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人教A版2019选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式在平面几何中，我们对直线作了定性研究．引人平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式．这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等．Oxy1123Ml1l2图2.3-1OP1P2xy图2.3-2我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的．所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式．OP1P2xy图2.3-3OxyOxy例4用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．Oxy即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．第一步：建立坐标系,用坐标表示有关的量第二步：进行有关代数运算第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论思考在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题．你能回忆一下证明过程吗?比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会?上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为思考根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法?你能说说建立适当坐标系对证明的重要性吗?OPQxyl图2.3-5OPQxyl图2.3-5思考上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大．反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗?由此能否给出简化运算的方法?P1P2lOxy图2.3-6探究我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离?思考比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算．除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗?直线l有什么特性?由此你能给出简便解法吗?Oxy123123ABCh图2.3-7分析：由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边AB的长和边AB上的高即可．Oxy123123ABCh图2.3-7你还有其他解法吗?前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式．关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的．两条平行直线间的距离是指夹
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