内切球与外接球习题讲义教师版

EFHGOGEFHGOG立体几何中的“内切”与“外接”问题探究1球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题1.1球与正方体如图所示，正方体ABCDBD111球的球心。

,正方体的棱长为

，

,H,G

为的点，

为

例1棱长为1正方体ABCDC的8顶点都在球1111DD的中点，则直线被得的线段长为（）1

O

的表面，E

分别是

AA1

，常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形

和内圆则

A

22

B．

C．

22

D．

2ar；2二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则

22

a

；1.2球与长方体三是球为正方体的外接球，截面图为长方形ACCA11

和其外接，则

AOR1

2

.

长体顶可一球上，故长方体存在外切.但不定存在切.设长方体的棱长通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的合问题，常用工具截图，即根据组合的形式

为

a,,c,

其对线为

l

.球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进

l2体外球道是样，故球的半

2

2

而将空间问题转化为平面问题。例2在长、宽、高分别为，，长方体内有一个半径为1球，任意摆动此长方体，则球经122过的空间部分的体积为)πA.B.43

πC.3

πD.31.3球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法—构造直角三角形法。设正三棱ABCABC的高为，底面边长为a，如所示D和分11

2球锥体规的体如四体正棱锥、特殊的一些棱锥等够和球进行充分的组合以外接和内切种态行合通球的半径和棱锥的棱和高产联系，然后考查几何体体积或者表面积别为上下底面的中心。根据几何体的特点，心必落在高DD1

的中点，

等关题.hAOR,2

，借助直角三角形AOD的勾股定理可求

3

。

2.1球与正四面体正面作一规的何体，它既存在外接球，也在内切球，并且两心合，利用这点可顺利决的径正面的棱长关系。如图，设正四面体

ABC

的棱长为

a

，内切半径为

r

，外接的半径

，取的点为D

E

为

S

在面射连接

CDSD,SE

为正四体的高在截面三角形

,一个与边

和DC相切，圆心在SE上的圆，即为内切球的截面。因正面本的称可知，外接球和内切球的球同为

。此时例3正棱柱11

的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最

CO,SE

,,

则有

R

，22得：值，为.6ara.412

这解是通过用两心一的思路建含有个球的径的等关系行2求解.时我们可以发现，球心带来极大的方便.

O

为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题

是形，把棱补成正方体或者长方体。常见种形式：一三锥三棱相直且相等，则可以补形为一正方体，它的外接球的心就是三棱锥外球球。5，三棱锥ABD11

的外接的球心正方体

BD111

的外接的心合设

a1

，则

32

a

。二如三锥三侧互相垂直且不相等，则可以形为一个长方体，它的接球的球心就三锥外球球

a

2

l44

（

l

为长方的体对线长。例将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()A.

363

B.2+

22646C.D.333例

在三锥

SABC

中

M、

分别是

SC、BC

的中点且

AM

,若侧棱SA3

,正三棱锥

S

外球的表积是。球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.]2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题主要体现在球为棱的接球解决的基本方法3A

B.

C.D.32.3球正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个

2.4球与特殊的棱锥球一特的锥行合，一定要抓住棱锥的几何质，可综合利用截面法补形法、等进行求。面的距离相等，都为球半径

．这样求球的半径可转化为球球心到三棱面的距，故可用等体

例，面都直三形的三棱锥，可利用直角三形斜边中点几何特征，定球心位置。积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6在三棱锥－中，＝PB=PC=,棱PA与底面ABC成的角为°，则该三棱锥外接球的体积为（）

如图8，三棱锥

S

,足

面

ABC

，

AB

，取

SC

的中点

O

，由直三角形性可：

OBOC,所O点为三棱锥SABC的外接球的球心则R

SC2

.4空问转平问求解例8在半径为的球内放入大小相等的4小，则小的半径最大值（）例7矩形

中，

AB

沿

将矩形

折成个二角

,四面体

的外接球的体是)A.

125125B.C.D.12

4球几何体的各条棱相切球与几体各棱切题，关要住与相的几何质达明球的位置目，然后通构直三形行转换求.3球球对个多个小球结合在一，组合成复杂的几何体问题，要求有富的空间想象能力，解决本类

如与正面各都切球的半为对的半

r

2a4

例8把个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm的丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将的面与根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）5CD．CD．A.

cm

B.

cm

C.

10

D.

cm外球切问题综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切1.（西理）一个正三棱锥的四个顶点都在半径的面上，其中底面的三个顶点在该球的一点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把个圆，该三锥体积是（）一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即

A

3

B．

333答案B可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求此时结论的记忆必须准确

2.直三棱柱ABCC11

的顶点都同一球上，若

ABAC,1201

，则此的面等于。6解:

中

AC

,

BAC

,得

BC

,正弦定,可得

外圆半

7.海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在径r=2,设此圆圆心球心，在OBO积为4.

中，易得半径

，此的面

9同个面，该棱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为．8答案3正三棱柱ABCABC11为．

内接于半径为的球，若,两的球面距离则正三棱柱的体积

8.（天津理）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别1，，，则此球的表面积为．答案

答案

4.面积为

的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球体积为

9.全国Ⅱ理）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长A

B．

．3

D．

2

为1，那么该棱柱的表面积为cm.答案24答案

P【解析】此八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以

3

知，

，则

C

D此球的直径为2，故选A。5.知正方体外接球的体积是

，那么正方体的棱长等于（）

B

A

F

E

2

B.

44C.D.

10.（辽宁）如图，半径的球内有一内接正六棱锥P，则此正六棱锥的侧面积是答案D6.山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为()

________．答案

7A.

3

B.13C.1∶3

3

D.∶911.（辽宁省抚顺一中）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个答案C7截面如图，则图中三角形正四面体的截的面积是.

A

26

B．

36

C

D．

22答案

15辽宁文已知点P,A,B,C,D是球表上的,⊥平面四边形是长为2正形若PA=2

6

,OAB的面