB=45°,所以∠ACD=135°,所以∠CAD=180°-135°-30°=15°.由正弦定理,得AC=·sin∠ADC=·sin30°=(m),所以AB=ACsin45°=5(+1)m.2.如图,由条件知四边形ABCD为正方形,所以AB=CD=BC=AD=20m.在△DCE中,∠EDC=60°,∠DCE=90°,CD=20m,所以EC=CD·tan60°=20(m),所以BE=BC+CE=(20+20)=20(1+)m.3.可得∠SAB=45°-30°=15°,∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,在△ABS中,AB==1000(m),所以BC=AB·sin45°=1000×=1000(m).【解题策略】解决测量高度问题的一般步骤(1)画图:根据已知条件画出示意图.(2)分析三角形:分析与问题有关的三角形,在高度问题中,经常用到直角三角形.(3)求解:运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解.在解题中,要综合运用平面几何知识,注意方程思想的运用.【变式训练】在200米高的山顶上,测得山下一建筑物顶端与建筑物底端的俯角分别为30°,60°,则该建筑物高为

米.

【解析】如图,设AB为山高,D,C分别为建筑物顶端与建筑物底端.在△ABC中,AC=(米).在△ACD中,由正弦定理得CD=(米).答案:

类型二利用余弦定理、正弦定理求角度问题(数学建模)【例1】在海岸A处,发现北偏东45°方向,距A处(-1)nmile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?【思路导引】先画出示意图,再利用正弦、余弦定理解三角形.【解析】设缉私船用t小时在D处追上走私船,画出示意图,则有CD=10t,BD=10t,在△ABC中,因为AB=-1,AC=2,∠BAC=120°,所以由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(-1)2+22-2×(-1)×2×cos120°=6,所以BC=,且sin∠ABC=·sin∠BAC=

所以∠ABC=45°,所以BC与正北方向成90°角.所以∠CBD=90°+30°=120°,在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BCD=所以∠BCD=30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.【解题策略】解决测量角度的常用方法与注意点(1)测量角度问题的关键是弄清题意,画出图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将结果转化为实际问题的解.(2)求角的度数时,多用余弦定理求角.因为余弦函数在(0,π)上是单调递减的,而正弦函数不单调,一个正弦值可能对应两个角.若角在上时,用正、余弦定理皆可.【跟踪训练】甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距anmile,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍,问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船?相遇时乙船行驶了多少海里?【解析】如图所示,设两船在C处相遇,并设∠CAB=θ,乙船行驶距离BC为xnmile,则AC=x,由正弦定理得sinθ=而θ<60°,所以θ=30°,所以∠ACB=30°,BC=AB=a.所以甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船,两船相遇时乙船行驶了anmile.类型三余弦定理、正弦定理的综合应用(数学建模)角度1余弦定理、正弦定理在立体几何中的应用

【例2】如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.【思路导引】设AB=h.表示出BC=h,BD=h,然后在△BCD中利用余弦定理求解.【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=45°,若设AB=h,则BC=h.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD=h.在△BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD,即2002=h2+(h)2-2·h·h·,所以h2=2002,解得h=200(h=-200舍去),即塔高AB=200米.角度2余弦定理、正弦定理在三角形中的应用

【例3】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.【思路导引】(1)根据PB,BC的值及∠BPC求出∠PBC的值,再在△ABP中,求出∠PBA,利用余弦定理求出PA的长.(2)根据∠PBA+∠PAB=30°,用∠PBA表示∠PAB,再利用正弦定理求出tan∠PBA.【解析】(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°,在△ABP中,由余弦定理得PA2=3+-2×

×cos30°=,所以PA=(负值舍去).(2)设∠PBA=α,所以∠PCB=α,PB=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,

化简得cosα=4sinα,所以tanα=,即tan∠PBA=.【解题策略】在复杂图形中利用正弦定理、余弦定理解题的方法(1)分析复杂图形,找准需要解决的问题所在的三角形,找出该三角形与其他三角形之间的关系.(2)根据题目给出的条件,适当选用正弦定理或余弦定理解题.【题组训练】1.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.

【解析】由题意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°.又AB=600m,故由正弦定理得解得BC=300m.在Rt△BCD中,CD=BC·tan30°=300×=100(m).答案:1002.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cosθ=________.

【解析】在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800⇒BC=20.由正弦定理⇒sin∠ACB=·sin∠BAC=,∠BAC=120°,则∠ACB为锐角,cos∠ACB=.由θ=∠ACB+30°,则cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACB·cos30°-sin∠ACB·sin30°=.答案:

余弦定理、正弦定理应用举例核心知识方法总结易错提醒核心素养有关概念实际应用解决实际测量中的角度问题时(1)找准观测点以及参照物,根据“上北下南,左西右东”确定正北方向.(2)分析图中的已知量和未知量,标出有关角和线段的大小.(3)利用正弦定理或余弦定理解三角形,求出未知量.高度问题角度问题1.数学抽象：常用的测量相关术语.2.逻辑推理：将实际问题转化为数学问题.3.数学运算：利用余弦定理、正弦定理求高度、角度.4.数学模型：在适当的三角形中求解高度、角度.解决测量高度问题的一般步骤是课堂检测·素养达标1.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 (

)

A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东80° D.南偏西80°【解析】由条件及题图可知,∠CAB=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.D2.在静水中划船的速度是每分钟40m,水流的速度是每分钟20m,如果船从岸边A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为 (

)A.15° B.30° C.45° D.60°【解析】如图所示,sin∠CAB=,所以∠CAB=30°.B3.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有(

)A.d1>d2