【课件】(人教A版2019必修第一册)函数的单调性

3.2.1函数的单调性123函数单调性的判断与证明函数单调区间的求解函数单调性的应用教学目标核心素养：1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.2.理解函数单调性的作用和实际意义.3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用.1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程.

体会用符号形式表达单调性定义的必要性.2.在函数单调性的应用过程中，发展逻辑推理和数学运算素养.1.增函数与减函数知识梳理f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)2.单调性与单调区间知识梳理如果函数y＝f(x)在区间D上是____________________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的__________________，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.单调递增或单调递减单调性知识梳理3.单调性的相关结论在公共定义域内，增函数＋增函数＝________；减函数＋减函数＝________；增函数－减函数＝________；减函数－增函数＝________.增函数减函数增函数减函数【例】(多选题)下列函数中，在区间(－∞，0)上为减函数的是(

)

函数单调性的判断与证明【例】若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为___________.解析

因为f(x)＝ax－3在R上递增，所以a>0.

函数单调性的判断与证明【例】已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图象如图.根据图象写出y＝f(x)的单调区间，增区间为____________________，减区间为___________.解析

由图象可知f(x)在[－2，6]上的递增区间为[－2，－1]和[2，6]，减区间为[－1，2].

函数单调性的判断与证明【例】判断函数f(x)在(1，＋∞)上单调性，并用定义加以证明.

函数单调性的判断与证明利用定义证明函数单调性的步骤：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性.总结提升证明

对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有

函数单调性的判断与证明【练】函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图象如图所示，则f(x)的增区间是(

)A.[－4，4] B.[－4，－3]∪[1，4]C.[－3，1] D.[－3，4]解析

由图象知增区间为[－3，1]，故选C.

函数单调性的判断与证明【练】(多选题)下列说法不正确的是(

)解析

由增函数的定义，知A正确；y＝x2在x∈[0，＋∞)时是增函数，在x∈(－∞，0)时是减函数，从而y＝x2在定义域R上不具有单调性，故B错误；

函数单调性的判断与证明【练】下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是(

)解析

选项A，C，D中的函数在(0，2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0，2)上是增函数.答案

B

函数单调性的判断与证明【练】(多选题)已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件

可以断定f(x)为增函数的是(

)解析

根据题意，依次分析选项：对于A，对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；

函数单调性的判断与证明对于B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0，符合题意；

函数单调性的判断与证明微专题1利用图象求函数的单调区间【例】已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.函数单调区间的求解(1)将函数写成分段函数的形式；(2)画出函数的图象；(3)根据图象写出它的单调区间.

(2)如图.(3)由图象可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2).微专题2利用定义求函数的单调区间解

已知函数的定义域是(－∞，－b)∪(－b，＋∞).设x1，x2是区间(－b，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，

函数单调性的判断与证明∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，同理可得，f(x)在(－∞，－b)上为减函数.

函数单调性的判断与证明1.求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.2.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.总结提升【例】(1)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是_________________，在区间_________________上是增函数.解析

观察图象可知单调递增区间为[－5，－2]，[1，3]，单调递减区间为[－2，1]，[3，5].

函数单调性的判断与证明角度1已知函数的单调性求参数函数单调性的应用解析

要使f(x)在R上是减函数，需满足：角度2利用单调性解不等式【例】已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求实数a的取值范围.函数单调性的应用1.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.2.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.总结提升(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)<f(2)，则实数m的取值范围是________.(2)∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，∵f(m＋2)<f(2)，f(0)＝f(2)，∴0<m＋2<2，∴－2<m<0，则实数m的取值范围为(－2，0).函数单调性的应用【练】若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是(

)函数单调性的应用函数单调性的应用课堂总结1.函数的单调性是函数在