【课件】6.4.3.2正弦定理高一下学期人教A版2019必修第二册课件

第2课时正弦定理

必备知识·自主学习1.正弦定理(1)正弦定理(2)本质:三角形中,边与其对角的正弦之间的关系.条件在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c结论____==_____=2R(R是△ABC外接圆的半径)文字叙述在一个三角形中,各边和它所对角的_____的比相等正弦【思考】利用正弦定理可以解决哪些类型的问题?提示:(1)已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.2.正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径,则(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=,sinB=,sinC=;(3)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c;(4)=2R.(5)S△=absinC=bcsinA=acsinB.【思考】如何利用正弦定理把三角形的边化为角,角化为边?提示:利用正弦定理的变式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC实现边化角;利用公式sinA=,sinB=,sinC=角化边.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)正弦定理不适用于直角三角形. (

)(2)在△ABC中,若sinA=sinB,则A=B. (

)(3)在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB. (

)×√√提示:(1)正弦定理是适用于任何三角形的.(2)在△ABC中,若sinA=sinB,由正弦定理得=,故a=b,则A=B.(3)在△ABC中,若A>B,则a>b,由正弦定理得2RsinA>2RsinB,所以sinA>sinB.2.在△ABC中,a=3,b=5,sinA=,则sinB= (

)

A. B. C. D.1【解析】因为a=3,b=5,sinA=,所以由正弦定理得B3.(例题改编)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC= (

)A.4 B.2 C. D.【解析】由正弦定理得:所以B关键能力·合作学习类型一已知两角及一边解三角形(数学运算)【题组训练】

1.(2020·东莞高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=45°,C=120°,则边c= (

)A. B. C.2 D.2.在△ABC中,a=10,B=60°,cosC=,则c等于 (

)A.20(+2) B.20(-2)C.+2 D.203.在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.DB【解析】1.因为b=2,B=45°,C=120°,所以由正弦定理可得所以解得c=.2.由cosC=得sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

由正弦定理得3.因为A=45°,C=30°,所以B=180°-(A+C)=105°.由得因为sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=,所以所以a=10,b=5+5,B=105°.【解题策略】已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角.(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.【变式训练】1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b= (

)

【解析】A=180°-B-C=45°,由正弦定理,得C2.在△ABC中,A=60°,sinB=,a=3,求三角形中其他边与角的大小.【解析】因为sinB=,所以B=30°或150°,当B=30°时,由A=60°得C=90°;当B=150°时,不合题意,舍去.所以由正弦定理得类型二已知两边及其中一边的对角解三角形(数学运算)【例1】1.在△ABC中,若a=3,b=,A=,则C的大小为(

)

A. B. C. D.2.在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解这个三角形.【解题导引】1.利用正弦定理求出角B,再利用三角形的内角和求角C.2.利用正弦定理求出sinC的值,再解其他元素,注意三角形解的个数.D【解析】1.由正弦定理得:所以sinB=.又a>b,所以A>B,所以B=,所以2.因为所以因为0°<C<180°,所以C=60°或C=120°.当C=60°时,B=75°,当C=120°时,B=15°,所以b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.【解题策略】已知两边及其中一边的对角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;(3)如果已知的角为小边所对的角,不能判断另一边所对的角为锐角时,这时由正弦值可求出两个角,要分类讨论.【跟踪训练】1.在△ABC中,cosA=,a=4,b=4,则B等于 (

)A.45°或135° B.135°C.45° D.60°【解析】由cosA=,得sinA=,A=60°,由正弦定理得因为三角形的内角和为180°,且a>b,所以B=45°.C2.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若A=60°,c=6,a=6,则此三角形有 (

)

A.两解 B.一解C.无解 D.无穷多解【解析】由等边对等角可得C=A=60°,由三角形的内角和可得B=60°,所以此三角形为正三角形,有唯一解.B类型三正弦定理、余弦定理的综合应用(数学运算,逻辑推理)角度1三角形形状的判断

【例2】在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.【思路导引】解决本题的关键是把sin2A=sin2B+sin2C转化为三角形三边的关系,从而求出角A,然后再利用sinA=2sinBcosC求解.【解析】方法一:(利用角的互余关系)根据正弦定理及sin2A=sin2B+sin2C,可得a2=b2+c2,所以A是直角,B+C=90°,所以2sinBcosC=2sinBcos(90°-B)=2sin2B=sinA=1,所以sinB=.因为0°<B<90°,所以B=45°,C=45°,所以△ABC是等腰直角三角形.方法二:(利用角的互补关系)根据正弦定理,

及sin2A=sin2B+sin2C,可得a2=b2+c2,所以A是直角.因为A=180°-(B+C),sinA=2sinBcosC,所以sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,所以sin(B-C)=0.又-90°<B-C<90°,所以B-C=0,所以B=C,所以△ABC是等腰直角三角形.【变式探究】将本例条件“sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C”改为“a2tanB=b2tanA”,试判断△ABC的形状.【解析】在△ABC中,由

可得

所以

又因为a2tanB=b2tanA,所以

所以

所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.角度2正弦、余弦定理的综合应用

【例3】1.在△ABC中,若a=3,cosC=,S△ABC=,则b=

.

2.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A.(2)若a+b=2c,求sinC.【思路导引】1.根据cosC的值,求出sinC的值,再根据三角形的面积公式求出边b的值;2.(1)由正弦定理化角为边,再用余弦定理的推论求角A;(2)由正弦定理化边为角,结合(1)的结论,利用三角恒等变换求sinC.【解析】1.因为cosC=,所以C∈,所以又S△ABC=absinC

所以b=2.答案:22.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理的推论,得cosA=因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得sinA+sin(120°-C)=2sinC,即+cosC+sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=-,故sinC=sin(C+60°-60°)

=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=【解题策略】判断三角形的形状(1)看该三角形是否为某些特殊的三角形,如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等.(2)已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,可以考虑用正弦定理化边为角,再利用三角恒等变换找出三个角之间的关系,或者化角为边,通过代数恒等变换找出三边之间的关系,再给出判断.【题组训练】1.(2020·濮阳高一检测)已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,满足则△ABC的形状是 (

)A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【解析】由正弦定理得又得即tanA=tanB=tanC,所以A=B=C,即△ABC为等边三角形.C2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形状是 (

)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】已知c-acosB=(2a-b)cosA,由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,所以sin(A+B)-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,化简得cosA(sinB-sinA)=0,所以cosA=0或sinB-sinA=0,则A=90°或A=B,故△ABC为等腰三角形或直角三角形.D【变式训练】在△ABC中,若sinA>sinB,则有 (

)A.a<b

B.a≥bC.a>b D.a,b的大小无法判定【解析】因为所以因为在△ABC中,sinA>0,sinB>0,所以所以a>b.C核心素养易错提醒方法总结核心知识1.正弦定理2推论.3.利用正弦定理解三角形.

已知两角及一边解三角形(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.已知两边及一边的对角解三角形(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时，由正弦值可求锐角即为另一边所对的角．(3)如果已知的角为小边所对的角时，要分类讨论．已知两边和其中一边所对角解三角形时可能会出现无解、一解、两解的情况.注意“大边对大角、大角对大边”．1.数学抽象：正弦定理及其变形、三角形面积公式.2.逻辑推理：用正弦定理及其变形解决相关问题.3.数学运算：解三角形.课堂检测·素养达标1.在△ABC中,一定成立的式子是 (

)

A.asinA=bsinB B.acosA=bcosBC.asinB=bsinA D.acosB=bcosA【解析】由正弦