【课件】空间向量运算的坐标表示 课件 人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3.2空间向量运算的坐标表示一、空间向量运算坐标表示向量运算向量表示坐标表示加法a＋b______________________减法a－b________________________数乘λa______________数量积a·b________________设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)知识梳理(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3重要：(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致.(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则

＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量.例1

(1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝_____.解析

易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.－4①求顶点B，C的坐标；解

设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以点B的坐标为(6，－4,5).所以点C的坐标为(9，－6,10).解设P(x2，y2，z2)，反思

空间向量坐标运算的规律及注意点(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定.(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.4∴a·b＝1＋0＋3＝4.二、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔

，

，________(λ∈R)；垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔

.a1＝λb1a2＝λb2知识梳理a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0注意点：(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0).所以2a－b＝(3,2，－2)，所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c.②若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解如图所示，以点D为原点，由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，跟踪训练2

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝

CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；证明设AC与BD交于点G，连接EG.所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)求证：CF⊥平面BDE.证明因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.即CF⊥BE，CF⊥DE.又BE∩DE＝E，且BE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，所以CF⊥平面BDE.三、夹角和距离的计算注意点：(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆.知识梳理例3

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点.(1)求BM，BN的长.解以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图.(2)求△BMN的面积.反思

利用空间向量的坐标运算的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标.(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算.(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题.跟踪训练3

如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝H为C1G的中点.(1)求证：EF⊥B1C；证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，(2)求FH的长；(3)求EF与C1G所成角的余弦值.1.知识清单：(1)向量的坐标的运算.(2)向量的坐标表示的应用.2.方法归纳：类比、转化.3.常见误区：(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等.(2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况.小结课堂练习1.已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，

则点B的坐标应为A.(－1,3，－3) B.(9,1,1)C.(1，－3,3) D.(－9，－1，－1)√2.已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝

且λ>0，则λ等于A.5 B.4 C.3 D.2√1234解析λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，3.已知向量a＝(1,1,0)，b＝