减少解析几何运算量的常用策略

22减少解析何运算量的用策略解析几何是在坐标系的基础上代数方法研究几何图形性质的一门数学学科此数学运算就不可避免地出现在其中果解题时思维的起点与方法选择的不当不繁琐就是出错，因此，运用解题的思维策略，选择恰当的思维起点与方法，以最大限度地减少解析几何的运算量．回定义定义定是对数学对象的本质性的概括和内在规律的揭示有刻地理解概念的本质和定理所揭示的内在规律能灵活运用它来简化解题过程的题虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法，波利亚就提倡“回到定义例一线被两直线

l

：

2y

和

l

：

2

截得的线段的中点恰好是坐标的原点．求这条直线的方程．简析略解：此题的一般求解思路是：先求出

l

分别与

l

1

、

l

2

的交点（用

k

l

表示后利用中点坐标公式求出

k

l

，进而得到

l

的方程，这样运算量太大．如果我们对直线与方程的定义有深刻的理解，就会自觉地利用定义，并结合运用设而不求的技巧来寻求简捷解法．设l分与l、l交于点M、，设M的标为（,y2

有

y1

①又因为M、关于对，所以点的标为（0①×２＋②，得．

有

②可见

M(xy）l：y1

上，又此直线过原点，由两点确定一直线知所求直线的方程为

y

．例已

12

分别是椭圆

2ya2

的左右焦点，M是该椭圆上的一动点，MN是MF1

的外角平分线，

QMN于Q，求动点Q的迹方程．y略解：设Q(x,)，长F和线2交于P，Px，且MPQ所以MPMF，PQFQ，2

M相1MFQ2

．

1

O

M

2

由椭圆的定义得：

FPMFMPMFMF

．

图１所以

x)

2(2y)2(2

，即

x

2

y

2

2所以，动点

Q

的轨迹方程为

x2y22

．1/8２．设而不求例３

已知ABC的三个顶点在椭圆

4x

2y

上若AABC重是椭圆的右焦点，求直线

的方程．简析略解：因A椭圆的短轴的顶点，右焦点F为ABC重心，所以F的坐标与三顶点

,BC

的坐标有关，故设

,y),x,11

，则13y13又因为BC在椭圆上，故

12y12421

4

80

④由①、②、③、④求出Ｂ、Ｃ两点的坐标，再求直线的程．对思维监控评价里题的方是正确的通过四个方程来求出四个坐标的运算是比较麻烦的，能否有比较简单的途径呢？由③－④得：

4(xy)(y)112

．由题意知：

x012

，将①、②整体代入得

112

，这个正好是直线

的斜率

1212

，而中点坐标M

y12)，即M(3,22

，所以直线

BC

的方程为：

65

(x

．问题之所以得到简捷地解答，就是用了设而不求的策略．３．用好对称数学中的对称是广义的，有几何图形的对称，数量关系式结构的对称，对偶等，用起来比较灵活而解析几何中的对称是比较直观的是灵活运用化为简化难为易．例４如2直

l

上任取一点

M

过

M

点且以椭圆

xy123的焦点为焦点作椭圆，问当圆方程．

M

在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出具有最短长轴的椭y简析略解：椭两焦点为

(1

，

2

，

F'

M作

1

关于直线

l

的对称点

F

，要使所作椭圆的长轴2/8

1

O

2

图最短，即

MF

最短，也就是

最短，故

M

点应是直线

F'F

与已知直线

l

的交点，如图．

xy直线

FF1

的方程为

:y

，由方程组

xy

得点

(

，由中点坐标公式得解方程组

'(9,6)，直线xyxy

F'的方程为:x2得所求M的坐标为（－５，４由于

FF1

，此时椭圆的方程为

4536

．注怎样能使椭圆的长轴最短？然想到椭圆的定义小――折线段的和最短――三点一直线――寻找对称点――对变换明的解法找到了对称能供一种清晰的想象力，这种想像力常能使我们看到并发现用别的方法也许较难发现的关系．４．活用平几由于解析几何就是用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科平几何的许多知识就能使我们的思路来得直观明了．例（年国高考试题设抛物线

y

2px(

的焦点为

，经过

的直线交抛物线于AB两点在物的准线上BC∥x轴明直线AC经原点．简析略证：如图３，记x轴准线l交Ｅ，过Ａ作l垂足为Ｄ，则AD∥FE∥BC．

lD

y

A连结，EF交于点N，由平几知识得：ENCNNF，，ADACBC

EＣ

Ｏ

N

Ｆ

Ｂ

E图３根据抛物线的几何性质，AFAD，BFBC，所以

EN

ADAB

即

N

是

EF

的中点与抛物线的顶点Ｏ重合，所以直线过原点O．５．巧用向量向量是高中教材的新增内容由向量具有几何和代数的双重属性向量为工具改变了传统的平面三角、解析几何、立体几何等内容的学习体系，使几何问题彻底代数化了，使数形结合思想体现的更深刻、更完3/8//线

y

例６（年全国高中数学联赛试题）已知点2x交于Ｂ，Ｃ两点，试判断的形状．

(1,2)

，过点

D

的直线与抛物解：设

B(2t)，C(t,2t)

，

t1

2

，

t1

，

t2

，则有

DBtt

，DCtt2)．∵ＢＣ，Ｄ三点共线，∴

∥

DC

．所以

(t(t25)(22)

＝０

tt12tt1

．又

(21

t2)t1

1,2t＝(21

t

＋(2t(2t2)12＝

(t(2

［

(t(2

＋４］＝０，所以

，故ABC为角三角形．例７

已知圆

C:

22

和两个定点

(1,0),(1,0)

，点Ｐ为圆Ｃ上的动点，过点Ｐ的圆Ｃ的切线为

l

，点Ａ关于

l

的对称点为

A

/

，求

/B

的最大值．分析的规解法是求点/的迹方程用点间距离公式去求

/

的表达运用点

A

/

的轨迹方程将二元函数问题转化为一元函数最值

/

的最大值．这里所用的纯解析法虽然思路很直接，但求出点/的轨迹方程是一个难点，很难突破，并且运算量大，过程繁琐．而平面向量的几何计算灵活方便，运用平面向量的运算法则合理安排运算，使问题的解决变得简洁．

y

A

解：如图1设与线l交点Q，接OPOQ

QP由

O

分别为

AB,

'

的中点，

得∥AB，且

/

．

A

B

l又

AA

'

lOPl，OP∥'．图１设

(m

，

OP

，则

AQmOP

，PQOQmOP

，4/822由题意得OPPQ，OP０，即OPOAmOP]

＝０，即

OAOP

＝０，得

OPOA4(m

．又

OQOA

＝

OAmOA2OP

2

＝＝１＋

24(1)m

2＝m22

∵

，∴当

时，

2

，∴

．

所以

/

，

此时

AQOP

，点

P

的坐标为（０，

２线程为

y

２，点

A

'

的坐标为（－１，６．利用极坐标例８已椭圆

x2416

，直线

l

：

xy12

．

P

Ｐ是l上点线OP交圆于Ｒ点在上满足

OR当Ｐ在l上移动时，求点Ｑ的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线年国高考压轴)解题的策略分析：本题是求动点Ｑ

(,y

的轨迹方程，即找到关于的式，可以用一般法来解，即设点Ｑ

(,y

，Ｑ

(,)QQ

，Ｒ

(xy

，再布立方程组来解．但必须看到这里有

x,y

，

y

Q

，

,

六个末知量，这样，所立的方程组中不下五个方程，因此，即使可解，也该暂缓，看有否别的方法？从条件

OR

知，这是一个与长度与角度有关的问题故可用参数法解比较简单不要就此停步再是否还有别的方法？的确用坐标法来解将会显得简捷分辩了方法间的优劣之后策层面的问题已经解决，但仍不要大意，要继续细心分辩，因为在选择极坐标法来解后，还有个极点选在原点还是在椭圆左焦点的问题关到极坐标方程是用统一式还是用互化式的问题是个学生用极坐标法来解时常常难以选择里考虑到

,,OR

都是从原点出发的线段长度，故选用以坐标原点为极点来解，即不用统一式而用互化式．这样，分辩清了，简捷的方法、合理的运算和要运用的知识也就自然择优而定了．７．用好焦半径公式例９如已知梯形

ABCD中AB=2,点

E

分有向线段

所成的比为双曲5/8线过、D、三,且以AB为点，当围(2000年全国高考试题

23≤时，求双曲线的离心的值范34解题的策略分析一看到这个题不说当年一些普通考生望题兴叹就是一些基础不错的考生也没了头绪不是于它是一个双参数范围问题且在未知双曲线方程的情况下来求离心率e的值范围，再加上大家期望要用上的已知条件：

23≤中34又是大家在日常解题中着实有点感到后怕的“点

E

分有向线段

所成的比时一些有思维策略的学生就有了用武之地：他们首先从审题后看到题设中无系无方程，因此，用分而治之的策略，从建立坐标系，确立方程的形式入手：如图以AB的直平分线为轴以所的直线为轴建立直角坐标系xoy则CD轴.因双曲线过C且以A,B为

A

yo

B

点由双曲线的对称性知、D关轴称，并设双线方程为2—(a＞0,b＞则心率=．aba在做好这一基础性工作的前题下如何由围求e的围就成了解决本题的思维核心他看到在本题这个双参问题中e既相制约又在一个矛盾中统一统一在一个方程里，这是考查学生在解题某个阶段视哪一个为主元，哪一辅元，而在解题另一个阶段，又需要主辅互换，反客为主，真是个考查辩证思维的绝妙押轴题．这虽难，但也正是考生一显身手，展示自己思维能力的好地方，也是与众考生一决高下的分水岭．因此，他们根据围已知这一条件，进而确立：先视元再视为元，找出两个参数之间的关系=

f(e)

，将问题转化归为已知范围，再解不等式，由此求出参e的围这样一个整体的思路和思维策略．于是，他们先视元找系式：依题意A)

h，E(x)中AB为双曲线的半焦距2是梯形的高.定比分点公式得：x=

21

=

(c2(1

，y=．16/82222但在如何再视

e

为主元，找出两个参数之间的关

=

f(e)

上，是又一次体现思维水平的层次性和思维策略的重要性．视角一：视点

、

E

为直线ＡＣ与双曲线的交点，这时，虽能把方程

h

(x)

代入

2—得ab

ba2h)x2ah2cxa2h2a2)

．这一常规思路虽正确，解题方向也不错，但要用上这一方程不但难，而且繁，在应试的情况下当然应另辟蹊径．思路敏锐的学生在不代前就暂时放弃了．视角二：视点、在曲线上，将C、的标和ee22—42

a

代入双曲线的方,①e4

2

h()()1

22

=1

②由①得：

h22=—b4

③e2将③式代入②式整理:4

故

=1

3e2

由题设

2323≤,得≤≤,故得34324

7≤e≤.所以双曲线的离心率

e

的取值范围[

7

]．视角三：视、AE为点、到点Ａ的距离由焦半径公式得：ACc

ea2

，

AEE

e(2c)．2()而

、

AE

同号，从而

AC

AC1

．所以

(c

e

2

231

．由题设

2323≤得≤≤故得34324

7

≤

e

≤

7/8所以双曲线的离心率

e

的取值范围[

]．这里同是

C

、

E

二点，但由于解题思维策略的运用，从